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12.(蚌埠市期末)已知等腰三角形的周长是20，其中一边长为6，则其他两边的长度分别是（
A.6,8
B.7,7
C.6,8或7,7
D.3,11
C
）A.6,8
B.7,7
C.6,8或7,7
D.3,11
答案
C
解析
【分析】
解决本题首先要明确等腰三角形的两条腰长度相等，由于题目未明确给出长度为6的边是腰还是底边，因此需要分两种情况进行讨论：①6为腰长；②6为底边长。分别计算出另外两边的长度后，还需根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证所得的三边能否构成三角形，排除不符合条件的情况。
【解析】
已知等腰三角形周长为20，分两种情况讨论：
情况1：当长度为6的边是腰长时，等腰三角形的另一条腰长也为6，
则底边长 = 周长 - 2×腰长 = 20 - 2×6 = 8，
此时三边长为6、6、8，验证三边关系：6+6＞8，6+8＞6，满足三角形构成条件，此时另外两边为6和8；
情况2：当长度为6的边是底边长时，
则腰长 = (周长 - 底边长)÷2 = (20 - 6)÷2 = 7，
此时三边长为7、7、6，验证三边关系：7+7＞6，7+6＞7，满足三角形构成条件，此时另外两边为7和7。
综上，其他两边的长度分别是6,8或7,7。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题解题核心是运用分类讨论思想，对已知边长属于腰还是底边进行分类求解，同时要注意求出边长后必须验证是否符合三角形三边关系，避免出现不符合实际的错解。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确等腰三角形的两条腰长度相等，由于题目未明确给出长度为6的边是腰还是底边，因此需要分两种情况进行讨论：①6为腰长；②6为底边长。分别计算出另外两边的长度后，还需根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证所得的三边能否构成三角形，排除不符合条件的情况。
【解析】
已知等腰三角形周长为20，分两种情况讨论：
情况1：当长度为6的边是腰长时，等腰三角形的另一条腰长也为6，
则底边长 = 周长 - 2×腰长 = 20 - 2×6 = 8，
此时三边长为6、6、8，验证三边关系：6+6＞8，6+8＞6，满足三角形构成条件，此时另外两边为6和8；
情况2：当长度为6的边是底边长时，
则腰长 = (周长 - 底边长)÷2 = (20 - 6)÷2 = 7，
此时三边长为7、7、6，验证三边关系：7+7＞6，7+6＞7，满足三角形构成条件，此时另外两边为7和7。
综上，其他两边的长度分别是6,8或7,7。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题解题核心是运用分类讨论思想，对已知边长属于腰还是底边进行分类求解，同时要注意求出边长后必须验证是否符合三角形三边关系，避免出现不符合实际的错解。
【难度系数】
0.7
13.在$△ ABC$中，AD为边BC上的高，$∠ ABC=30°$，$∠ CAD=20°$，则$∠ BAC$的度数为
80°或40°
.答案
80°或40°
解析
【分析】
本题未明确△ABC的形状，高AD的位置存在两种情况：①高AD在△ABC内部；②高AD在△ABC外部，因此需要分类讨论求解。解题时先根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD的度数，再结合∠CAD的度数，根据两种情况的角的和差关系计算∠BAC即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当高AD在△ABC内部时：
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=90°
在Rt△ABD中，∠ABC=30°，根据直角三角形两锐角互余可得：
∠BAD=90°-∠ABC=90°-30°=60°
已知∠CAD=20°，因此
∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+20°=80°
2. 当高AD在△ABC外部时（此时∠ACB为钝角，垂足D在BC的延长线上）：
同理可得∠BAD=90°-30°=60°
已知∠CAD=20°，因此
∠BAC=∠BAD-∠CAD=60°-20°=40°
综上，∠BAC的度数为80°或40°。
【答案】
80°或40°
【知识点】
直角三角形两锐角互余；三角形的高的性质；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略三角形高的位置的不确定性，只考虑高在三角形内部的情况导致漏解，解题时遇到未明确形状的三角形的高的相关问题，要注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
本题未明确△ABC的形状，高AD的位置存在两种情况：①高AD在△ABC内部；②高AD在△ABC外部，因此需要分类讨论求解。解题时先根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD的度数，再结合∠CAD的度数，根据两种情况的角的和差关系计算∠BAC即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当高AD在△ABC内部时：
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=90°
在Rt△ABD中，∠ABC=30°，根据直角三角形两锐角互余可得：
∠BAD=90°-∠ABC=90°-30°=60°
已知∠CAD=20°，因此
∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+20°=80°
2. 当高AD在△ABC外部时（此时∠ACB为钝角，垂足D在BC的延长线上）：
同理可得∠BAD=90°-30°=60°
已知∠CAD=20°，因此
∠BAC=∠BAD-∠CAD=60°-20°=40°
综上，∠BAC的度数为80°或40°。
【答案】
80°或40°
【知识点】
直角三角形两锐角互余；三角形的高的性质；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略三角形高的位置的不确定性，只考虑高在三角形内部的情况导致漏解，解题时遇到未明确形状的三角形的高的相关问题，要注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
14. 如图，在$△ ABC$中，AD是$△ ABC$的高，AE，BF是$△ ABC$的角平分线，AE与BF相交于点O，$∠ BOA = 125°$，求$∠ DAC$的度数.
