登录
1. 如图,一个长方形被分割成9个大小不同的正方形.若图中最小正方形的边长为1,则图中阴影部分(即正方形$B$)的周长为（
A.32
B.52
C.56
D.60
D
）A.32
B.52
C.56
D.60
答案
1. D 提示:如图,设正方形 D 的边长为 x,则正方形 C 的边长为 x+1,正方形 B 的边长为 x+x+1=2x+1,正方形 G 的边长为 x+1+1=x+2,正方形 F 的边长为 x+2+1=x+3,正方形 H 的边长为 x+3+1-x=4,正方形 E 的边长为 x+3+4=x+7,正方形 A 的边长为 x+7+4=x+11,因为长方形的对边相等,所以 x+7+x+11=2x+1+x+1+x+2,解得 x=7,所以正方形 B 的边长为 2x+1=15,所以正方形 B 的周长为 15×4=60.
解析
【分析】
这是典型的完美长方形问题，解题思路如下：1. 已知最小正方形边长为1，选择位置合适的未知小正方形，设它的边长为x；2. 依托相邻正方形的边长差为1的图形关系，将其余所有正方形的边长都用含x的代数式依次推导表示出来；3. 利用大长方形的对边长度相等的性质建立一元一次方程，解出x的数值；4. 代入求出阴影正方形B的边长，再计算其周长即可得到结果。
【解析】
解：设图中标记为D的正方形边长为x，已知最小正方形的边长为1，依次推导其余正方形的边长：
1. 与D相邻的正方形C的边长为x+1；
2. 阴影正方形B的边长为D的边长与C的边长之和，即$x+(x+1)=2x+1$；
3. 正方形G的边长为C的边长加1，即$(x+1)+1=x+2$；
4. 正方形F的边长为G的边长加1，即$(x+2)+1=x+3$；
5. 正方形H的边长为F的边长加1再减去D的边长，即$(x+3)+1 -x=4$；
6. 正方形E的边长为F的边长与H的边长之和，即$(x+3)+4=x+7$；
7. 正方形A的边长为E的边长与H的边长之和，即$(x+7)+4=x+11$。
根据大长方形水平方向的对边长度相等，列方程：
$x+7 + x+11 = 2x+1 + x+1 + x+2$
化简得：$2x+18 = 4x+4$，移项解得$x=7$。
将$x=7$代入阴影正方形B的边长表达式：$2x+1=2×7+1=15$，因此正方形B的周长为$15×4=60$。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程应用，正方形周长计算，完美长方形
【点评】
本题属于几何代数结合的拓展题型，核心考察用代数方法推导几何边长的逻辑能力，解题的关键是理清各个相邻正方形之间的边长递推关系，避免推导过程中出现加减错误，最后利用大长方形对边相等的隐含条件建立方程即可顺利求解。
【难度系数】
0.3
这是典型的完美长方形问题，解题思路如下：1. 已知最小正方形边长为1，选择位置合适的未知小正方形，设它的边长为x；2. 依托相邻正方形的边长差为1的图形关系，将其余所有正方形的边长都用含x的代数式依次推导表示出来；3. 利用大长方形的对边长度相等的性质建立一元一次方程，解出x的数值；4. 代入求出阴影正方形B的边长，再计算其周长即可得到结果。
【解析】
解：设图中标记为D的正方形边长为x，已知最小正方形的边长为1，依次推导其余正方形的边长：
1. 与D相邻的正方形C的边长为x+1；
2. 阴影正方形B的边长为D的边长与C的边长之和，即$x+(x+1)=2x+1$；
3. 正方形G的边长为C的边长加1，即$(x+1)+1=x+2$；
4. 正方形F的边长为G的边长加1，即$(x+2)+1=x+3$；
5. 正方形H的边长为F的边长加1再减去D的边长，即$(x+3)+1 -x=4$；
6. 正方形E的边长为F的边长与H的边长之和，即$(x+3)+4=x+7$；
7. 正方形A的边长为E的边长与H的边长之和，即$(x+7)+4=x+11$。
