登录
7. 如果$\frac{x+y}{x}=\frac{3}{2}$，那么$\frac{y}{x}$的值是
$\frac{1}{2}$
。答案
7.$\frac{1}{2}$
解析
【分析】
本题可通过两种常见思路求解：思路一：先将已知等式左边的分式拆分，转化为含有$\frac{y}{x}$的式子，直接计算即可得出结果；思路二：利用比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”对已知等式变形，通过移项化简得到$x$与$y$的数量关系，进而求出比值。两种方法均为本学段常规解法，计算量小，容易掌握。
【解析】
方法一：拆分分式法
已知$\frac{x+y}{x}=\frac{3}{2}$，将左边分式拆分可得：
$\frac{x+y}{x}=\frac{x}{x}+\frac{y}{x}=1+\frac{y}{x}$
代入原式得$1+\frac{y}{x}=\frac{3}{2}$
移项计算得：$\frac{y}{x}=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}$
方法二：比例性质法
根据比例的基本性质，对$\frac{x+y}{x}=\frac{3}{2}$交叉相乘得：
$2(x+y)=3x$
去括号得：$2x+2y=3x$
移项合并同类项得：$x=2y$
因原式分母为$x$，故$x≠0$，则$y≠0$，两边同时除以$2x$得$\frac{y}{x}=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
比例的基本性质、分式的运算
【点评】
本题是比例相关的基础题型，解题方法灵活，只要熟练掌握分式化简或比例基本性质即可快速解答，主要考察基础运算能力。
【难度系数】
0.9
本题可通过两种常见思路求解：思路一：先将已知等式左边的分式拆分，转化为含有$\frac{y}{x}$的式子，直接计算即可得出结果；思路二：利用比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”对已知等式变形，通过移项化简得到$x$与$y$的数量关系，进而求出比值。两种方法均为本学段常规解法，计算量小，容易掌握。
【解析】
方法一：拆分分式法
已知$\frac{x+y}{x}=\frac{3}{2}$，将左边分式拆分可得：
$\frac{x+y}{x}=\frac{x}{x}+\frac{y}{x}=1+\frac{y}{x}$
代入原式得$1+\frac{y}{x}=\frac{3}{2}$
移项计算得：$\frac{y}{x}=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}$
方法二：比例性质法
根据比例的基本性质，对$\frac{x+y}{x}=\frac{3}{2}$交叉相乘得：
$2(x+y)=3x$
去括号得：$2x+2y=3x$
移项合并同类项得：$x=2y$
因原式分母为$x$，故$x≠0$，则$y≠0$，两边同时除以$2x$得$\frac{y}{x}=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
比例的基本性质、分式的运算
【点评】
本题是比例相关的基础题型，解题方法灵活，只要熟练掌握分式化简或比例基本性质即可快速解答，主要考察基础运算能力。
【难度系数】
0.9
8.对于某个函数,如果当$x=x_0$时,函数值$y=-x_0$,那么我们称$(x_0,-x_0)$为此函数的“反点”.例如函数$y=2x-3$,因为当$x=1$时,$y=-1$,所以$(1,-1)$为此函数的“反点”.二次函数$y=x^2-5x+4$的“反点”是
$(2,-2)$
.答案
8.$(2,-2)$
解析
【分析】
首先明确“反点”的定义：若$(x_0, -x_0)$是函数的反点，则该点在函数图象上，满足函数解析式。因此我们只需将$x=x_0$，$y=-x_0$代入二次函数解析式，得到关于$x_0$的一元二次方程，求解方程得到$x_0$的值，即可得到反点坐标。
【解析】
设二次函数$y=x^2-5x+4$的“反点”为$(x_0, -x_0)$，
因为该点在二次函数图象上，所以将$x=x_0$，$y=-x_0$代入函数解析式得：
$-x_0 = x_0^2 - 5x_0 + 4$
移项整理得：$x_0^2 - 4x_0 + 4 = 0$
因式分解得：$(x_0 - 2)^2 = 0$
解得：$x_0 = 2$
此时对应的函数值$y=-x_0=-2$，因此二次函数的“反点”为$(2,-2)$。
【答案】
$(2,-2)$
【知识点】
1.新定义理解 2.二次函数图象上点的坐标特征 3.解一元二次方程
【点评】
本题属于新定义类基础题型，解题核心是准确理解“反点”的定义，将陌生的新定义问题转化为已学的函数与方程问题求解，侧重考察学生的阅读理解能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.7
首先明确“反点”的定义：若$(x_0, -x_0)$是函数的反点，则该点在函数图象上，满足函数解析式。因此我们只需将$x=x_0$，$y=-x_0$代入二次函数解析式，得到关于$x_0$的一元二次方程，求解方程得到$x_0$的值，即可得到反点坐标。