答案
解:
∵∠OAB+∠OBA+∠AOB=180°,∠AOB=125°,
∴∠OAB+∠OBA=180°−125°=55°,
∵AE,BF是△ABC的角平分线,
∴∠OAB = $\frac{1}{2}$∠BAC,∠OBA = $\frac{1}{2}$∠ABC,
∴$\frac{1}{2}$∠BAC+$\frac{1}{2}$∠ABC=55°.
∴∠BAC+∠ABC=110°.
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠ACB = 70°.
∵AD是△ABC的高,
∴∠ADC=90°.
∴∠DAC=90°−70°=20°.
∵∠OAB+∠OBA+∠AOB=180°,∠AOB=125°,
∴∠OAB+∠OBA=180°−125°=55°,
∵AE,BF是△ABC的角平分线,
∴∠OAB = $\frac{1}{2}$∠BAC,∠OBA = $\frac{1}{2}$∠ABC,
∴$\frac{1}{2}$∠BAC+$\frac{1}{2}$∠ABC=55°.
∴∠BAC+∠ABC=110°.
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠ACB = 70°.
∵AD是△ABC的高,
∴∠ADC=90°.
∴∠DAC=90°−70°=20°.
解析
【分析】
解题时首先从已知的∠BOA入手，在△AOB中利用三角形内角和先求出∠OAB与∠OBA的和；再结合AE、BF是角平分线的条件，将这两个角转化为△ABC中∠BAC和∠ABC的一半，进而求出∠BAC与∠ABC的总和；接着再次利用三角形内角和定理算出∠ACB的度数；最后根据AD是高可得∠ADC=90°，在Rt△ADC中利用直角三角形两锐角互余即可求出∠DAC的度数。
【解析】
∵在△AOB中，∠OAB+∠OBA+∠AOB=180°，∠AOB=125°，
∴∠OAB+∠OBA=180°−125°=55°，
∵AE，BF是△ABC的角平分线，
∴∠OAB = $\frac{1}{2}$∠BAC，∠OBA = $\frac{1}{2}$∠ABC，
∴$\frac{1}{2}$∠BAC+$\frac{1}{2}$∠ABC=55°，
∴∠BAC+∠ABC=110°，
∵在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ACB = 180°-110°=70°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=90°，
∴在Rt△ADC中，∠DAC=90°−70°=20°。
【答案】
20°
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于三角形性质的基础综合题，解题核心是熟练运用三角形角平分线、高的定义以及内角和定理，通过已知角逐步推导未知角，逻辑链条清晰，掌握基础性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知的∠BOA入手，在△AOB中利用三角形内角和先求出∠OAB与∠OBA的和；再结合AE、BF是角平分线的条件，将这两个角转化为△ABC中∠BAC和∠ABC的一半，进而求出∠BAC与∠ABC的总和；接着再次利用三角形内角和定理算出∠ACB的度数；最后根据AD是高可得∠ADC=90°，在Rt△ADC中利用直角三角形两锐角互余即可求出∠DAC的度数。
【解析】
∵在△AOB中，∠OAB+∠OBA+∠AOB=180°，∠AOB=125°，
∴∠OAB+∠OBA=180°−125°=55°，
∵AE，BF是△ABC的角平分线，
∴∠OAB = $\frac{1}{2}$∠BAC，∠OBA = $\frac{1}{2}$∠ABC，
∴$\frac{1}{2}$∠BAC+$\frac{1}{2}$∠ABC=55°，
∴∠BAC+∠ABC=110°，
∵在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ACB = 180°-110°=70°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=90°，
∴在Rt△ADC中，∠DAC=90°−70°=20°。
【答案】
20°
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于三角形性质的基础综合题，解题核心是熟练运用三角形角平分线、高的定义以及内角和定理，通过已知角逐步推导未知角，逻辑链条清晰，掌握基础性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
15.(新考法)在小学期间,同学们已经知道了“一个三角形的三个内角之和等于$180°$”这个基本事实,这将为你在解决下列问题中提供帮助.已知线段AB与CD相交于点O,连接AD,BC.