根据大长方形水平方向的对边长度相等，列方程：
$x+7 + x+11 = 2x+1 + x+1 + x+2$
化简得：$2x+18 = 4x+4$，移项解得$x=7$。
将$x=7$代入阴影正方形B的边长表达式：$2x+1=2×7+1=15$，因此正方形B的周长为$15×4=60$。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程应用，正方形周长计算，完美长方形
【点评】
本题属于几何代数结合的拓展题型，核心考察用代数方法推导几何边长的逻辑能力，解题的关键是理清各个相邻正方形之间的边长递推关系，避免推导过程中出现加减错误，最后利用大长方形对边相等的隐含条件建立方程即可顺利求解。
【难度系数】
0.3
2. 已知 $m,n,p$ 是三个互不相等的整数，且
$(m-10)(n-10)(p-10)=-6$，记 $a=$
$m-10,b=n-10,c=p-10$，则 $a+b+c$
的最大值为
值为
$(m-10)(n-10)(p-10)=-6$，记 $a=$
$m-10,b=n-10,c=p-10$，则 $a+b+c$
的最大值为
6
，$m+n+p$ 的最小值为
24
。答案
2. 6 24 提示:因为 m,n,p 是三个互不相等的整数,$a=m-10,b=n-10,c=p-10$,所以 a,b,c是互不相等的整数,且 $abc=-6$,所以可能的组合有(1,1,-6),和为-4;(-1,1,6),和为 6;(-1,2,3),和为4;(-2,1,3),和为 2;(-3,1,2),和为 0;(-1,-2,-3),和为-6.故 a+b+c 的最大值为 6,最小值为-6.因为 $m+n+p=(a+10)+(b+10)+(c+10)=a+b+c+30$,所以当 a+b+c 最小时,m+n+p 取最小值,且最小值为-6+30=24.
解析
【分析】
首先我们根据题目给出的换元关系，先明确a、b、c的性质：因为m、n、p是互不相等的整数，所以a=m-10、b=n-10、c=p-10也必然是互不相等的整数，且满足abc=-6。接下来的解题思路是：第一步，枚举所有满足“三个互不相等的整数相乘乘积为-6”的合法组合，计算每一组三个数的和，从中找出a+b+c的最大值；第二步，利用m+n+p = (a+10)+(b+10)+(c+10) = a+b+c+30的关系，要得到m+n+p的最小值，只需要取a+b+c的最小值代入计算即可，不需要额外枚举m、n、p的组合，大幅简化计算过程。
【解析】
解：
1. 确定a,b,c的性质
由题意，m,n,p是互不相等的整数，且a=m-10，b=n-10，c=p-10，因此a,b,c也是互不相等的整数，且满足：
$abc=-6$
2. 枚举所有合法的三元整数组
-6的所有整数因数为±1,±2,±3,±6，从中选出3个互不相等的整数，乘积为-6，所有符合条件的组合（不计排列顺序）为：
① (-1,1,6)，和为$-1+1+6=6$
② (-1,2,3)，和为$-1+2+3=4$
③ (-2,1,3)，和为$-2+1+3=2$
④ (-1,-2,-3)，和为$-1-2-3=-6$
对比所有和的取值，可得a+b+c的最大值为6。
3. 计算m+n+p的最小值
对m+n+p变形可得：
$m+n+p=(a+10)+(b+10)+(c+10)=a+b+c+30$
要让m+n+p取最小值，只需让a+b+c取最小值，上述组合中a+b+c的最小值为-6，代入得：
$m+n+p_{\mathrm{min}}=-6+30=24$
【答案】
6 24
【知识点】
整数因数分解，换元法，有理数运算
【点评】
本题通过换元将复杂的整数约束问题简化为乘积为定值的三整数求和最值问题，解题的核心是做到不重不漏枚举所有符合“互不相等”条件的整数组合，注意排除存在重复元素的无效组合，利用换元的等量关系直接推导目标式的最值，避免了直接枚举m,n,p带来的冗余计算。
