9.某店销售一款每个进价为60元的电子产品，若按每个90元出售，每月可销售200个。经调查发现，该电子产品售价每下降2元，其销售量就增加8个。当每个电子产品下降多少元时，该店每月销售这款电子产品的利润为8 000元？设每个电子产品降价$ x $元，可列出方程为 （）

A.$(90 - x)(200 - 4x) = 8\,000$
B.$(90 - x)(200 + 8x) = 8\,000$
C.$(90 - 60 - 2x)(200 + 8x) = 8\,000$
D.$(90 - 60 - x)(200 + 4x) = 8\,000$

9.D

【分析】
要解决这道题，需利用销售问题的核心公式：总利润 = 单个利润 × 销售量。首先明确各量的变化：设降价$ x $元后，先计算单个利润（售价减去进价），再根据“售价每下降2元，销售量增加8个”推导降价后的销售量，最后结合总利润为8000元列出方程。需注意：降价$ x $元对应的销量增加量是$\frac{x}{2} × 8 = 4x$，这是易出错的关键点。
【解析】
解：根据销售利润公式，总利润 =（售价 - 进价）× 销售量，步骤如下：
1. 计算单个利润：原售价90元，降价$ x $元后售价为$(90 - x)$元，进价60元，因此单个利润为$(90 - x - 60) = (30 - x)$元；
2. 计算降价后的销售量：原销量200个，售价每降2元销量增8个，降价$ x $元时，销量增加量为$\frac{x}{2} × 8 = 4x$，因此降价后的销售量为$(200 + 4x)$个；
3. 列方程：总利润为8000元，因此方程为$(90 - 60 - x)(200 + 4x) = 8000$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的应用；销售问题的数量关系
【点评】
本题是基础的销售利润问题，核心是掌握总利润的计算逻辑，关键在于正确推导降价后的销售量，需注意“每降2元增8个”的条件，避免直接用$8x$的错误，整体属于常规基础题型。
【难度系数】
0.6

10. 如图,在$4×4$的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,各小正方形的顶点称为格点,点$A,B,C,P$都在格点上,且点$P$在$△ ABC$的外部,$△ PAB$,$△ PBC$,$△ PAC$的面积都相等,则满足条件的点$P$的个数为
$(\quad)$

A.5个
B.4个
C.3个
D.2个

10.C

【分析】要找到满足△PAB、△PBC、△PAC面积都相等的点P，需先计算△ABC的面积，再结合4×4网格的格点特征，在△ABC外部排查符合面积相等条件的格点，确定点P的个数。
【解析】设每个小正方形的边长为1，用割补法计算△ABC的面积：在网格中，△ABC的面积可通过矩形面积减去周围多余三角形的面积求得，得S△ABC=2.5。要使三个三角形面积相等，即S△PAB=S△PBC=S△PAC=2.5，结合格点位置，在△ABC外部逐一排查，最终确定满足条件的点P共有3个。
【答案】C
【知识点】三角形面积计算、格点图形性质
【点评】本题结合网格考查三角形面积的应用，需要学生具备格点分析和空间想象能力，难度适中。
【难度系数】0.4

11.若二次根式$\sqrt{m+3}$在实数范围内有意义，则$m$的取值范围是________。

11.$m≥-3$

【分析】首先明确二次根式在实数范围内有意义的核心条件：被开方数必须为非负数。本题中二次根式为$\sqrt{m+3}$，因此只需让被开方数$m+3$满足非负，解对应的一元一次不等式就能得到$m$的取值范围。
【解析】解：二次根式$\sqrt{a}$在实数范围内有意义的条件是被开方数$a≥0$，
对于$\sqrt{m+3}$，需满足$m+3≥0$，
移项可得$m≥ -3$。
【答案】$m≥-3$
【知识点】二次根式有意义的条件、一元一次不等式的解法
【点评】本题考查二次根式有意义的基础知识点，属于初中代数的常规基础题，难度较低，只要牢记被开方数非负的规则即可快速解答，是各类考试的常考基础题型。
【难度系数】0.9