(1)如图1,求证:$∠ A+∠ D=∠ B+∠ C$;
(2)请利用(1)的结论探索下列问题:
①如图2,作AP平分$∠ DAB$,交DC于点M,交$∠ BCD$的平分线于点P,PC交AB于点N,若$∠ B+∠ D=80°$,求$∠ P$的大小;
②如图3,若$∠ B=α,∠ D=β,∠ P=\gamma$,且$∠ BAP=\frac{1}{4}∠ BAD,∠ BCP=\frac{1}{4}∠ BCD$,请求出$α,β,\gamma$之间的数量关系.
(1)如图1,求证:$∠ A+∠ D=∠ B+∠ C$;
(2)请利用(1)的结论探索下列问题:
①如图2,作AP平分$∠ DAB$,交DC于点M,交$∠ BCD$的平分线于点P,PC交AB于点N,若$∠ B+∠ D=80°$,求$∠ P$的大小;
②如图3,若$∠ B=α,∠ D=β,∠ P=\gamma$,且$∠ BAP=\frac{1}{4}∠ BAD,∠ BCP=\frac{1}{4}∠ BCD$,请求出$α,β,\gamma$之间的数量关系.
答案
(1)证明:
∵∠A+∠D+∠AOD=180°,∠B+∠C+∠BOC=180°,∠AOD=∠BOC,
∴∠A+∠D=∠B+∠C；
(2)解:①
∵AP平分∠DAB,CP平分∠BCD,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,由(1),得∠1+∠D=∠3+∠P,①,∠4+∠B=∠2+∠P.②,①+②,得∠1+∠4+∠B+∠D=∠2+∠3+2∠P,即2∠P=∠B+∠D,
∴∠P=$\frac{1}{2}$(∠B+∠D)=$\frac{1}{2}$×80°=40°；
②设∠6=x,∠8=y.
∵∠BAP=$\frac{1}{4}$∠BAD,∠BCP=$\frac{1}{4}$∠BCD,
∴∠5=3x,∠7=3y,由(1),得∠5+∠D=∠7+∠P,∠6+∠P=∠8+∠B,即3x+β=3y+γ,x+γ=y+α,
∴3(α−γ)=γ−β,即4γ=3α+β.
∴α,β,γ之间的数量关系是4γ=3α+β.
∵∠A+∠D+∠AOD=180°,∠B+∠C+∠BOC=180°,∠AOD=∠BOC,
∴∠A+∠D=∠B+∠C；
(2)解:①
∵AP平分∠DAB,CP平分∠BCD,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,由(1),得∠1+∠D=∠3+∠P,①,∠4+∠B=∠2+∠P.②,①+②,得∠1+∠4+∠B+∠D=∠2+∠3+2∠P,即2∠P=∠B+∠D,
∴∠P=$\frac{1}{2}$(∠B+∠D)=$\frac{1}{2}$×80°=40°；
②设∠6=x,∠8=y.
∵∠BAP=$\frac{1}{4}$∠BAD,∠BCP=$\frac{1}{4}$∠BCD,
∴∠5=3x,∠7=3y,由(1),得∠5+∠D=∠7+∠P,∠6+∠P=∠8+∠B,即3x+β=3y+γ,x+γ=y+α,
∴3(α−γ)=γ−β,即4γ=3α+β.
∴α,β,γ之间的数量关系是4γ=3α+β.
解析
【分析】
(1) 观察图形可知△AOD和△BOC有一组相等的对顶角∠AOD与∠BOC，结合三角形内角和为180°，分别写出两个三角形的内角和等式，消去相等的对顶角即可得证结论。
(2) ①已知AP、CP是角平分线，可得∠1=∠2、∠3=∠4，图中存在两组和(1)结构相同的“8字”模型，分别对两组模型用(1)的结论列出两个等式，将两个等式相加，消去相等的角即可推导出∠P与∠B、∠D的关系，代入∠B+∠D=80°即可计算出∠P的度数。
②已知∠BAP是∠BAD的$\frac{1}{4}$、∠BCP是∠BCD的$\frac{1}{4}$，可设∠BAP=x、∠BCP=y，用x、y表示出其余相关角，再选取两组“8字”模型用(1)的结论列等式，通过消元去掉参数x、y，即可得到α、β、γ的数量关系。
【解析】
(1) 证明：
∵ 在△AOD中，$∠ A+∠ D+∠ AOD=180°$，在△BOC中，$∠ B+∠ C+∠ BOC=180°$，且$∠ AOD=∠ BOC$（对顶角相等），
∴ $∠ A+∠ D=∠ B+∠ C$。
(2) ① 解：
∵ AP平分$∠ DAB$，CP平分$∠ BCD$，
∴ $∠ 1=∠ 2$，$∠ 3=∠ 4$。
由(1)的结论可得：$∠ 1+∠ D=∠ 3+∠ P$ ①，$∠ 4+∠ B=∠ 2+∠ P$ ②，