【难度系数】
0.6
首先我们根据题目给出的换元关系，先明确a、b、c的性质：因为m、n、p是互不相等的整数，所以a=m-10、b=n-10、c=p-10也必然是互不相等的整数，且满足abc=-6。接下来的解题思路是：第一步，枚举所有满足“三个互不相等的整数相乘乘积为-6”的合法组合，计算每一组三个数的和，从中找出a+b+c的最大值；第二步，利用m+n+p = (a+10)+(b+10)+(c+10) = a+b+c+30的关系，要得到m+n+p的最小值，只需要取a+b+c的最小值代入计算即可，不需要额外枚举m、n、p的组合，大幅简化计算过程。
【解析】
解：
1. 确定a,b,c的性质
由题意，m,n,p是互不相等的整数，且a=m-10，b=n-10，c=p-10，因此a,b,c也是互不相等的整数，且满足：
$abc=-6$
2. 枚举所有合法的三元整数组
-6的所有整数因数为±1,±2,±3,±6，从中选出3个互不相等的整数，乘积为-6，所有符合条件的组合（不计排列顺序）为：
① (-1,1,6)，和为$-1+1+6=6$
② (-1,2,3)，和为$-1+2+3=4$
③ (-2,1,3)，和为$-2+1+3=2$
④ (-1,-2,-3)，和为$-1-2-3=-6$
对比所有和的取值，可得a+b+c的最大值为6。
3. 计算m+n+p的最小值
对m+n+p变形可得：
$m+n+p=(a+10)+(b+10)+(c+10)=a+b+c+30$
要让m+n+p取最小值，只需让a+b+c取最小值，上述组合中a+b+c的最小值为-6，代入得：
$m+n+p_{\mathrm{min}}=-6+30=24$
【答案】
6 24
【知识点】
整数因数分解，换元法，有理数运算
【点评】
本题通过换元将复杂的整数约束问题简化为乘积为定值的三整数求和最值问题，解题的核心是做到不重不漏枚举所有符合“互不相等”条件的整数组合，注意排除存在重复元素的无效组合，利用换元的等量关系直接推导目标式的最值，避免了直接枚举m,n,p带来的冗余计算。
【难度系数】
0.6
3. 如图,在直角三角板 $EFG$ 中,$∠ GEF=30°,∠ G=90°$,过点 $E,F$ 分别作直线$AB,CD$,使$AB// CD$.
(1) 如图 1, 若 $∠ DFG=2∠ BEG$, 求$∠ DFG$的度数.
(2) 如图 2,在$∠ BEG$ 的平分线 $EQ$ 上取一点$Q$,连接 $FQ$. 若$∠ Q=45°$,求证:$FQ$ 平分$∠ GFD$.
(3) 如图 3,作$∠ AEF$ 的平分线交 $CD$ 于点$M$,$P$ 是角平分线上位于直线$CD$下方的动点,$H$ 是射线 $FC$ 上的动点(不与点 $M$ 重合), 请求出 $∠ BEG$,$∠ EPH$ 与 $∠ PHC$ 之间的数量关系.
(1) 如图 1, 若 $∠ DFG=2∠ BEG$, 求$∠ DFG$的度数.
(2) 如图 2,在$∠ BEG$ 的平分线 $EQ$ 上取一点$Q$,连接 $FQ$. 若$∠ Q=45°$,求证:$FQ$ 平分$∠ GFD$.
(3) 如图 3,作$∠ AEF$ 的平分线交 $CD$ 于点$M$,$P$ 是角平分线上位于直线$CD$下方的动点,$H$ 是射线 $FC$ 上的动点(不与点 $M$ 重合), 请求出 $∠ BEG$,$∠ EPH$ 与 $∠ PHC$ 之间的数量关系.
答案
3. (1) 解:设$∠ BEG=α$,则$∠ DFG=2α$.
如图 1, 作 $GL// AB$, 则 $∠ BEG=∠ 1$. 因为 $AB// CD$, 所以 $GL// CD$, 所以 $∠ DFG=∠ 2$.
因为$∠ 1+∠ 2=90°$,所以$∠ BEG+∠ DFG=∠ 1+∠ 2=90°$,即 $α+2α=90°$,解得 $α=30°$,所以$∠ DFG=2α=60°$.
