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基础知识·预习
问题1 已知平面直角坐标系中一个点的坐标，你能写出与它关于原点对称的点的坐标吗？
问题2 在平面直角坐标系中任意画一个三角形，你能画出与它关于原点对称的图形吗？
问题1 已知平面直角坐标系中一个点的坐标，你能写出与它关于原点对称的点的坐标吗？
问题2 在平面直角坐标系中任意画一个三角形，你能画出与它关于原点对称的图形吗？
答案
1. 能。关于原点对称的两个点的横、纵坐标都互为相反数，若已知点的坐标为P(x,y)，则它关于原点对称的点的坐标为P'(-x,-y)。
2. 能。操作方法：先写出原三角形三个顶点的坐标，分别求出三个顶点关于原点对称的对应点的坐标，在平面直角坐标系中描出这三个对应点，再顺次连接这三个点，得到的三角形就是与原三角形关于原点对称的图形。
2. 能。操作方法：先写出原三角形三个顶点的坐标，分别求出三个顶点关于原点对称的对应点的坐标，在平面直角坐标系中描出这三个对应点，再顺次连接这三个点，得到的三角形就是与原三角形关于原点对称的图形。
解析
【分析】
问题1解题思路：先回忆原点对称的坐标变化规律，两个点关于原点中心对称时，连线过原点且到原点的距离相等，由此可推出横、纵坐标均互为相反数，代入已知点坐标即可得到对称点坐标。
问题2解题思路：三角形的位置和形状由三个顶点唯一确定，要画三角形关于原点的对称图形，只需将图形对称转化为顶点的对称，求出三个顶点的对称点后依次连接，就能得到目标对称图形。
【解析】
1. 设已知点的坐标为$P(x,y)$，根据原点对称的坐标性质：关于原点对称的两个点，横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，因此$P$关于原点对称的点的坐标为$P'(-x,-y)$，所以可以写出对应对称点的坐标。
2. 要画出三角形关于原点对称的图形，步骤如下：①先记录原三角形三个顶点的坐标；②根据原点对称的坐标规律，分别算出三个顶点对应的对称点坐标；③在平面直角坐标系中描出这三个对称点；④顺次连接三个对称点，得到的三角形就是原三角形关于原点对称的图形，因此可以画出对应对称图形。
【答案】
1. 能。关于原点对称的两个点的横、纵坐标都互为相反数，若已知点的坐标为$P(x,y)$，则它关于原点对称的点的坐标为$P'(-x,-y)$。
2. 能。操作方法：先写出原三角形三个顶点的坐标，分别求出三个顶点关于原点对称的对应点的坐标，在平面直角坐标系中描出这三个对应点，再顺次连接这三个点，得到的三角形就是与原三角形关于原点对称的图形。
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征，中心对称作图
【点评】
本题属于基础类题目，重点考查原点对称的坐标规律的理解与应用，明确图形的对称本质是关键点的对称，是解决中心对称相关作图问题的核心。
【难度系数】
0.8
问题1解题思路：先回忆原点对称的坐标变化规律，两个点关于原点中心对称时，连线过原点且到原点的距离相等，由此可推出横、纵坐标均互为相反数，代入已知点坐标即可得到对称点坐标。
问题2解题思路：三角形的位置和形状由三个顶点唯一确定，要画三角形关于原点的对称图形，只需将图形对称转化为顶点的对称，求出三个顶点的对称点后依次连接，就能得到目标对称图形。
【解析】
1. 设已知点的坐标为$P(x,y)$，根据原点对称的坐标性质：关于原点对称的两个点，横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，因此$P$关于原点对称的点的坐标为$P'(-x,-y)$，所以可以写出对应对称点的坐标。
2. 要画出三角形关于原点对称的图形，步骤如下：①先记录原三角形三个顶点的坐标；②根据原点对称的坐标规律，分别算出三个顶点对应的对称点坐标；③在平面直角坐标系中描出这三个对称点；④顺次连接三个对称点，得到的三角形就是原三角形关于原点对称的图形，因此可以画出对应对称图形。
【答案】
1. 能。关于原点对称的两个点的横、纵坐标都互为相反数，若已知点的坐标为$P(x,y)$，则它关于原点对称的点的坐标为$P'(-x,-y)$。
2. 能。操作方法：先写出原三角形三个顶点的坐标，分别求出三个顶点关于原点对称的对应点的坐标，在平面直角坐标系中描出这三个对应点，再顺次连接这三个点，得到的三角形就是与原三角形关于原点对称的图形。
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征，中心对称作图
【点评】
本题属于基础类题目，重点考查原点对称的坐标规律的理解与应用，明确图形的对称本质是关键点的对称，是解决中心对称相关作图问题的核心。
【难度系数】
0.8
【典型例题 1】若$(a,-2)$和$(3,b)$关于原点对称，则$(a+b)^{2026}$的值为（）
A.$1$
B.$-1$
C.$-5^{2026}$
D.$5^{2026}$
【解析】∵$(a,-2)$和$(3,b)$关于原点对称，
∴$a=-3,b=2$.