【解析】
设二次函数$y=x^2-5x+4$的“反点”为$(x_0, -x_0)$，
因为该点在二次函数图象上，所以将$x=x_0$，$y=-x_0$代入函数解析式得：
$-x_0 = x_0^2 - 5x_0 + 4$
移项整理得：$x_0^2 - 4x_0 + 4 = 0$
因式分解得：$(x_0 - 2)^2 = 0$
解得：$x_0 = 2$
此时对应的函数值$y=-x_0=-2$，因此二次函数的“反点”为$(2,-2)$。
【答案】
$(2,-2)$
【知识点】
1.新定义理解 2.二次函数图象上点的坐标特征 3.解一元二次方程
【点评】
本题属于新定义类基础题型，解题核心是准确理解“反点”的定义，将陌生的新定义问题转化为已学的函数与方程问题求解，侧重考察学生的阅读理解能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.7
9. 如图,在平面直角坐标系中,已知点$A(-3,6)$、$B(-9,-3)$,以原点$O$为位似中心作出位似图形,使原图形与新图形的相似比为$3:1$,则点$A$的对应点$A'$的坐标为
$(-1,2)$或$(1,-2)$
.答案
9.$(-1,2)$或$(1,-2)$
解析
【分析】
解决本题首先回忆平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似图形坐标变化规律：位似中心为原点时，位似图形对应点的坐标比等于相似比或其相反数。本题中原图形与新图形的相似比为3:1，即新图形对应点坐标是原图形对应点坐标的$\pm\frac{1}{3}$，分两种情况计算点A的对应点坐标即可。
【解析】
已知位似中心为原点O，原图形与新图形的相似比为3:1，即新图形与原图形的相似比为$\frac{1}{3}$。
根据平面直角坐标系中位似变换的坐标规律：
① 当新图形与原图形在位似中心同侧时，点A的对应点$A'$的坐标为$(-3×\frac{1}{3},6×\frac{1}{3})$，即$(-1,2)$；
② 当新图形与原图形在位似中心异侧时，点A的对应点$A'$的坐标为$(-3×(-\frac{1}{3}),6×(-\frac{1}{3}))$，即$(1,-2)$。
综上，点A的对应点$A'$的坐标为$(-1,2)$或$(1,-2)$。
【答案】
$(-1,2)$或$(1,-2)$
【知识点】
位似图形的性质、平面直角坐标系中的位似变换
【点评】
本题重点考查位似变换的坐标规律，解题时需注意位似图形存在与原图形在位似中心同侧和异侧两种情况，避免因漏解导致答案不全。
【难度系数】
0.7
解决本题首先回忆平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似图形坐标变化规律：位似中心为原点时，位似图形对应点的坐标比等于相似比或其相反数。本题中原图形与新图形的相似比为3:1，即新图形对应点坐标是原图形对应点坐标的$\pm\frac{1}{3}$，分两种情况计算点A的对应点坐标即可。
【解析】
已知位似中心为原点O，原图形与新图形的相似比为3:1，即新图形与原图形的相似比为$\frac{1}{3}$。
根据平面直角坐标系中位似变换的坐标规律：
① 当新图形与原图形在位似中心同侧时，点A的对应点$A'$的坐标为$(-3×\frac{1}{3},6×\frac{1}{3})$，即$(-1,2)$；
② 当新图形与原图形在位似中心异侧时，点A的对应点$A'$的坐标为$(-3×(-\frac{1}{3}),6×(-\frac{1}{3}))$，即$(1,-2)$。
综上，点A的对应点$A'$的坐标为$(-1,2)$或$(1,-2)$。
【答案】
$(-1,2)$或$(1,-2)$
【知识点】
位似图形的性质、平面直角坐标系中的位似变换
【点评】
本题重点考查位似变换的坐标规律，解题时需注意位似图形存在与原图形在位似中心同侧和异侧两种情况，避免因漏解导致答案不全。
【难度系数】
0.7
10. 我们知道抛物线 $ L_1: y = x^2 + 2x + 4 $ 与 $ L_2: y = x^2 + 4x + 2 $ 通过平移是可以重合的，那么要使这两条抛物线平移后重合，平移的距离至少是
$\sqrt{26}$
。答案
10.$\sqrt{26}$
解析
【分析】
抛物线平移时仅改变位置，形状、开口方向均不改变，因此平移的本质是抛物线顶点的平移。要使两条抛物线平移后重合且平移距离最小，只需将其中一条抛物线的顶点沿直线平移到另一条抛物线的顶点位置，此时平移距离等于两个顶点之间的线段长度。解题时先将两条抛物线化为顶点式求出顶点坐标，再用两点间距离公式计算距离即可。
【解析】
第一步：将两条抛物线化为顶点式，求顶点坐标
对于抛物线$L_1: y = x^2 + 2x + 4$，配方得：
$y = x^2 + 2x + 1 + 3 = (x+1)^2 + 3$，因此$L_1$的顶点坐标为$A(-1,3)$。
对于抛物线$L_2: y = x^2 + 4x + 2$，配方得：
$y = x^2 + 4x + 4 - 2 = (x+2)^2 - 2$，因此$L_2$的顶点坐标为$B(-2,-2)$。