(2) 证明:如图 2,作 $QK// AB$,因为 $AB// CD$,所以 $QK// CD$,所以 $∠ BEQ=∠ EQK$,$∠ DFQ=∠ FQK$. 因为 $∠ EQF=45°$,所以$∠ BEQ+∠ DFQ=45°$,即 $∠ DFQ=45°-∠ BEQ$. 由(1)知$∠ BEG+∠ DFG=90°$,所以$∠ QEG+∠ GFQ=90°-45°=45°$,即$∠ GFQ=45°-∠ QEG$. 因为 $EQ$ 是 $∠ BEG$ 的平分线,所以$∠ QEG=∠ BEQ$,所以$∠ GFQ=45°-∠ BEQ$,所以$∠ GFQ=∠ DFQ$,所以 $FQ$ 平分$∠ GFD$.
(3) 解:因为$∠ GEF=30°$,所以$∠ AEF=180°-30°-∠ BEG=150°-∠ BEG$. 因为 $EP$ 是 $∠ AEF$ 的平分线, 所以 $∠ AEM=\frac{1}{2}∠ AEF=75°-\frac{1}{2}∠ BEG$. 因为 $AB// CD$,所以$∠ CMP=∠ AEM=75°-\frac{1}{2}∠ BEG$. 如图3,当点 $H$ 在线段 $FM$ 上时,作 $PN// CD$,所以$∠ MPN=∠ CMP=75°-\frac{1}{2}∠ BEG$,$∠ PHC=∠ HPN$,所以$∠ MPN=∠ EPH+∠ HPN$,即 $75°-\frac{1}{2}∠ BEG=∠ EPH+∠ PHC$,所以$∠ EPH+∠ PHC+\frac{1}{2}∠ BEG=75°$;如图 4,当点 $H$ 在射线 $MC$ 上时,作 $PN// CD$, 所以 $∠ MPN=∠ CMP=75°-\frac{1}{2}∠ BEG$,$∠ PHC=∠ HPN$,所以$∠ HPN=∠ EPH+∠ MPN$,即 $∠ PHC=∠ EPH+75°-\frac{1}{2}∠ BEG$,所以$∠ PHC-∠ EPH+\frac{1}{2}∠ BEG=75°$.
综上所述,$∠ EPH+∠ PHC+\frac{1}{2}∠ BEG=75°$或$∠ PHC-∠ EPH+\frac{1}{2}∠ BEG=75°$.
解析
【分析】
这道题是平行线相关的综合几何题，核心解题思路是利用平行线的拐点辅助线构造法：
1. 第(1)问：已知∠DFG是∠BEG的2倍，先设小角∠BEG为α，把两个角都用α表示。观察到G是直角顶点，过G作平行于AB的直线，结合AB//CD的平行传递性，就能把直角∠EGF拆成两个分别等于∠BEG、∠DFG的内错角，得到两角和为90°的方程，解出α即可得到∠DFG的度数。
2. 第(2)问：要证明FQ平分∠GFD，同样过拐点Q作平行于AB的直线，把已知的45°的∠EQF拆成两个内错角，得到∠BEQ+∠DFQ=45°，结合第(1)问已经得到的∠BEG+∠DFG=90°，再利用EQ是∠BEG平分线的条件做等量代换，就能推出∠GFQ=∠DFQ，完成角平分线的证明。
3. 第(3)问：先利用平角性质和已知的∠GEF=30°，把∠AEF用∠BEG表示出来，再结合角平分线定义得到∠AEM的度数，由AB//CD得到同位角∠CMP的度数。之后对点H的位置做分类讨论：分别讨论H在线段FM上、H在射线MC上两种情况，过P作平行于CD的辅助线，利用平行线内错角相等的性质，推导三个角之间的和差关系，最后汇总所有情况的结论即可。
【解析】
(1) 设∠BEG=α，则∠DFG=2α，过点G作GL//AB，根据平行线内错角相等得∠BEG=∠1。
因为AB//CD，由平行的传递性可得GL//CD，因此∠DFG=∠2。
已知∠G=90°，即∠1+∠2=90°，代入得∠BEG+∠DFG=90°，也就是α+2α=90°，解得α=30°，因此∠DFG=2α=60°。
(2) 过点Q作QK//AB，因为AB//CD，由平行的传递性可得QK//CD，根据平行线内错角相等得∠BEQ=∠EQK，∠DFQ=∠FQK。
