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5. 如图1，三孔桥纵截面的三个孔都呈抛物线形，两个小孔的形状、大小都相同。正常水位时，大孔水面宽度AB＝20 m，顶点M到水面的距离MO＝6 m，小孔顶点N到水面的距离NC＝4.5 m。当水位上涨至刚好淹没小孔时，借助图2中的平面直角坐标系，求大孔的水面宽度EF。
答案
5.【解】设大孔所在的抛物线对应的函数解析式为$y=ax^2+6(a≠0)$。
依题意，得点B的坐标为(10,0)。
$\therefore a×10^2+6=0$。
解得$a=-0.06$。
$\therefore y=-0.06x^2+6$。
当$y=4.5$时，列得方程$-0.06x^2+6=4.5$。
解得$x=±5$。
$\therefore EF=10\ \mathrm{m}$。
$\therefore$当水位上涨至刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度为10 m。
依题意，得点B的坐标为(10,0)。
$\therefore a×10^2+6=0$。
解得$a=-0.06$。
$\therefore y=-0.06x^2+6$。
当$y=4.5$时，列得方程$-0.06x^2+6=4.5$。
解得$x=±5$。
$\therefore EF=10\ \mathrm{m}$。
$\therefore$当水位上涨至刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度为10 m。
解析
【分析】
这是二次函数解决实际拱桥问题，解题思路分三步：1. 观察坐标系特点，大孔抛物线的顶点在y轴上，坐标为(0,6)，因此选择顶点式设抛物线解析式最简便；2. 利用已知的正常水位下B点坐标(10,0)，代入解析式求出未知系数a，确定大孔抛物线的完整解析式；3. 水位刚好淹没小孔时，此时水面的纵坐标等于小孔顶点到原水面的高度4.5m，即y=4.5，将其代入解析式求出对应的x的值，横坐标差的绝对值就是大孔此时的水面宽度EF。
【解析】
解：设大孔所在抛物线对应的函数解析式为$y=ax^2+6(a≠0)$。
由题意可知，正常水位时大孔水面宽度AB=20m，顶点M到水面距离MO=6m，因此点B的坐标为(10,0)。
将B(10,0)代入解析式，得：
$a×10^2+6=0$
解得$a=-0.06$
因此大孔抛物线的解析式为$y=-0.06x^2+6$
当水位上涨至刚好淹没小孔时，此时水面的纵坐标为NC=4.5m，即y=4.5，代入解析式得：
$-0.06x^2+6=4.5$
解得$x=±5$
因此E点坐标为(-5,4.5)，F点坐标为(5,4.5)，所以$EF=5-(-5)=10\ \mathrm{m}$
【答案】
10 m
【知识点】
二次函数的应用；待定系数法求解析式；二次函数求值
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用，解题的核心是结合坐标系的特征选择合适的解析式形式，准确提取题目中关键点的坐标信息代入求解，同时要注意所求的水面宽度是两个交点横坐标的距离，避免漏算绝对值。
【难度系数】
0.7
这是二次函数解决实际拱桥问题，解题思路分三步：1. 观察坐标系特点，大孔抛物线的顶点在y轴上，坐标为(0,6)，因此选择顶点式设抛物线解析式最简便；2. 利用已知的正常水位下B点坐标(10,0)，代入解析式求出未知系数a，确定大孔抛物线的完整解析式；3. 水位刚好淹没小孔时，此时水面的纵坐标等于小孔顶点到原水面的高度4.5m，即y=4.5，将其代入解析式求出对应的x的值，横坐标差的绝对值就是大孔此时的水面宽度EF。
【解析】
解：设大孔所在抛物线对应的函数解析式为$y=ax^2+6(a≠0)$。
由题意可知，正常水位时大孔水面宽度AB=20m，顶点M到水面距离MO=6m，因此点B的坐标为(10,0)。
将B(10,0)代入解析式，得：
$a×10^2+6=0$
解得$a=-0.06$
因此大孔抛物线的解析式为$y=-0.06x^2+6$
当水位上涨至刚好淹没小孔时，此时水面的纵坐标为NC=4.5m，即y=4.5，代入解析式得：
$-0.06x^2+6=4.5$
解得$x=±5$
因此E点坐标为(-5,4.5)，F点坐标为(5,4.5)，所以$EF=5-(-5)=10\ \mathrm{m}$
【答案】
10 m
【知识点】
二次函数的应用；待定系数法求解析式；二次函数求值
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用，解题的核心是结合坐标系的特征选择合适的解析式形式，准确提取题目中关键点的坐标信息代入求解，同时要注意所求的水面宽度是两个交点横坐标的距离，避免漏算绝对值。
【难度系数】
0.7
6. 某劳动基地的蔬菜大棚的纵截面示意图如图所示，截面中的棚顶可以近似看作抛物线的一部分，AD，BC是支柱，蔬菜大棚的顶点E到地面的距离EO=7 m，以点O为原点，CD所在直线为x轴，过点E且垂直于CD的直线为y轴，建立平面直角坐标系。已知点O是CD的中点，AD⊥CD，BC⊥CD，CD=12 m，BC=3 m。
(1) 求棚顶所在的抛物线对应的函数解析式。
(2) 为了安全，需要对大棚进行加固，工作人员准备在大棚中安装矩形“支撑架”PQNM，点P，Q在抛物线上，点M，N在x轴上。当OM=3 m时，求“支撑架”的总长度（即矩形PQNM的周长）。
(1) 求棚顶所在的抛物线对应的函数解析式。
(2) 为了安全，需要对大棚进行加固，工作人员准备在大棚中安装矩形“支撑架”PQNM，点P，Q在抛物线上，点M，N在x轴上。当OM=3 m时，求“支撑架”的总长度（即矩形PQNM的周长）。
答案
【解】(1)根据题意，得点E的坐标为(0,7),点B的坐标为(6,3)。
设棚顶所在的抛物线对应的函数解析式为$y=ax^2+7(a≠0)$。
将(6,3)代入$y=ax^2+7$中,得$3=36a+7$。
解得$a=-\frac{1}{9}$。
$\therefore$棚顶所在的抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{9}x^2+7$。