第二步：计算两个顶点之间的距离
根据两点间距离公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则两点距离$d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$。
代入$A(-1,3)$、$B(-2,-2)$得：
$d=\sqrt{[(-1)-(-2)]^2 + [3 - (-2)]^2} = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{1+25} = \sqrt{26}$。
因此最小平移距离为$\sqrt{26}$。
【答案】
$\sqrt{26}$
【知识点】
抛物线的顶点式，两点间距离公式，平移的性质
【点评】
本题考查抛物线平移的本质，解题关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移问题，结合配方法求顶点坐标和距离公式即可轻松求解，需注意配方时不要出现计算错误。
【难度系数】
0.7
抛物线平移时仅改变位置，形状、开口方向均不改变，因此平移的本质是抛物线顶点的平移。要使两条抛物线平移后重合且平移距离最小，只需将其中一条抛物线的顶点沿直线平移到另一条抛物线的顶点位置，此时平移距离等于两个顶点之间的线段长度。解题时先将两条抛物线化为顶点式求出顶点坐标，再用两点间距离公式计算距离即可。
【解析】
第一步：将两条抛物线化为顶点式，求顶点坐标
对于抛物线$L_1: y = x^2 + 2x + 4$，配方得：
$y = x^2 + 2x + 1 + 3 = (x+1)^2 + 3$，因此$L_1$的顶点坐标为$A(-1,3)$。
对于抛物线$L_2: y = x^2 + 4x + 2$，配方得：
$y = x^2 + 4x + 4 - 2 = (x+2)^2 - 2$，因此$L_2$的顶点坐标为$B(-2,-2)$。
第二步：计算两个顶点之间的距离
根据两点间距离公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则两点距离$d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$。
代入$A(-1,3)$、$B(-2,-2)$得：
$d=\sqrt{[(-1)-(-2)]^2 + [3 - (-2)]^2} = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{1+25} = \sqrt{26}$。
因此最小平移距离为$\sqrt{26}$。
【答案】
$\sqrt{26}$
【知识点】
抛物线的顶点式，两点间距离公式，平移的性质
【点评】
本题考查抛物线平移的本质，解题关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移问题，结合配方法求顶点坐标和距离公式即可轻松求解，需注意配方时不要出现计算错误。
【难度系数】
0.7
11. 已知$ax^2 + bx + c = 0$的一个解是$x=4$，二次函数$y=ax^2 + bx + c - 1(a≠0)$的对称轴是直线$x=3$，则方程$ax^2 + bx + c = 0$的另一个解是
$x=2$
。答案
11.$x=2$
解析
【分析】
解题时我们可以顺着二次函数和一元二次方程的关联思考：第一步，二次函数上下平移不会改变对称轴，因此可先推出方程$ax^2+bx+c=0$对应的二次函数$y=ax^2+bx+c$的对称轴；第二步，一元二次方程的根就是对应二次函数与x轴交点的横坐标，两个交点关于对称轴对称，已知一个根是4，利用对称关系即可求出另一个根。
【解析】
1. 推导$y=ax^2+bx+c$的对称轴：
二次函数$y=ax^2+bx+c-1$是由$y=ax^2+bx+c$向下平移1个单位得到的，上下平移不改变二次函数的对称轴，因此$y=ax^2+bx+c$的对称轴也为直线$x=3$。
2. 利用对称性求另一个根：
一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解就是二次函数$y=ax^2+bx+c$与x轴交点的横坐标，两个交点关于对称轴对称。
设方程的另一个解为$x=m$，根据对称轴性质，两个根的平均值等于对称轴对应的x值，可得：
$\frac{4+m}{2}=3$
解得：$m=2$
【答案】
$x=2$
【知识点】
二次函数平移性质；二次函数与一元二次方程的关系；二次函数的对称性
【点评】
本题综合考查二次函数的核心性质和与一元二次方程的关联，解题的关键是明确平移不改变对称轴、方程根与函数交点横坐标的对应关系，需要学生具备将方程问题和函数问题灵活转化的能力。
【难度系数】
0.7
解题时我们可以顺着二次函数和一元二次方程的关联思考：第一步，二次函数上下平移不会改变对称轴，因此可先推出方程$ax^2+bx+c=0$对应的二次函数$y=ax^2+bx+c$的对称轴；第二步，一元二次方程的根就是对应二次函数与x轴交点的横坐标，两个交点关于对称轴对称，已知一个根是4，利用对称关系即可求出另一个根。