∴$(a+b)^{2026}=(-3+2)^{2026}=(-1)^{2026}=1$.
【答案】A
A.$1$
B.$-1$
C.$-5^{2026}$
D.$5^{2026}$
【解析】∵$(a,-2)$和$(3,b)$关于原点对称，
∴$a=-3,b=2$.
∴$(a+b)^{2026}=(-3+2)^{2026}=(-1)^{2026}=1$.
【答案】A
答案
A
解析
【分析】
解题时首先回忆关于原点对称的点的坐标性质：若两点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。我们可以根据这个性质先求出a、b的值，再将a、b代入代数式$(a+b)^{2026}$，结合乘方的运算规则（负数的偶次幂为正）计算最终结果即可。
【解析】
∵点$(a,-2)$和$(3,b)$关于原点对称，
根据关于原点对称的点的坐标特征，得：
$a=-3$，$b=2$，
将$a=-3$，$b=2$代入$(a+b)^{2026}$，得：
$(a+b)^{2026}=(-3+2)^{2026}=(-1)^{2026}=1$。
【答案】
A
【知识点】
1.关于原点对称的点的坐标特征
2.有理数的乘方运算
【点评】
本题属于基础题，主要考查原点对称点的坐标规律的应用以及简单的有理数乘方计算，熟练掌握基础性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆关于原点对称的点的坐标性质：若两点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。我们可以根据这个性质先求出a、b的值，再将a、b代入代数式$(a+b)^{2026}$，结合乘方的运算规则（负数的偶次幂为正）计算最终结果即可。
【解析】
∵点$(a,-2)$和$(3,b)$关于原点对称，
根据关于原点对称的点的坐标特征，得：
$a=-3$，$b=2$，
将$a=-3$，$b=2$代入$(a+b)^{2026}$，得：
$(a+b)^{2026}=(-3+2)^{2026}=(-1)^{2026}=1$。
【答案】
A
【知识点】
1.关于原点对称的点的坐标特征
2.有理数的乘方运算
【点评】
本题属于基础题，主要考查原点对称点的坐标规律的应用以及简单的有理数乘方计算，熟练掌握基础性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
1.若点$P(3a-1,2a+1)$关于原点的对称点在第四象限,则$a$的取值范围是
$-\frac{1}{2}＜a＜\frac{1}{3}$
.答案
1. $-\frac{1}{2}＜a＜\frac{1}{3}$
解析
【分析】
解题可按以下思路推进：①首先明确关于原点对称的点的坐标规律：两点关于原点对称时，横、纵坐标均互为相反数；②已知对称点在第四象限，第四象限内点的坐标特征为横坐标为正、纵坐标为负，据此可列出关于a的一元一次不等式组；③解不等式组即可得到a的取值范围。也可通过对称关系推导原点点P在第二象限，直接利用第二象限点的符号特征列不等式，两种方法本质一致。
【解析】
解：
∵点$P(3a-1,2a+1)$关于原点对称的点坐标为$(1-3a, -2a-1)$，且该对称点在第四象限，
∴根据第四象限点的坐标特征可得不等式组：
$\begin{cases}1-3a＞0 \quad \mathrm{(1)} \\ -2a-1＜0 \quad \mathrm{(2)}\end{cases}$
解不等式①：移项得$3a＜1$，解得$a＜\frac{1}{3}$；
解不等式②：移项得$-2a＜1$，两边同时除以$-2$，不等号方向改变，解得$a＞-\frac{1}{2}$；
综上，a的取值范围是$-\frac{1}{2}＜a＜\frac{1}{3}$。
【答案】
$-\frac{1}{2}＜a＜\frac{1}{3}$
【知识点】
关于原点对称的坐标特征；象限内点的符号特征；一元一次不等式组的解法
【点评】
本题是平面直角坐标系与不等式组结合的基础题型，解题核心是准确掌握点的对称规律和各象限点的坐标符号特点，熟练解一元一次不等式组即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题可按以下思路推进：①首先明确关于原点对称的点的坐标规律：两点关于原点对称时，横、纵坐标均互为相反数；②已知对称点在第四象限，第四象限内点的坐标特征为横坐标为正、纵坐标为负，据此可列出关于a的一元一次不等式组；③解不等式组即可得到a的取值范围。也可通过对称关系推导原点点P在第二象限，直接利用第二象限点的符号特征列不等式，两种方法本质一致。