12.一个n边形的每个外角都为$40°$,则$n=$______。

12.9

【分析】
要解决这个问题，需利用多边形外角和的性质：任意多边形的外角和是固定的360°，与边数无关。已知该n边形每个外角为40°，总共有n个外角，因此所有外角的和为40°×n，这个和等于360°，据此可列等式求解n。
【解析】
根据多边形外角和定理，任意多边形的外角和为360°。
已知该n边形每个外角为40°，可列等式：
$40° × n = 360°$
解得：$n = 360° ÷ 40° = 9$
【答案】
9
【知识点】
多边形外角和定理
【点评】
本题考查多边形外角和的基础应用，核心是牢记多边形外角和为360°的性质，计算过程简单，属于基础题型。
【难度系数】
0.8

13.一组数据 4,4,x,5,5,7 的平均数是 5,则这组数据的众数是。

13.5

【分析】首先根据平均数的定义求出未知数x的值，再根据众数的定义找出这组数据中出现次数最多的数，即可得到答案。
【解析】根据平均数的计算公式：平均数=数据总和÷数据个数，可得这组数据的总和为5×6=30。已知数据中4+4+5+5+7=25，因此x=30-25=5。此时这组数据为4,4,5,5,5,7，其中5出现的次数最多（3次），根据众数的定义，众数是一组数据中出现次数最多的数，所以这组数据的众数是5。
【答案】5
【知识点】平均数、众数
【点评】本题考查统计中平均数与众数的基本概念，解题步骤清晰，先求未知数据再确定众数，属于基础题，侧重对基本统计概念的应用。
【难度系数】0.8

14. 如图,在$□ ABCD$中,点$E$在边$AD$上,且$AE=2DE$,对角线$AC$平分$∠ BCE$,若$BC=3\sqrt{2}$,$CD=\sqrt{10}$,则$AC$的长为________。

14.4

【分析】
先利用平行四边形对边平行且相等的性质，得到AD与BC的关系，结合AE和DE的比例算出AE、DE的长度；再根据角平分线和平行线的内错角相等，推出等腰三角形AEC，得到AE=EC；接着在△CDE中用勾股定理逆定理判断直角，最后在等腰直角△AEC中计算AC的长度。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC=3√2，AB=CD=√10，
∵AE=2DE，
∴AE= (2/3)AD = (2/3)×3√2=2√2，DE= (1/3)AD=√2，
∵AC平分∠BCE，
∴∠BCA=∠ECA，
又
∵AD//BC，
∴∠BCA=∠EAC，
∴∠EAC=∠ECA，
∴AE=EC=2√2，
在△CDE中，DE=√2，EC=2√2，CD=√10，
∵DE² + EC²=(√2)² + (2√2)²=2+8=10，CD²=(√10)²=10，
∴DE² + EC²=CD²，
∴△CDE是直角三角形，且∠CED=90°，
∴∠AEC=180°-∠CED=90°，
∴△AEC是等腰直角三角形，
∴AC=√(AE² + EC²)=√[(2√2)² + (2√2)²]=√16=4。
【答案】
4
【知识点】
平行四边形性质、等腰三角形判定、勾股定理逆定理
【点评】
本题综合运用平行四边形、等腰三角形及勾股定理相关知识，关键在于通过角平分线与平行线的性质推导等腰三角形，再结合勾股定理逆定理确定直角，进而求解AC，需熟练掌握几何性质的灵活应用。
【难度系数】
0.5

15.如图,平行四边形 $ABCD$ 中分别以点 $A,B$ 为圆心,大于$\frac{1}{2}AB$长为半径画弧,两弧相交于点 $M,N$,连结 $MN$ 交 $AB,CD$ 于点 $E,F$,$AB=2EF=2\sqrt{3}$,$∠ D=120°$,则 $CF=$。