【解析】
1. 推导$y=ax^2+bx+c$的对称轴：
二次函数$y=ax^2+bx+c-1$是由$y=ax^2+bx+c$向下平移1个单位得到的，上下平移不改变二次函数的对称轴，因此$y=ax^2+bx+c$的对称轴也为直线$x=3$。
2. 利用对称性求另一个根：
一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解就是二次函数$y=ax^2+bx+c$与x轴交点的横坐标，两个交点关于对称轴对称。
设方程的另一个解为$x=m$，根据对称轴性质，两个根的平均值等于对称轴对应的x值，可得：
$\frac{4+m}{2}=3$
解得：$m=2$
【答案】
$x=2$
【知识点】
二次函数平移性质；二次函数与一元二次方程的关系；二次函数的对称性
【点评】
本题综合考查二次函数的核心性质和与一元二次方程的关联，解题的关键是明确平移不改变对称轴、方程根与函数交点横坐标的对应关系，需要学生具备将方程问题和函数问题灵活转化的能力。
【难度系数】
0.7
12.如图,在△ABC中,BC=3,点G是△ABC的重心,如果DG//BC,那么DG=
$1$
.答案
12.$1$
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形重心的性质：重心是三角形三条中线的交点，分每条中线的比为2:1（顶点到重心的距离:重心到对边中点的距离=2:1），且重心与顶点的连线延长后交于对边中点。看到DG//BC的条件，可联想到平行线判定三角形相似，利用相似三角形对应边成比例求解。第一步先作辅助线连接AG并延长交BC于点E，利用重心性质得到E是BC中点、AG与AE的比例；第二步证明△ADG与△ABE相似，代入对应边长计算DG即可。
【解析】
解：连接AG并延长，交BC于点E。
∵ 点G是△ABC的重心，
∴ E是BC的中点，且$AG:GE=2:1$，
∴ $BE = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}$，$AG:AE=2:(2+1)=2:3$。
∵ $DG// BC$，
∴ $∠ ADG=∠ ABE$，$∠ AGD=∠ AEB$，
∴ $△ ADG ∽ △ ABE$（两角分别相等的两个三角形相似）。
∴ $\frac{DG}{BE}=\frac{AG}{AE}=\frac{2}{3}$，
代入$BE=\frac{3}{2}$，得$DG = \frac{2}{3}×\frac{3}{2}=1$。
【答案】
1
【知识点】
三角形重心的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是三角形性质的基础综合题，解题的核心是正确利用重心的性质得到线段的比例关系，结合平行线得到相似三角形即可快速求解，是考试的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆三角形重心的性质：重心是三角形三条中线的交点，分每条中线的比为2:1（顶点到重心的距离:重心到对边中点的距离=2:1），且重心与顶点的连线延长后交于对边中点。看到DG//BC的条件，可联想到平行线判定三角形相似，利用相似三角形对应边成比例求解。第一步先作辅助线连接AG并延长交BC于点E，利用重心性质得到E是BC中点、AG与AE的比例；第二步证明△ADG与△ABE相似，代入对应边长计算DG即可。
【解析】
解：连接AG并延长，交BC于点E。
∵ 点G是△ABC的重心，
∴ E是BC的中点，且$AG:GE=2:1$，
∴ $BE = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}$，$AG:AE=2:(2+1)=2:3$。
∵ $DG// BC$，
∴ $∠ ADG=∠ ABE$，$∠ AGD=∠ AEB$，
∴ $△ ADG ∽ △ ABE$（两角分别相等的两个三角形相似）。
∴ $\frac{DG}{BE}=\frac{AG}{AE}=\frac{2}{3}$，
代入$BE=\frac{3}{2}$，得$DG = \frac{2}{3}×\frac{3}{2}=1$。
【答案】
1
【知识点】
三角形重心的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是三角形性质的基础综合题，解题的核心是正确利用重心的性质得到线段的比例关系，结合平行线得到相似三角形即可快速求解，是考试的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
13.有一隧道，内设双行线公路，同方向有两个车道(共有四个车道)，每个车道的宽为 3 m，此隧道的截面由一个矩形和一条抛物线构成(如图).为保证安全，要求行驶车辆顶部(设车辆顶部为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为 0.25 m，靠近中轴线的车道为快车道，两侧的车道为慢车道，则车辆通过隧道时，慢车道的限制高度为
$4.3$
m.(精确到0.1 m)答案
13.$4.3$
解析
【分析】