(2)$\because$点P在第二象限,$OM=3\ \mathrm{m}$,
$\therefore$令$x=-3$,则$y=-\frac{1}{9}×(-3)^2+7=6$。
$\therefore$点P的坐标为$(-3,6)$。
由抛物线的对称性可知,点Q的坐标为(3,6),$ON=OM$,
$\therefore PM=QN=6\ \mathrm{m},PQ=MN=2OM=6\ \mathrm{m}$。
$\therefore PM+PQ+QN+MN=6+6+6+6=24(\mathrm{m})$。
$\therefore$“支撑架”的总长度为24 m。
设棚顶所在的抛物线对应的函数解析式为$y=ax^2+7(a≠0)$。
将(6,3)代入$y=ax^2+7$中,得$3=36a+7$。
解得$a=-\frac{1}{9}$。
$\therefore$棚顶所在的抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{9}x^2+7$。
(2)$\because$点P在第二象限,$OM=3\ \mathrm{m}$,
$\therefore$令$x=-3$,则$y=-\frac{1}{9}×(-3)^2+7=6$。
$\therefore$点P的坐标为$(-3,6)$。
由抛物线的对称性可知,点Q的坐标为(3,6),$ON=OM$,
$\therefore PM=QN=6\ \mathrm{m},PQ=MN=2OM=6\ \mathrm{m}$。
$\therefore PM+PQ+QN+MN=6+6+6+6=24(\mathrm{m})$。
$\therefore$“支撑架”的总长度为24 m。
解析
【分析】
(1) 求抛物线解析式时，先观察抛物线特征：其对称轴为y轴，顶点为E(0,7)，因此可设顶点式$y=ax^2+k(a≠0)$，其中k可直接由顶点坐标得到为7；再结合已知条件CD=12m、O是CD中点、BC=3m，推出点B坐标为(6,3)，将B点代入解析式即可求出a的值，得到完整的抛物线解析式。
(2) 求矩形支撑架周长时，已知OM=3m，可得点P横坐标为-3，将其代入已求出的抛物线解析式，得到点P的纵坐标即为矩形的高；再利用抛物线的对称性，得到点Q的横坐标为3，即可求出矩形的长，最后根据矩形周长公式计算总长度即可。
【解析】
(1) 由题意得，抛物线顶点E的坐标为(0,7)，CD=12m，O为CD中点，因此OC=6m，又BC⊥CD，BC=3m，故点B的坐标为(6,3)。
设抛物线对应的函数解析式为$y=ax^2+7(a≠0)$，将B(6,3)代入解析式得：
$3=6^2a+7$
解得$a=-\frac{1}{9}$
∴棚顶所在抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{9}x^2+7$。
(2)
∵OM=3m，点P在第二象限，
∴点P的横坐标为-3，将$x=-3$代入$y=-\frac{1}{9}x^2+7$得：
$y=-\frac{1}{9}×(-3)^2+7=6$，即点P坐标为(-3,6)。
根据抛物线的对称性可知，点Q坐标为(3,6)，$ON=OM=3m$，
∴$PM=QN=6m$，$PQ=MN=3-(-3)=6m$，
∴矩形PQNM的周长为$6×4=24(m)$。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{9}x^2+7$
(2) 24 m
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的对称性；二次函数实际应用
【点评】
本题结合生活实际场景考查二次函数的基础应用，解题的核心是准确提取坐标信息、合理设解析式，再结合二次函数的性质求解线段长度，能够较好地考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.8
(1) 求抛物线解析式时，先观察抛物线特征：其对称轴为y轴，顶点为E(0,7)，因此可设顶点式$y=ax^2+k(a≠0)$，其中k可直接由顶点坐标得到为7；再结合已知条件CD=12m、O是CD中点、BC=3m，推出点B坐标为(6,3)，将B点代入解析式即可求出a的值，得到完整的抛物线解析式。
(2) 求矩形支撑架周长时，已知OM=3m，可得点P横坐标为-3，将其代入已求出的抛物线解析式，得到点P的纵坐标即为矩形的高；再利用抛物线的对称性，得到点Q的横坐标为3，即可求出矩形的长，最后根据矩形周长公式计算总长度即可。
【解析】
(1) 由题意得，抛物线顶点E的坐标为(0,7)，CD=12m，O为CD中点，因此OC=6m，又BC⊥CD，BC=3m，故点B的坐标为(6,3)。
设抛物线对应的函数解析式为$y=ax^2+7(a≠0)$，将B(6,3)代入解析式得：
$3=6^2a+7$
解得$a=-\frac{1}{9}$
∴棚顶所在抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{9}x^2+7$。
(2)
∵OM=3m，点P在第二象限，
∴点P的横坐标为-3，将$x=-3$代入$y=-\frac{1}{9}x^2+7$得：
$y=-\frac{1}{9}×(-3)^2+7=6$，即点P坐标为(-3,6)。
根据抛物线的对称性可知，点Q坐标为(3,6)，$ON=OM=3m$，
∴$PM=QN=6m$，$PQ=MN=3-(-3)=6m$，
∴矩形PQNM的周长为$6×4=24(m)$。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{9}x^2+7$
(2) 24 m
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的对称性；二次函数实际应用
【点评】
本题结合生活实际场景考查二次函数的基础应用，解题的核心是准确提取坐标信息、合理设解析式，再结合二次函数的性质求解线段长度，能够较好地考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.8
