1. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,D在AB上,F在AC的延长线上,且$BD=CF$,连接DF交BC于点E.求证:$DE=EF$.

过点 D 作 AF 的平行线交 BC 于点 G,$\therefore ∠ ECF=∠ EGD$,$∠ DGB=∠ ACB.\because AB=AC,\therefore ∠ ABC=∠ ACB,\therefore ∠ ABC=∠ DGB,\therefore BD=DG.\because BD=CF,\therefore DG=CF$.在$△ DGE$和$△ FCE$
$\mathrm{中,}\begin{cases} ∠ EGD=∠ ECF, \\ ∠ DEG=∠ FEC, \\ DG=FC, \end{cases}$
$\therefore △ DGE≌△ FCE(\mathrm{AAS}),\therefore DE=EF$.

2. 如图①, 在等腰 $△ ABC$ 中, $AB = AC$, $∠ BAC = 45°, BD ⊥ AC$, 点 $P$ 为边 $AB$ 上一点(不与点 $A$,点 $B$ 重合), $PM ⊥ BC$, 垂足为 $M$, 交 $BD$ 于点 $N$.
(1) 请猜想 $PN$ 与 $BM$ 之间的数量关系, 并证明.
(2) 若点 $P$ 为边 $AB$ 延长线上一点, $PM ⊥ BC$,垂足为 $M$, 交 $DB$ 的延长线于点 $N$, 请在图②中画出图形, 并判断(1)中的结论是否成立.若成立,请证明;若不成立,请写出你的猜想并证明.

(1)$PN=2BM$.证明:如图①,作$PF// AC$交 BC 于点 F,交 BD于点 E.$\because BD⊥ AC,PF// AC,\therefore PF⊥ BD,∠ BPE=∠ A=45°,\therefore ∠ BEP=90°,\therefore ∠ BPE=∠ PBE=45°,\therefore BE=PE.$$\because PM⊥ BC,\therefore ∠ PMB=∠ PEN=90°.\because ∠ BNM=∠ PNE,$$\therefore ∠ NPE=∠ EBF.\because ∠ PEN=∠ BEF=90°,\therefore △ PEN≌△ BEF(\mathrm{ASA}),\therefore PN=BF.\because AB=AC,\therefore ∠ ABC=∠ C.$$\because ∠ PFB=∠ C,\therefore ∠ ABC=∠ PFB,\therefore PB=PF.\because PM⊥ BF,$$\therefore BM=MF,\therefore PN=2BM.$

(2)画出图形如图②,(1)中的结论成立.证明:如图②,作$PF// AC$交 CB 的延长线于点 E,交 DB 的延长线于点 F.$\because ∠ ABD=∠ PBF=∠ BPF=45°,\therefore BF=PF.\because ∠ EBF=∠ EPM,∠ EFB=∠ PFN=90°,BF=PF,\therefore △ BFE≌△ PFN$$(\mathrm{ASA}),\therefore PN=BE.\because ∠ E=∠ C=∠ ABC=∠ PBE,\therefore PE=PB.\because PM⊥ EB,\therefore EM=BM,\therefore PN=2BM.$

3. 如图,在$△ ABC$中,$AD$平分$∠ BAC$,$E,F$分别在$BD,AD$上,且$DE=CD$,$EF=AC$,求证:$EF// AB$.

过点 C 作$CM// EF$,交 AD 的延长线于点 M,$\therefore ∠ M=∠ EFD.\because DE=CD,∠ EDF=∠ CDM,\therefore △ EDF≌△ CDM$$(\mathrm{AAS}),\therefore EF=CM.\because EF=AC,\therefore AC=CM,\therefore △ ACM$为等腰三角形,$\therefore ∠ DAC=∠ M$.又$\because AD$平分$∠ BAC,\therefore ∠ BAD=∠ DAC,\therefore ∠ EFD=∠ BAD,\therefore EF// AB.$