这是二次函数的实际应用问题，解题思路如下：①首先建立合适的平面直角坐标系：以路面为x轴，隧道中轴线为y轴，这样抛物线顶点在y轴上，可直接用顶点式设解析式；②根据已知条件确定抛物线的顶点坐标(0,8)和端点坐标(8,2)，用待定系数法求出抛物线解析式；③由于抛物线越远离顶点高度越低，慢车道最外侧是同方向车道中离中轴线最远的位置，此处隧道顶部高度最低，确定该位置对应的横坐标为6m；④将横坐标代入解析式求出该位置的隧道高度，减去要求的0.25m安全距离，得到限制高度，注意限制高度必须满足安全要求，取近似值时向下取舍。
【解析】
解：以路面为x轴，隧道中轴线为y轴建立平面直角坐标系。
由题意得：抛物线的顶点坐标为$(0,8)$，抛物线与矩形顶部的交点坐标为$(8,2)$。
设抛物线的解析式为$y=ax^2+8$，将$(8,2)$代入解析式：
$\begin{aligned}2&=a×8^2 +8\\64a&=-6\\a&=-\frac{3}{32}\end{aligned}$
因此抛物线解析式为$y=-\frac{3}{32}x^2+8$。
每个车道宽3m，同方向共2个车道，慢车道最外侧距离中轴线的距离为$3×2=6\ \mathrm{m}$，即$x=6$。
将$x=6$代入解析式：
$\begin{aligned}y&=-\frac{3}{32}×6^2 +8\\&=-\frac{108}{32}+8\\&=4.625\ \mathrm{m}\end{aligned}$
要求竖直方向高度差至少为0.25m，因此慢车道限制高度为$4.625-0.25=4.375\approx4.3\ \mathrm{m}$（为保证安全，向下保留一位小数）。
【答案】
$4.3$
【知识点】
二次函数的实际应用、待定系数法求解析式、坐标系建模
【点评】
本题结合生活实际考查二次函数的应用，解题关键是合理建立坐标系求出抛物线解析式，准确找到所求高度对应的横坐标，近似值的取舍要符合实际安全要求。
【难度系数】
0.65
这是二次函数的实际应用问题，解题思路如下：①首先建立合适的平面直角坐标系：以路面为x轴，隧道中轴线为y轴，这样抛物线顶点在y轴上，可直接用顶点式设解析式；②根据已知条件确定抛物线的顶点坐标(0,8)和端点坐标(8,2)，用待定系数法求出抛物线解析式；③由于抛物线越远离顶点高度越低，慢车道最外侧是同方向车道中离中轴线最远的位置，此处隧道顶部高度最低，确定该位置对应的横坐标为6m；④将横坐标代入解析式求出该位置的隧道高度，减去要求的0.25m安全距离，得到限制高度，注意限制高度必须满足安全要求，取近似值时向下取舍。
【解析】
解：以路面为x轴，隧道中轴线为y轴建立平面直角坐标系。
由题意得：抛物线的顶点坐标为$(0,8)$，抛物线与矩形顶部的交点坐标为$(8,2)$。
设抛物线的解析式为$y=ax^2+8$，将$(8,2)$代入解析式：
$\begin{aligned}2&=a×8^2 +8\\64a&=-6\\a&=-\frac{3}{32}\end{aligned}$
因此抛物线解析式为$y=-\frac{3}{32}x^2+8$。
每个车道宽3m，同方向共2个车道，慢车道最外侧距离中轴线的距离为$3×2=6\ \mathrm{m}$，即$x=6$。
将$x=6$代入解析式：
$\begin{aligned}y&=-\frac{3}{32}×6^2 +8\\&=-\frac{108}{32}+8\\&=4.625\ \mathrm{m}\end{aligned}$
要求竖直方向高度差至少为0.25m，因此慢车道限制高度为$4.625-0.25=4.375\approx4.3\ \mathrm{m}$（为保证安全，向下保留一位小数）。
【答案】
$4.3$
【知识点】
二次函数的实际应用、待定系数法求解析式、坐标系建模
【点评】
本题结合生活实际考查二次函数的应用，解题关键是合理建立坐标系求出抛物线解析式，准确找到所求高度对应的横坐标，近似值的取舍要符合实际安全要求。
【难度系数】
0.65
14 如图,二次函数$y=-\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{3}{2}x+2$的图像与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点D(m,n)是抛物线在第二象限的部分上一动点,则四边形OCDA的面积的最大值是
$8$
.答案
14.8 解析:在 $ y=-\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}x+2 $ 中,当 $ x=0 $ 时, $ y=2, \therefore C(0,2) $. 当 $ y=0 $ 时,有 $ -\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}x+2=0 $,解得 $ x=-4 $ 或 $ x=1, \therefore $ 点 $ A(-4,0) $、$ B(1,0) $.
$ \because $ 点 $ D(m,n) $ 是抛物线在第二象限的部分上的一动点,$ \therefore $ 设 $ D(m,-\frac{1}{2}m^2-\frac{3}{2}m+2)(-4＜m＜0) $.
