8. 有下列命题：①对角线相等且互相平分的四边形是矩形；②对角线互相垂直的平行四边形是矩形；③三个角相等的四边形是矩形；④三个角是直角的四边形是矩形。其中是真命题的是()

A.①②
B.②④
C.①④
D.①②④

8. C

9. 如图，$\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ B = 90^{\circ}$。
(1)尺规作图：作 $AC$ 边上的中线 $BO$；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在(1)所作的图中，将中线 $BO$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $180^{\circ}$ 得到 $DO$，连接 $AD$，$CD$，求证：四边形 $ABCD$ 是矩形。

9. (1) 解：如答图，线段BO即为所作.
(2) 证明：如答图，
∵BO是AC边上的中线，
∴AO = CO.
∵将中线BO绕点O逆时针旋转180°得到DO，
∴BO = DO，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC = 90°，
∴四边形ABCD是矩形.

10. (2025·云南)如图，在 $△ ABC$ 中，$∠ ABC = 90^{\circ}$，$O$ 是 $AC$ 的中点。延长 $BO$ 至点 $D$，使 $OD = OB$，连接 $AD$，$CD$。记 $AB = a$，$BC = b$，$△ AOB$ 的周长为 $l_1$，$△ BOC$ 的周长为 $l_2$，四边形 $ABCD$ 的周长为 $l_3$。
(1)求证：四边形 $ABCD$ 是矩形；
(2)若 $l_2 - l_1 = 2$，$l_3 = 28$，求 $AC$ 的长。

10. (1) 证明：
∵O是AC的中点，
∴OA = OC.
∵OB = OD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC = 90°，
∴平行四边形ABCD是矩形.
(2) 解：$l_{2}-l_{1}=BC - AB = b - a = 2$，$l_{3}=2(AB + BC)=2(a + b)=28$，
∴$\begin{cases}b - a = 2 \\ b + a = 14\end{cases}$，
∴$\begin{cases}a = 6 \\ b = 8\end{cases}$，
∴AB = 6，BC = 8. 在Rt△ABC中，由勾股定理得AC = $\sqrt{AB^{2}+BC^{2}} = 10$.

11. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AD// BC$，$∠ B = 90^{\circ}$，$AD = 24\ \mathrm{cm}$，$AB = 8\ \mathrm{cm}$，$BC = 26\ \mathrm{cm}$。动点 $P$ 从点 $A$ 开始沿 $AD$ 边向点 $D$ 以 $1\ \mathrm{cm/s}$ 的速度运动；动点 $Q$ 从点 $C$ 开始沿 $CB$ 边向点 $B$ 以 $3\ \mathrm{cm/s}$ 的速度运动。点 $P$，$Q$ 分别从点 $A$，$C$ 同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动。设运动时间为 $t\ \mathrm{s}$。
(1)用含 $t$ 的代数式表示线段的长：$AP =\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$，$BQ =\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$；
(2)当运动时间为多少秒时，四边形 $PQCD$ 为平行四边形？
(3)当运动时间为多少秒时，四边形 $ABQP$ 为矩形？

11. (1) $t$ $26 - 3t$
(2) 解：由题意可得PD = AD - AP = (24 - t)cm，QC = 3t cm，
∵AD//BC，
∴PD//QC，
∴当PD = QC时，四边形PQCD为平行四边形.
由PD = QC得，24 - t = 3t，解得t = 6.
∴当运动时间为6 s时，四边形PQCD为平行四边形.
(3) 解：
∵AD//BC，
∴AP//BQ.
∴当AP = BQ时，四边形ABQP为平行四边形.
由AP = BQ，得t = 26 - 3t，解得t = $\frac{13}{2}$.
又
∵∠B = 90°，
∴平行四边形ABQP为矩形.
∴当运动时间为 $\frac{13}{2}$ s时，四边形ABQP为矩形.