7. (2024·济宁)如图,分别延长圆内接四边形 ABCD 的两组对边,延长线相交于点 E、F. 若$∠ E=54°41',∠ F=43°19'$,则$∠ BAD$的度数为（）

A.$42°$
B.$41°20'$
C.$41°$
D.$40°20'$

∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠BCD=180°.
∵∠CDF是△ADE的外角，
∴∠CDF=∠A+∠E.
∵∠BCD是△CDF的外角，
∴∠BCD=∠F+∠CDF,
∴∠BCD=∠F+∠A+∠E,
∴∠A+∠F+∠A+∠E=180°,
∴2∠A+∠F+∠E=180°.
∵∠E=54°41',∠F=43°19',
∴2∠A+54°41'+43°19'=180°,
∴∠A=41°.

【分析】
要解决本题，需结合圆内接四边形的性质和三角形外角的性质联立求解。首先利用圆内接四边形对角互补的性质得到∠BAD与∠BCD的关系，再通过三角形外角的性质分别表示出∠CDF和∠BCD，将两者结合后代入已知角度，即可计算出∠BAD的度数。
【解析】
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BAD + ∠BCD = 180°（圆内接四边形的对角互补）。
∵∠CDF是△ADE的外角，
∴∠CDF = ∠BAD + ∠E（三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和）。
∵∠BCD是△CDF的外角，
∴∠BCD = ∠F + ∠CDF（三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和）。
将∠CDF = ∠BAD + ∠E代入上式，得：
∠BCD = ∠F + ∠BAD + ∠E。
结合∠BAD + ∠BCD = 180°，可得：
∠BAD + (∠F + ∠BAD + ∠E) = 180°，
整理得：2∠BAD + ∠E + ∠F = 180°。
已知∠E = 54°41'，∠F = 43°19'，代入得：
2∠BAD + 54°41' + 43°19' = 180°，
计算得54°41' + 43°19' = 98°，
则2∠BAD = 180° - 98° = 82°，
∴∠BAD = 41°。
【答案】
41°
【知识点】
圆内接四边形性质、三角形外角性质
【点评】
本题综合考查圆内接四边形的对角互补性质与三角形外角的性质，需要学生灵活运用两个知识点建立方程求解，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】
0.5

8. 如图,四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O,BC// AD,AC⊥ BD$. 若 $∠ AOD=120°,AD=\sqrt{3}$, 则 $∠ CAO$ 的度数与 $BC$ 的长分别为（）

A.$10°,1$
B.$10°,\sqrt{2}$
C.$15°,1$
D.$15°,\sqrt{2}$

如图，连接OB、OC.
∵BC//AD,
∴∠DBC=∠ADB,
∴$\widehat{AB}=\widehat{CD}$,
∴∠AOB=∠COD,∠CAD=∠ADB.
∵DB⊥AC,
∴∠AED=90°,
∴∠CAD=∠ADB=45°,
∴∠AOB=2∠ADB=90°,∠COD=2∠CAD=90°.
∵∠AOD=120°,
∴∠BOC=360°−90°−90°−120°=60°.
∵OB=OC,
∴△OBC是等边三角形,
∴BC=OB.
∵OA=OD,∠AOD=120°,
∴∠OAD=∠ODA=30°,
∴AD=$\sqrt{3}$ OA=$\sqrt{3}$,
∴OA=1,
∴BC=1,
∴∠CAO=∠CAD−∠OAD=45°−30°=15°.

【分析】首先连接OB、OC，利用BC//AD的平行线性质，结合同圆中相等圆周角对应等弧的关系推导圆心角；再由AC⊥BD得到直角三角形，结合角度关系求出∠CAD和∠ADB的度数，利用圆周角定理（圆心角是同弧圆周角的2倍）计算相关圆心角；接着根据周角为360°算出∠BOC，判定△OBC为等边三角形得到BC与半径的关系；最后在△AOD中，利用等腰三角形性质和已知AD长度求出半径OA，进而得到BC的长，通过角度差算出∠CAO的度数。
【解析】连接OB、OC。
∵ BC//AD，
∴ ∠DBC=∠ADB，根据“同圆中，相等的圆周角所对的弧相等”，得$\widehat{AB}=\widehat{CD}$，
∴ ∠AOB=∠COD，∠CAD=∠ADB。
∵ AC⊥BD，
∴ ∠AED=90°，
在△AED中，∠CAD + ∠ADB = 90°，又∠CAD=∠ADB，
∴ ∠CAD=∠ADB=45°。
根据圆周角定理：圆心角的度数是同弧所对圆周角的2倍，
∴ ∠AOB=2∠ADB=90°，∠COD=2∠CAD=90°。
∵ 周角为360°，∠AOD=120°，
∴ ∠BOC=360°−90°−90°−120°=60°。
又OB=OC（⊙O半径），故△OBC是等边三角形，BC=OB。
在△AOD中，OA=OD（⊙O半径），∠AOD=120°，
∴ ∠OAD=(180°−120°)÷2=30°，
过O作OH⊥AD于H，则AH=AD/2=√3/2，
在Rt△AOH中，cos30°=AH/OA，即$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}/2}{OA}$，解得OA=1，
∴ BC=OB=OA=1，∠CAO=∠CAD−∠OAD=45°−30°=15°。
【答案】C
【知识点】圆周角定理，圆心角与弧的关系，等边三角形判定
【点评】本题综合考查圆的核心性质，需结合平行线、垂直条件推导角度，关键是辅助线的添加和角度转换，对学生的知识综合应用能力有一定要求。
【难度系数】0.4

9. 如图，点A、B、C、D、E在$\odot O$上，且$\overset{\frown}{AB}$的度数为$50°$，则$∠ C+∠ BED=$.