如图,连接 AC,过点 D 作 $ DH ⊥ x $ 轴于点 H,
则 $ DH=-\frac{1}{2}m^2-\frac{3}{2}m+2 $,
$ AH=m+4,HO=-m $,
$ \therefore S_{\mathrm{四边形}OCDA}=S_{△ ADH}+S_{\mathrm{四边形}OCDH}=\frac{1}{2}(m+4)×(-\frac{1}{2}m^2-\frac{3}{2}m+2)+\frac{1}{2}(-\frac{1}{2}m^2-\frac{3}{2}m+2+2)×(-m)=-m^2-4m+4=-(m+2)^2+8(-4＜m＜0) $,
则当 $ m=-2 $ 时,S 取得最大值,最大值为 8. 故答案为 8.
解析
【分析】
要计算不规则四边形OCDA的最大面积，首先需要求出二次函数与坐标轴交点A、C的坐标；其次因为点D在抛物线上，可将其坐标用含横坐标m的代数式表示；再用割补法把四边形分割为易计算面积的三角形和梯形，列出面积关于m的函数表达式；最后将得到的二次函数配方，结合m的取值范围即可求出面积最大值。
【解析】
在二次函数$y=-\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{3}{2}x+2$中：
当$x=0$时，$y=2$，$\therefore C(0,2)$；
当$y=0$时，$-\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{3}{2}x+2=0$，整理得$x^2+3x-4=0$，解得$x=-4$或$x=1$，$\therefore A(-4,0)$。
$\because$点$D(m,n)$是抛物线在第二象限的部分上的动点，$\therefore -4＜m＜0$，且$n=-\dfrac{1}{2}m^2-\dfrac{3}{2}m+2$。
如图，连接$AC$，过点$D$作$DH ⊥ x$轴于点$H$，
则$DH=-\dfrac{1}{2}m^2-\dfrac{3}{2}m+2$，$AH=m+4$，$HO=-m$。
四边形OCDA的面积可拆分为$△ ADH$和梯形$OCDH$的面积之和：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{四边形}OCDA}&=S_{△ ADH}+S_{\mathrm{梯形}OCDH}\\&=\frac{1}{2}(m+4)×(-\frac{1}{2}m^2-\frac{3}{2}m+2)+\frac{1}{2}×(-\frac{1}{2}m^2-\frac{3}{2}m+2+2)×(-m)\\&=-m^2-4m+4\\&=-(m+2)^2+8\end{aligned}$
$\because$二次函数开口向下，且$-4＜m＜0$，$\therefore$当$m=-2$时，$S_{\mathrm{四边形}OCDA}$取得最大值。
【答案】
8
【知识点】
二次函数交点求解、割补法求面积、二次函数最值
【点评】
本题是二次函数综合应用的典型题型，核心是通过割补法将不规则图形面积转化为规则图形的面积和，再结合二次函数性质求最值，需要熟练掌握割补的思路和配方法求二次函数最值的技巧。
【难度系数】
0.6
要计算不规则四边形OCDA的最大面积，首先需要求出二次函数与坐标轴交点A、C的坐标；其次因为点D在抛物线上，可将其坐标用含横坐标m的代数式表示；再用割补法把四边形分割为易计算面积的三角形和梯形，列出面积关于m的函数表达式；最后将得到的二次函数配方，结合m的取值范围即可求出面积最大值。
【解析】
在二次函数$y=-\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{3}{2}x+2$中：
当$x=0$时，$y=2$，$\therefore C(0,2)$；
当$y=0$时，$-\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{3}{2}x+2=0$，整理得$x^2+3x-4=0$，解得$x=-4$或$x=1$，$\therefore A(-4,0)$。
$\because$点$D(m,n)$是抛物线在第二象限的部分上的动点，$\therefore -4＜m＜0$，且$n=-\dfrac{1}{2}m^2-\dfrac{3}{2}m+2$。
如图，连接$AC$，过点$D$作$DH ⊥ x$轴于点$H$，
则$DH=-\dfrac{1}{2}m^2-\dfrac{3}{2}m+2$，$AH=m+4$，$HO=-m$。
四边形OCDA的面积可拆分为$△ ADH$和梯形$OCDH$的面积之和：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{四边形}OCDA}&=S_{△ ADH}+S_{\mathrm{梯形}OCDH}\\&=\frac{1}{2}(m+4)×(-\frac{1}{2}m^2-\frac{3}{2}m+2)+\frac{1}{2}×(-\frac{1}{2}m^2-\frac{3}{2}m+2+2)×(-m)\\&=-m^2-4m+4\\&=-(m+2)^2+8\end{aligned}$
$\because$二次函数开口向下，且$-4＜m＜0$，$\therefore$当$m=-2$时，$S_{\mathrm{四边形}OCDA}$取得最大值。
【答案】
8
【知识点】
二次函数交点求解、割补法求面积、二次函数最值
【点评】
本题是二次函数综合应用的典型题型，核心是通过割补法将不规则图形面积转化为规则图形的面积和，再结合二次函数性质求最值，需要熟练掌握割补的思路和配方法求二次函数最值的技巧。
【难度系数】
0.6
15.如图，正方形ABCD的边长为4，AE=EB，MN=2，线段MN的两端在CB、CD上滑动，当CM=
$\frac{4\sqrt{5}}{5}$或$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