已知∠EQF=45°，即∠EQK+∠FQK=45°，代入得∠BEQ+∠DFQ=45°，即∠DFQ=45°-∠BEQ。
由(1)的结论可知∠BEG+∠DFG=90°，代入得2∠BEQ + ∠DFQ + ∠GFQ=90°，将∠DFQ=45°-∠BEQ代入，可得∠QEG+∠GFQ=90°-45°=45°，即∠GFQ=45°-∠QEG。
因为EQ是∠BEG的平分线，所以∠QEG=∠BEQ，等量代换得∠GFQ=∠DFQ，因此FQ平分∠GFD。
(3) 已知∠GEF=30°，由平角定义得∠AEF=180°-30°-∠BEG=150°-∠BEG。
因为EP是∠AEF的平分线，所以∠AEM=1/2∠AEF=75°-1/2∠BEG。
由AB//CD，同位角相等得∠CMP=∠AEM=75°-1/2∠BEG。
① 当点H在线段FM上时，过点P作PN//CD，由平行线内错角相等得∠MPN=∠CMP=75°-1/2∠BEG，∠PHC=∠HPN。
由角的和差关系得∠MPN=∠EPH+∠HPN，代入得75°-1/2∠BEG=∠EPH+∠PHC，整理得∠EPH+∠PHC+1/2∠BEG=75°。
② 当点H在射线MC上时，过点P作PN//CD，由平行线内错角相等得∠MPN=∠CMP=75°-1/2∠BEG，∠PHC=∠HPN。
由角的和差关系得∠HPN=∠EPH+∠MPN，代入得∠PHC=∠EPH+75°-1/2∠BEG，整理得∠PHC-∠EPH+1/2∠BEG=75°。
综上可得到两个对应的数量关系。
【答案】
3. (1) 解:设$∠ BEG=α$,则$∠ DFG=2α$.
如图 1, 作 $GL// AB$, 则 $∠ BEG=∠ 1$. 因为 $AB// CD$, 所以 $GL// CD$, 所以 $∠ DFG=∠ 2$.
因为$∠ 1+∠ 2=90°$,所以$∠ BEG+∠ DFG=∠ 1+∠ 2=90°$,即 $α+2α=90°$,解得 $α=30°$,所以$∠ DFG=2α=60°$.
(2) 证明:如图 2,作 $QK// AB$,因为 $AB// CD$,所以 $QK// CD$,所以 $∠ BEQ=∠ EQK$,$∠ DFQ=∠ FQK$. 因为 $∠ EQF=45°$,所以$∠ BEQ+∠ DFQ=45°$,即 $∠ DFQ=45°-∠ BEQ$. 由(1)知$∠ BEG+∠ DFG=90°$,所以$∠ QEG+∠ GFQ=90°-45°=45°$,即$∠ GFQ=45°-∠ QEG$. 因为 $EQ$ 是 $∠ BEG$ 的平分线,所以$∠ QEG=∠ BEQ$,所以$∠ GFQ=45°-∠ BEQ$,所以$∠ GFQ=∠ DFQ$,所以 $FQ$ 平分$∠ GFD$.
(3) 解:因为$∠ GEF=30°$,所以$∠ AEF=180°-30°-∠ BEG=150°-∠ BEG$. 因为 $EP$ 是 $∠ AEF$ 的平分线, 所以 $∠ AEM=\frac{1}{2}∠ AEF=75°-\frac{1}{2}∠ BEG$. 因为 $AB// CD$,所以$∠ CMP=∠ AEM=75°-\frac{1}{2}∠ BEG$. 如图3,当点 $H$ 在线段 $FM$ 上时,作 $PN// CD$,所以$∠ MPN=∠ CMP=75°-\frac{1}{2}∠ BEG$,$∠ PHC=∠ HPN$,所以$∠ MPN=∠ EPH+∠ HPN$,即 $75°-\frac{1}{2}∠ BEG=∠ EPH+∠ PHC$,所以$∠ EPH+∠ PHC+\frac{1}{2}∠ BEG=75°$;如图 4,当点 $H$ 在射线 $MC$ 上时,作 $PN// CD$, 所以 $∠ MPN=∠ CMP=75°-\frac{1}{2}∠ BEG$,$∠ PHC=∠ HPN$,所以$∠ HPN=∠ EPH+∠ MPN$,即 $∠ PHC=∠ EPH+75°-\frac{1}{2}∠ BEG$,所以$∠ PHC-∠ EPH+\frac{1}{2}∠ BEG=75°$.