【解析】
解：
∵点$P(3a-1,2a+1)$关于原点对称的点坐标为$(1-3a, -2a-1)$，且该对称点在第四象限，
∴根据第四象限点的坐标特征可得不等式组：
$\begin{cases}1-3a＞0 \quad \mathrm{(1)} \\ -2a-1＜0 \quad \mathrm{(2)}\end{cases}$
解不等式①：移项得$3a＜1$，解得$a＜\frac{1}{3}$；
解不等式②：移项得$-2a＜1$，两边同时除以$-2$，不等号方向改变，解得$a＞-\frac{1}{2}$；
综上，a的取值范围是$-\frac{1}{2}＜a＜\frac{1}{3}$。
【答案】
$-\frac{1}{2}＜a＜\frac{1}{3}$
【知识点】
关于原点对称的坐标特征；象限内点的符号特征；一元一次不等式组的解法
【点评】
本题是平面直角坐标系与不等式组结合的基础题型，解题核心是准确掌握点的对称规律和各象限点的坐标符号特点，熟练解一元一次不等式组即可快速求解。
【难度系数】
0.7
【典型例题 2】如图,在由小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系,每个小正方形的边长都为 1 个单位长度.
(1)描出点$A(-1,0),B(0,1),C(-3,2)$.
(2)作出$△ ABC$及与$△ ABC$关于原点对称的$△ A_1B_1C_1$.
(3)若点$P(m,n)$是$△ ABC$内部一点,则$△ A_1B_1C_1$内部与点$P$对应的点$P_1$的坐标为.
【解】(1)如图,点$A,B,C$即为所求.
(2)如图,$△ ABC$和$△ A_1B_1C_1$即为所求.
(3)$(-m,-n)$
规律方法 作与一个图形关于原点对称的图形的方法.
(1)描出点$A(-1,0),B(0,1),C(-3,2)$.
(2)作出$△ ABC$及与$△ ABC$关于原点对称的$△ A_1B_1C_1$.
(3)若点$P(m,n)$是$△ ABC$内部一点,则$△ A_1B_1C_1$内部与点$P$对应的点$P_1$的坐标为.
【解】(1)如图,点$A,B,C$即为所求.
(2)如图,$△ ABC$和$△ A_1B_1C_1$即为所求.
(3)$(-m,-n)$
规律方法 作与一个图形关于原点对称的图形的方法.
答案
解：
(1) 在给定平面直角坐标系中，根据各点的横、纵坐标数值，描出点$A(-1,0)$、$B(0,1)$、$C(-3,2)$。
(2) 根据关于原点对称的点的坐标特征，求得三个顶点的对称点坐标：
点$A(-1,0)$关于原点对称的点为$A_1(1,0)$，
点$B(0,1)$关于原点对称的点为$B_1(0,-1)$，
点$C(-3,2)$关于原点对称的点为$C_1(3,-2)$。
依次连接$AB,BC,CA$得到$△ ABC$，依次连接$A_1B_1,B_1C_1,C_1A_1$，即可得到与$△ ABC$关于原点对称的$△ A_1B_1C_1$。
(3) 平面直角坐标系中，关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，因此点$P(m,n)$对应的点$P_1$的坐标为$\boldsymbol{(-m,-n)}$。
(1) 在给定平面直角坐标系中，根据各点的横、纵坐标数值，描出点$A(-1,0)$、$B(0,1)$、$C(-3,2)$。
(2) 根据关于原点对称的点的坐标特征，求得三个顶点的对称点坐标：
点$A(-1,0)$关于原点对称的点为$A_1(1,0)$，
点$B(0,1)$关于原点对称的点为$B_1(0,-1)$，
点$C(-3,2)$关于原点对称的点为$C_1(3,-2)$。
依次连接$AB,BC,CA$得到$△ ABC$，依次连接$A_1B_1,B_1C_1,C_1A_1$，即可得到与$△ ABC$关于原点对称的$△ A_1B_1C_1$。
(3) 平面直角坐标系中，关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，因此点$P(m,n)$对应的点$P_1$的坐标为$\boldsymbol{(-m,-n)}$。
解析
【分析】
本题分为三个小问，解题思路清晰可循：
1. 第(1)问是平面直角坐标系描点操作，根据点的坐标定义，横坐标对应x轴取值、纵坐标对应y轴取值，逐一找到三个点的位置描出即可。