时，△ADE与△CMN相似。答案
15.$\frac{4\sqrt{5}}{5}$或$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
解析
【分析】
首先根据正方形性质和已知条件确定Rt△ADE的边长和两直角边的比例关系；由于△CMN也是直角三角形，直角∠C与∠A对应，两三角形相似时其余两组边的对应关系有两种可能，需分类讨论；分别根据相似三角形对应边成比例列等式求解，所得解符合线段长度范围即可。
【解析】
解：
∵正方形ABCD边长为4，
∴AD=AB=4，∠A=∠C=90°，
∵AE=EB，
∴$AE=\frac{1}{2}AB=2$，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{AD^2+AE^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$，
∴Rt△ADE的两直角边比$AE:AD=1:2$。
∵线段MN两端在CB、CD上滑动，
∴△CMN为直角三角形，∠C=90°，$MN=2$，分两种相似情况：
1. 当$△ ADE ∽ △ CMN$时，对应边成比例：$\frac{AD}{CM}=\frac{DE}{MN}$，
代入数值：$\frac{4}{CM}=\frac{2\sqrt{5}}{2}$，
解得$CM=\frac{4\sqrt{5}}{5}$，符合题意；
2. 当$△ ADE ∽ △ CNM$时，对应边成比例：$\frac{AE}{CM}=\frac{DE}{MN}$，
代入数值：$\frac{2}{CM}=\frac{2\sqrt{5}}{2}$，
解得$CM=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，符合题意。
综上，CM的长度为$\frac{4\sqrt{5}}{5}$或$\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
$\frac{4\sqrt{5}}{5}$或$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
正方形的性质；相似三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题解题的关键是明确直角三角形相似时的对应关系，需分类讨论避免漏解，同时要结合图形特征验证解的合理性。
【难度系数】
0.6
首先根据正方形性质和已知条件确定Rt△ADE的边长和两直角边的比例关系；由于△CMN也是直角三角形，直角∠C与∠A对应，两三角形相似时其余两组边的对应关系有两种可能，需分类讨论；分别根据相似三角形对应边成比例列等式求解，所得解符合线段长度范围即可。
【解析】
解：
∵正方形ABCD边长为4，
∴AD=AB=4，∠A=∠C=90°，
∵AE=EB，
∴$AE=\frac{1}{2}AB=2$，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{AD^2+AE^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$，
∴Rt△ADE的两直角边比$AE:AD=1:2$。
∵线段MN两端在CB、CD上滑动，
∴△CMN为直角三角形，∠C=90°，$MN=2$，分两种相似情况：
1. 当$△ ADE ∽ △ CMN$时，对应边成比例：$\frac{AD}{CM}=\frac{DE}{MN}$，
代入数值：$\frac{4}{CM}=\frac{2\sqrt{5}}{2}$，
解得$CM=\frac{4\sqrt{5}}{5}$，符合题意；
2. 当$△ ADE ∽ △ CNM$时，对应边成比例：$\frac{AE}{CM}=\frac{DE}{MN}$，
代入数值：$\frac{2}{CM}=\frac{2\sqrt{5}}{2}$，
解得$CM=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，符合题意。
综上，CM的长度为$\frac{4\sqrt{5}}{5}$或$\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
$\frac{4\sqrt{5}}{5}$或$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
正方形的性质；相似三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题解题的关键是明确直角三角形相似时的对应关系，需分类讨论避免漏解，同时要结合图形特征验证解的合理性。
【难度系数】
0.6
16如图1，一张矩形纸片ABCD，点E、F分别在AB、CD上，点G、H分别在AF、EC上，现将该纸片沿AF、GH、EC剪开，拼成如图2所示的矩形，已知DF：AD=5：12，GH=6，则AD的长是
$10$
。答案
16.10 解析:如图 1,设 $ DF=5x $,依题意得 $ AD=12x,AF=\sqrt{AD^2+DF^2}=13x $.
在图 2 中,$ ∠ CHA=∠ FDA=90°,∠ CAH=∠ FAD $,
$ \therefore △ ADF ∽ △ AHC, \therefore \frac{AD}{AH}=\frac{DF}{HC}=\frac{AF}{AC} $,
$ \therefore \frac{12x}{6+12x}=\frac{5x}{HC}=\frac{13x}{FC+13x} $,
$ \therefore HC=5x+\frac{5}{2},FC=\frac{13}{2} $,
$ \therefore $ 拼成如图 2 所示的矩形面积为 $ AH · HC=(12x+6)(5x+\frac{5}{2})=60(x+\frac{1}{2})^2 $.