综上所述,$∠ EPH+∠ PHC+\frac{1}{2}∠ BEG=75°$或$∠ PHC-∠ EPH+\frac{1}{2}∠ BEG=75°$.
【知识点】
平行线性质，角平分线定义，分类讨论思想
【点评】
本题是平行线章节的经典综合题型，设问层层递进，从基础角度计算到角平分线证明，再到动点角度关系探究，核心考察学生对平行线拐点辅助线构造方法的掌握，第三问的动点位置分类讨论是高频易错点，能有效锻炼学生的几何逻辑推导能力和严谨的数学思维习惯。
【难度系数】
0.4
这道题是平行线相关的综合几何题，核心解题思路是利用平行线的拐点辅助线构造法：
1. 第(1)问：已知∠DFG是∠BEG的2倍，先设小角∠BEG为α，把两个角都用α表示。观察到G是直角顶点，过G作平行于AB的直线，结合AB//CD的平行传递性，就能把直角∠EGF拆成两个分别等于∠BEG、∠DFG的内错角，得到两角和为90°的方程，解出α即可得到∠DFG的度数。
2. 第(2)问：要证明FQ平分∠GFD，同样过拐点Q作平行于AB的直线，把已知的45°的∠EQF拆成两个内错角，得到∠BEQ+∠DFQ=45°，结合第(1)问已经得到的∠BEG+∠DFG=90°，再利用EQ是∠BEG平分线的条件做等量代换，就能推出∠GFQ=∠DFQ，完成角平分线的证明。
3. 第(3)问：先利用平角性质和已知的∠GEF=30°，把∠AEF用∠BEG表示出来，再结合角平分线定义得到∠AEM的度数，由AB//CD得到同位角∠CMP的度数。之后对点H的位置做分类讨论：分别讨论H在线段FM上、H在射线MC上两种情况，过P作平行于CD的辅助线，利用平行线内错角相等的性质，推导三个角之间的和差关系，最后汇总所有情况的结论即可。
【解析】
(1) 设∠BEG=α，则∠DFG=2α，过点G作GL//AB，根据平行线内错角相等得∠BEG=∠1。
因为AB//CD，由平行的传递性可得GL//CD，因此∠DFG=∠2。
已知∠G=90°，即∠1+∠2=90°，代入得∠BEG+∠DFG=90°，也就是α+2α=90°，解得α=30°，因此∠DFG=2α=60°。
(2) 过点Q作QK//AB，因为AB//CD，由平行的传递性可得QK//CD，根据平行线内错角相等得∠BEQ=∠EQK，∠DFQ=∠FQK。
已知∠EQF=45°，即∠EQK+∠FQK=45°，代入得∠BEQ+∠DFQ=45°，即∠DFQ=45°-∠BEQ。
由(1)的结论可知∠BEG+∠DFG=90°，代入得2∠BEQ + ∠DFQ + ∠GFQ=90°，将∠DFQ=45°-∠BEQ代入，可得∠QEG+∠GFQ=90°-45°=45°，即∠GFQ=45°-∠QEG。
因为EQ是∠BEG的平分线，所以∠QEG=∠BEQ，等量代换得∠GFQ=∠DFQ，因此FQ平分∠GFD。
(3) 已知∠GEF=30°，由平角定义得∠AEF=180°-30°-∠BEG=150°-∠BEG。
因为EP是∠AEF的平分线，所以∠AEM=1/2∠AEF=75°-1/2∠BEG。
由AB//CD，同位角相等得∠CMP=∠AEM=75°-1/2∠BEG。
① 当点H在线段FM上时，过点P作PN//CD，由平行线内错角相等得∠MPN=∠CMP=75°-1/2∠BEG，∠PHC=∠HPN。
由角的和差关系得∠MPN=∠EPH+∠HPN，代入得75°-1/2∠BEG=∠EPH+∠PHC，整理得∠EPH+∠PHC+1/2∠BEG=75°。
② 当点H在射线MC上时，过点P作PN//CD，由平行线内错角相等得∠MPN=∠CMP=75°-1/2∠BEG，∠PHC=∠HPN。
由角的和差关系得∠HPN=∠EPH+∠MPN，代入得∠PHC=∠EPH+75°-1/2∠BEG，整理得∠PHC-∠EPH+1/2∠BEG=75°。
综上可得到两个对应的数量关系。
【答案】
3. (1) 解:设$∠ BEG=α$,则$∠ DFG=2α$.