15.$\sqrt{3}+1$

【分析】
首先，根据尺规作图的特征，判断MN是线段AB的垂直平分线，由此得到EF垂直平分AB，进而算出AE、EB和EF的长度；再利用平行四边形的性质得到角的度数和边的关系，结合三角函数求出AD的长度；最后在△ADF中用余弦定理求出DF，通过CD与DF的差计算CF。
【解析】
1. 由尺规作图可知，MN是AB的垂直平分线，因此EF⊥AB，且E为AB中点。已知AB=2EF=2√3，所以AE=EB=AB/2=√3，EF=√3。
2. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以∠D=120°，则∠DAB=180°-120°=60°，且AB=CD=2√3，AB//CD，故EF也垂直于CD。
3. EF是平行四边形AB与CD之间的高，即高h=EF=√3。在平行四边形中，高h=AD·sin∠DAB，代入得：√3=AD·sin60°，即√3=AD·(√3/2)，解得AD=2。
4. 在△ADF中，AD=2，∠ADF=120°，AF=√(AE²+EF²)=√[(√3)²+(√3)²]=√6。根据余弦定理：AF²=AD²+DF²-2·AD·DF·cos∠ADF，代入数值：
6=2²+DF²-2×2×DF×(-1/2)，化简得DF²+2DF-2=0，取正根得DF=√3-1（负根舍去）。
5. 因为CD=AB=2√3，所以CF=CD-DF=2√3-(√3-1)=√3+1。
【答案】
√3+1
【知识点】
垂直平分线的性质；平行四边形的性质；余弦定理
【点评】
本题结合尺规作图、平行四边形性质与余弦定理，需要学生逐步推导各线段关系，是一道中等难度的几何综合题，考查了几何定理的综合应用能力。
【难度系数】
0.5

16. 如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在AD,BC上,点B,C关于EF对称,点M在EF上,点N在AE上,且点A,M关于BN对称,BM的延长线交AD于点H,CM交BD于点G,则$\frac{AH}{CG}=$。

16.$\dfrac{3+\sqrt{3}}{6}$

【分析】
本题可通过建立平面直角坐标系，利用对称性质确定各点坐标，再结合直线方程求出相关线段长度，最终计算比值。首先设正方形边长为1，确定各顶点坐标；根据点B、C关于EF对称，得到EF为BC的垂直平分线，设出M点坐标；利用点A、M关于BN对称的条件，联立方程求出M点纵坐标，进而得到H点坐标算出AH；再求出直线CM与BD的交点G，计算CG长度，最后求两者比值。
【解析】
设正方形ABCD边长为1，建立平面直角坐标系：A(0,1)，B(0,0)，C(1,0)，D(1,1)。
1. 由点B、C关于EF对称，得EF是BC的垂直平分线，即直线x=0.5，设M(0.5, m)。
2. 因点A、M关于BN对称，故BN垂直平分AM：
AM斜率为$\frac{m-1}{0.5-0}=2(m-1)$，BN斜率为$\frac{1}{n}$（N(n,1)在AE上），由垂直得斜率乘积为-1：$\frac{1}{n} · 2(m-1) = -1$，即$n=2(1-m)$；
AM中点为$(0.25, \frac{1+m}{2})$，在BN上，BN方程为$y=\frac{1}{n}x$，代入得$\frac{1+m}{2}=\frac{0.25}{n}$，即$n=\frac{0.5}{1+m}$；
联立得$2(1-m)=\frac{0.5}{1+m}$，解得$m=\frac{\sqrt{3}}{2}$，故M(0.5, $\frac{\sqrt{3}}{2}$)。
3. 求H点：直线BM斜率为$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}-0}{0.5-0}=\sqrt{3}$，方程为$y=\sqrt{3}x$，交AD（y=1）得H($\frac{\sqrt{3}}{3}$,1)，故$AH=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
4. 求G点：直线CM斜率为$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}-0}{0.5-1}=-\sqrt{3}$，方程为$y=-\sqrt{3}(x-1)$；BD方程为y=x，联立得$x=-\sqrt{3}x+\sqrt{3}$，解得$x=\frac{3-\sqrt{3}}{2}$，故G($\frac{3-\sqrt{3}}{2}$, $\frac{3-\sqrt{3}}{2}$)；
计算CG：$CG=\sqrt{(\frac{3-\sqrt{3}}{2}-1)^2 + (\frac{3-\sqrt{3}}{2}-0)^2}=\sqrt{4-2\sqrt{3}}=\sqrt{3}-1$。
5. 比值：$\frac{AH}{CG}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{3}-1}=\frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{3×2}=\frac{3+\sqrt{3}}{6}$。
【答案】
$\dfrac{3+\sqrt{3}}{6}$
【知识点】
正方形性质、对称性质、一次函数应用
【点评】
本题通过坐标法结合对称关系求解，关键是利用对称条件建立方程确定各点坐标，考查几何与代数结合的解题能力，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5