①+②得：$∠ 1+∠ 4+∠ B+∠ D=∠ 2+∠ 3+2∠ P$，
∵ $∠ 1=∠ 2$，$∠ 3=∠ 4$，
∴ $2∠ P=∠ B+∠ D$，
∴ $∠ P=\frac{1}{2}(∠ B+∠ D)=\frac{1}{2}×80°=40°$。
② 解：
设$∠ BAP=x$，$∠ BCP=y$，
∵ $∠ BAP=\frac{1}{4}∠ BAD$，$∠ BCP=\frac{1}{4}∠ BCD$，
∴ $∠ BAD=4x$，$∠ BCD=4y$，即$∠ DAP=3x$，$∠ DCP=3y$。
由(1)的结论可得：$∠ DAP+∠ D=∠ DCP+∠ P$，$∠ BAP+∠ P=∠ BCP+∠ B$，
即$3x+β=3y+\gamma$ ③，$x+\gamma=y+α$ ④，
由④得$x-y=α-\gamma$，代入③可得：$3(α-\gamma)=\gamma-β$，
整理得$4\gamma=3α+β$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) ① $\boldsymbol{40°}$；② $\boldsymbol{4\gamma=3α+β}$
【知识点】
三角形内角和定理，对顶角相等，角平分线的定义
【点评】
本题围绕“8字”几何模型展开考查，从基础结论推导到多角数量关系探究，既要求熟练掌握三角形内角和、对顶角、角平分线等基础知识点，也需要具备参数设元、等式变形消元的运算能力，掌握常见几何模型可有效提升解题速度与准确率。
【难度系数】
0.6
(1) 观察图形可知△AOD和△BOC有一组相等的对顶角∠AOD与∠BOC，结合三角形内角和为180°，分别写出两个三角形的内角和等式，消去相等的对顶角即可得证结论。
(2) ①已知AP、CP是角平分线，可得∠1=∠2、∠3=∠4，图中存在两组和(1)结构相同的“8字”模型，分别对两组模型用(1)的结论列出两个等式，将两个等式相加，消去相等的角即可推导出∠P与∠B、∠D的关系，代入∠B+∠D=80°即可计算出∠P的度数。
②已知∠BAP是∠BAD的$\frac{1}{4}$、∠BCP是∠BCD的$\frac{1}{4}$，可设∠BAP=x、∠BCP=y，用x、y表示出其余相关角，再选取两组“8字”模型用(1)的结论列等式，通过消元去掉参数x、y，即可得到α、β、γ的数量关系。
【解析】
(1) 证明：
∵ 在△AOD中，$∠ A+∠ D+∠ AOD=180°$，在△BOC中，$∠ B+∠ C+∠ BOC=180°$，且$∠ AOD=∠ BOC$（对顶角相等），
∴ $∠ A+∠ D=∠ B+∠ C$。
(2) ① 解：
∵ AP平分$∠ DAB$，CP平分$∠ BCD$，
∴ $∠ 1=∠ 2$，$∠ 3=∠ 4$。
由(1)的结论可得：$∠ 1+∠ D=∠ 3+∠ P$ ①，$∠ 4+∠ B=∠ 2+∠ P$ ②，
①+②得：$∠ 1+∠ 4+∠ B+∠ D=∠ 2+∠ 3+2∠ P$，
∵ $∠ 1=∠ 2$，$∠ 3=∠ 4$，
∴ $2∠ P=∠ B+∠ D$，
∴ $∠ P=\frac{1}{2}(∠ B+∠ D)=\frac{1}{2}×80°=40°$。
② 解：
设$∠ BAP=x$，$∠ BCP=y$，
∵ $∠ BAP=\frac{1}{4}∠ BAD$，$∠ BCP=\frac{1}{4}∠ BCD$，
∴ $∠ BAD=4x$，$∠ BCD=4y$，即$∠ DAP=3x$，$∠ DCP=3y$。
由(1)的结论可得：$∠ DAP+∠ D=∠ DCP+∠ P$，$∠ BAP+∠ P=∠ BCP+∠ B$，
即$3x+β=3y+\gamma$ ③，$x+\gamma=y+α$ ④，
由④得$x-y=α-\gamma$，代入③可得：$3(α-\gamma)=\gamma-β$，
整理得$4\gamma=3α+β$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) ① $\boldsymbol{40°}$；② $\boldsymbol{4\gamma=3α+β}$
【知识点】
三角形内角和定理，对顶角相等，角平分线的定义
【点评】
本题围绕“8字”几何模型展开考查，从基础结论推导到多角数量关系探究，既要求熟练掌握三角形内角和、对顶角、角平分线等基础知识点，也需要具备参数设元、等式变形消元的运算能力，掌握常见几何模型可有效提升解题速度与准确率。
【难度系数】
0.6