在图 1 中,$ CD=DF+FC=5x+\frac{13}{2} $,
原矩形面积 $ =AD · CD=12x(5x+\frac{13}{2}) $,
$ \therefore 60(x+\frac{1}{2})^2=12x(5x+\frac{13}{2}) $,解得 $ x=\frac{5}{6} $,
$ \therefore AD=12x=12×\frac{5}{6}=10 $.
解析
【分析】
本题是图形剪拼结合几何计算的综合题，解题思路如下：① 先根据已知的DF与AD的比值，设参数表示DF、AD的长度，用勾股定理求出AF的长度；② 观察剪拼后得到的矩形，找到相似的直角三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质，用含参数的式子表示出HC、FC的长度；③ 抓住剪拼前后图形面积不变的核心关系，分别表示出原矩形和剪拼后新矩形的面积，列方程求解参数，即可求出AD的长度。
【解析】
设 $ DF=5x $，由 $ DF:AD=5:12 $ 可得 $ AD=12x $，在 $ \mathrm{Rt}△ ADF $ 中，由勾股定理得：
$ AF=\sqrt{AD^2+DF^2}=\sqrt{(12x)^2+(5x)^2}=13x $。
观察图2可得 $ ∠ CHA=∠ FDA=90° $，$ ∠ CAH=∠ FAD $，因此 $ △ ADF ∽ △ AHC $，根据相似三角形的性质可得：
$ \frac{AD}{AH}=\frac{DF}{HC}=\frac{AF}{AC} $，其中 $ AH=AD+GH=12x+6 $，代入得：
$ \frac{12x}{12x+6}=\frac{5x}{HC}=\frac{13x}{13x+FC} $，
解得 $ HC=5x+\frac{5}{2} $，$ FC=\frac{13}{2} $。
剪拼后新矩形的面积为 $ AH · HC=(12x+6)(5x+\frac{5}{2})=60(x+\frac{1}{2})^2 $，
原矩形ABCD中，$ CD=DF+FC=5x+\frac{13}{2} $，原矩形面积为 $ AD · CD=12x(5x+\frac{13}{2}) $。
由剪拼前后面积相等可得方程：
$ 60(x+\frac{1}{2})^2=12x(5x+\frac{13}{2}) $，
解得 $ x=\frac{5}{6} $，
因此 $ AD=12x=12×\frac{5}{6}=10 $。
【答案】
10
【知识点】
勾股定理，相似三角形的性质，等积变换
【点评】
本题将图形剪拼与几何计算相结合，解题的关键是抓住剪拼前后面积不变的特点，结合相似三角形的比例关系建立方程求解，有效考查了数形结合思想和方程思想的应用。
【难度系数】
0.35
本题是图形剪拼结合几何计算的综合题，解题思路如下：① 先根据已知的DF与AD的比值，设参数表示DF、AD的长度，用勾股定理求出AF的长度；② 观察剪拼后得到的矩形，找到相似的直角三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质，用含参数的式子表示出HC、FC的长度；③ 抓住剪拼前后图形面积不变的核心关系，分别表示出原矩形和剪拼后新矩形的面积，列方程求解参数，即可求出AD的长度。
【解析】
设 $ DF=5x $，由 $ DF:AD=5:12 $ 可得 $ AD=12x $，在 $ \mathrm{Rt}△ ADF $ 中，由勾股定理得：
$ AF=\sqrt{AD^2+DF^2}=\sqrt{(12x)^2+(5x)^2}=13x $。
观察图2可得 $ ∠ CHA=∠ FDA=90° $，$ ∠ CAH=∠ FAD $，因此 $ △ ADF ∽ △ AHC $，根据相似三角形的性质可得：
$ \frac{AD}{AH}=\frac{DF}{HC}=\frac{AF}{AC} $，其中 $ AH=AD+GH=12x+6 $，代入得：
$ \frac{12x}{12x+6}=\frac{5x}{HC}=\frac{13x}{13x+FC} $，
解得 $ HC=5x+\frac{5}{2} $，$ FC=\frac{13}{2} $。
剪拼后新矩形的面积为 $ AH · HC=(12x+6)(5x+\frac{5}{2})=60(x+\frac{1}{2})^2 $，
原矩形ABCD中，$ CD=DF+FC=5x+\frac{13}{2} $，原矩形面积为 $ AD · CD=12x(5x+\frac{13}{2}) $。
由剪拼前后面积相等可得方程：
$ 60(x+\frac{1}{2})^2=12x(5x+\frac{13}{2}) $，
解得 $ x=\frac{5}{6} $，
因此 $ AD=12x=12×\frac{5}{6}=10 $。
【答案】
10
【知识点】
勾股定理，相似三角形的性质，等积变换
【点评】
本题将图形剪拼与几何计算相结合，解题的关键是抓住剪拼前后面积不变的特点，结合相似三角形的比例关系建立方程求解，有效考查了数形结合思想和方程思想的应用。
【难度系数】
0.35