如图 1, 作 $GL// AB$, 则 $∠ BEG=∠ 1$. 因为 $AB// CD$, 所以 $GL// CD$, 所以 $∠ DFG=∠ 2$.
因为$∠ 1+∠ 2=90°$,所以$∠ BEG+∠ DFG=∠ 1+∠ 2=90°$,即 $α+2α=90°$,解得 $α=30°$,所以$∠ DFG=2α=60°$.
(2) 证明:如图 2,作 $QK// AB$,因为 $AB// CD$,所以 $QK// CD$,所以 $∠ BEQ=∠ EQK$,$∠ DFQ=∠ FQK$. 因为 $∠ EQF=45°$,所以$∠ BEQ+∠ DFQ=45°$,即 $∠ DFQ=45°-∠ BEQ$. 由(1)知$∠ BEG+∠ DFG=90°$,所以$∠ QEG+∠ GFQ=90°-45°=45°$,即$∠ GFQ=45°-∠ QEG$. 因为 $EQ$ 是 $∠ BEG$ 的平分线,所以$∠ QEG=∠ BEQ$,所以$∠ GFQ=45°-∠ BEQ$,所以$∠ GFQ=∠ DFQ$,所以 $FQ$ 平分$∠ GFD$.
(3) 解:因为$∠ GEF=30°$,所以$∠ AEF=180°-30°-∠ BEG=150°-∠ BEG$. 因为 $EP$ 是 $∠ AEF$ 的平分线, 所以 $∠ AEM=\frac{1}{2}∠ AEF=75°-\frac{1}{2}∠ BEG$. 因为 $AB// CD$,所以$∠ CMP=∠ AEM=75°-\frac{1}{2}∠ BEG$. 如图3,当点 $H$ 在线段 $FM$ 上时,作 $PN// CD$,所以$∠ MPN=∠ CMP=75°-\frac{1}{2}∠ BEG$,$∠ PHC=∠ HPN$,所以$∠ MPN=∠ EPH+∠ HPN$,即 $75°-\frac{1}{2}∠ BEG=∠ EPH+∠ PHC$,所以$∠ EPH+∠ PHC+\frac{1}{2}∠ BEG=75°$;如图 4,当点 $H$ 在射线 $MC$ 上时,作 $PN// CD$, 所以 $∠ MPN=∠ CMP=75°-\frac{1}{2}∠ BEG$,$∠ PHC=∠ HPN$,所以$∠ HPN=∠ EPH+∠ MPN$,即 $∠ PHC=∠ EPH+75°-\frac{1}{2}∠ BEG$,所以$∠ PHC-∠ EPH+\frac{1}{2}∠ BEG=75°$.
综上所述,$∠ EPH+∠ PHC+\frac{1}{2}∠ BEG=75°$或$∠ PHC-∠ EPH+\frac{1}{2}∠ BEG=75°$.
【知识点】
平行线性质，角平分线定义，分类讨论思想
【点评】
本题是平行线章节的经典综合题型，设问层层递进，从基础角度计算到角平分线证明，再到动点角度关系探究，核心考察学生对平行线拐点辅助线构造方法的掌握，第三问的动点位置分类讨论是高频易错点，能有效锻炼学生的几何逻辑推导能力和严谨的数学思维习惯。
【难度系数】
0.4