2. 第(2)问作对称图形，先连接A、B、C三点得到△ABC，再利用“关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数”的规律，求出三个顶点的对称点坐标，描点后依次连线就能得到△A₁B₁C₁。
3. 第(3)问是规律的一般化应用，直接套用关于原点对称的点的坐标变化规则，即可得到P点对应点的坐标。
【解析】
(1) 在给定平面直角坐标系中，根据点的坐标的几何意义：横坐标为点到y轴的距离（左负右正），纵坐标为点到x轴的距离（下负上正），依次描出点$A(-1,0)$、$B(0,1)$、$C(-3,2)$。
(2) ① 依次连接$AB$、$BC$、$CA$，得到$△ABC$；
② 根据关于原点对称的点的坐标特征，计算三个顶点的对称点坐标：
点$A(-1,0)$关于原点对称的点$A_1$的坐标为$(1,0)$，
点$B(0,1)$关于原点对称的点$B_1$的坐标为$(0,-1)$，
点$C(-3,2)$关于原点对称的点$C_1$的坐标为$(3,-2)$；
③ 依次连接$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1A_1$，得到的$△ A_1B_1C_1$即为$△ ABC$关于原点对称的图形。
(3) 平面直角坐标系中，若两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标均互为相反数。已知点$P(m,n)$是$△ABC$内部的点，因此它在$△ A_1B_1C_1$内部的对应点$P_1$的坐标为$(-m,-n)$。
【答案】
(1) 按要求描出点A、B、C（如图所示）；
(2) 作出$△ ABC$及关于原点对称的$△ A_1B_1C_1$（如图所示）；
(3) $\boldsymbol{(-m,-n)}$
【知识点】
平面直角坐标系描点，关于原点对称的点的坐标特征，中心对称作图
【点评】
本题属于基础类题目，重点考查对原点对称坐标规律的理解和应用，解题核心是熟练掌握关于原点对称的点的坐标变化规则，作图时需注意准确描点、规范连线。
【难度系数】
0.9
本题分为三个小问，解题思路清晰可循：
1. 第(1)问是平面直角坐标系描点操作，根据点的坐标定义，横坐标对应x轴取值、纵坐标对应y轴取值，逐一找到三个点的位置描出即可。
2. 第(2)问作对称图形，先连接A、B、C三点得到△ABC，再利用“关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数”的规律，求出三个顶点的对称点坐标，描点后依次连线就能得到△A₁B₁C₁。
3. 第(3)问是规律的一般化应用，直接套用关于原点对称的点的坐标变化规则，即可得到P点对应点的坐标。
【解析】
(1) 在给定平面直角坐标系中，根据点的坐标的几何意义：横坐标为点到y轴的距离（左负右正），纵坐标为点到x轴的距离（下负上正），依次描出点$A(-1,0)$、$B(0,1)$、$C(-3,2)$。
(2) ① 依次连接$AB$、$BC$、$CA$，得到$△ABC$；
② 根据关于原点对称的点的坐标特征，计算三个顶点的对称点坐标：
点$A(-1,0)$关于原点对称的点$A_1$的坐标为$(1,0)$，
点$B(0,1)$关于原点对称的点$B_1$的坐标为$(0,-1)$，
点$C(-3,2)$关于原点对称的点$C_1$的坐标为$(3,-2)$；
③ 依次连接$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1A_1$，得到的$△ A_1B_1C_1$即为$△ ABC$关于原点对称的图形。
(3) 平面直角坐标系中，若两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标均互为相反数。已知点$P(m,n)$是$△ABC$内部的点，因此它在$△ A_1B_1C_1$内部的对应点$P_1$的坐标为$(-m,-n)$。
【答案】
(1) 按要求描出点A、B、C（如图所示）；
(2) 作出$△ ABC$及关于原点对称的$△ A_1B_1C_1$（如图所示）；
(3) $\boldsymbol{(-m,-n)}$
【知识点】
平面直角坐标系描点，关于原点对称的点的坐标特征，中心对称作图
【点评】
本题属于基础类题目，重点考查对原点对称坐标规律的理解和应用，解题核心是熟练掌握关于原点对称的点的坐标变化规则，作图时需注意准确描点、规范连线。
【难度系数】
0.9