连接AE,则四边形AEDC是⊙O的内接四边形,
∴∠C+∠AED=180°.
∵$\widehat{AB}$的度数为50°,
∴∠AEB=1/2×50°=25°,
∴∠C+∠BED=∠C+∠AED−∠AEB=180°−25°=155°.

【分析】要解决本题，需结合圆内接四边形的性质与圆周角定理，关键是构造辅助线AE，将所求角转化为与内接四边形相关的角。首先连接AE，得到圆内接四边形AEDC，利用其对角互补的性质得到∠C与∠AED的和；再根据弧AB的度数，结合圆周角定理算出∠AEB的度数，最后通过角的和差关系求出∠C+∠BED的值。
【解析】连接AE，
∵点A、E、D、C在⊙O上，
∴四边形AEDC是⊙O的内接四边形，
根据圆内接四边形的性质：对角互补，
∴∠C + ∠AED = 180°。
∵$\overset{\frown}{AB}$的度数为50°，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角∠AEB = $\frac{1}{2}$×50° = 25°。
又
∵∠BED = ∠AED - ∠AEB，
∴∠C + ∠BED = ∠C + (∠AED - ∠AEB) = (∠C + ∠AED) - ∠AEB = 180° - 25° = 155°。
【答案】155°
【知识点】圆内接四边形性质、圆周角定理
【点评】本题综合考查圆内接四边形性质与圆周角定理的应用，核心是通过辅助线将未知角转化为已知关系的角，解题关键是合理构造辅助线，难度中等，需掌握相关定理的灵活运用。
【难度系数】0.5

10. (2025·广安)如图,四边形$ABCD$是$\odot O$的内接四边形,$∠ BCD=120°$,$\odot O$的半径为$6$,则$BD$的长为.

如图，连接DO并延长交⊙O于点E,连接BE,则∠A=∠E,∠EBD=90°.
∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴∠A+∠BCD=180°.
∵∠BCD=120°,
∴∠A=60°,
∴∠E=60°,
∴∠BDE=30°.
∵⊙O的半径为6,
∴DE=12,
∴BE=1/2 DE=6,
∴BD=$\sqrt{DE^2-BE^2}$=$\sqrt{12^2-6^2}$=$6\sqrt{3}$.

【分析】要计算弦BD的长度，需结合圆的性质转化到直角三角形中求解。先利用圆内接四边形对角互补求出∠A的度数，再通过作直径构造直角三角形，将∠A转化为同弧所对的圆周角∠E，最后利用直角三角形的性质和勾股定理计算BD。
【解析】连接DO并延长交⊙O于点E，连接BE，则DE为⊙O的直径，故DE=2×6=12，且直径所对的圆周角∠EBD=90°。
因为四边形ABCD是⊙O的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补，得∠A + ∠BCD = 180°。
已知∠BCD=120°，所以∠A=180°−120°=60°。
又因为同弧BD所对的圆周角相等，所以∠E=∠A=60°。
在Rt△BED中，∠BDE=90°−∠E=30°，故BE=½DE=½×12=6。
根据勾股定理，BD=√(DE²−BE²)=√(12²−6²)=6√3。
【答案】6√3
【知识点】圆内接四边形性质，圆周角定理，勾股定理
【点评】本题综合考查圆内接四边形的性质、圆周角定理及直角三角形的计算，核心是构造直径将弦转化到直角三角形中求解，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】0.5

11. 如图, A B 是 $\odot O$ 的直径, 四边形 A C B D 是 $\odot O$ 的内接四边形, 已知 $A B=10 \mathrm{~cm}, B C=$8 cm, C D 平分 $∠ A C B$.
(1)求 AC 和 BD 的长.
(2)求四边形 ACBD 的面积.

(1)
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=∠ADB=90°.
∵AB=10 cm,BC=8 cm,
∴AC=$\sqrt{AB^2-BC^2}$=$\sqrt{10^2-8^2}$=6(cm).
∵CD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠DCB,
∴∠ABD=∠BAD,
∴AD=BD.在Rt△ADB中,AD²+BD²=AB²,
∴BD=AD=$5\sqrt{2}$ cm.
(2)$S_{四边形ACBD}=S_{△ACB}+S_{△ADB}=\frac{1}{2}AC·BC+\frac{1}{2}AD·BD=\frac{1}{2}×6×8+\frac{1}{2}×5\sqrt{2}×5\sqrt{2}=49(\mathrm{cm}^2)$.

【分析】
首先，根据AB是⊙O的直径，利用圆周角定理（直径所对的圆周角为直角），可确定△ACB和△ADB均为直角三角形，通过勾股定理能求出AC的长度；接着，由CD平分∠ACB，结合圆中相等圆周角对应等弧的性质，得到弧AD=弧BD，进而推出AD=BD，再在Rt△ADB中用勾股定理求出BD；最后，四边形ACBD的面积是两个直角三角形△ACB和△ADB的面积之和，分别计算两个三角形面积后相加即可得到结果。
【解析】
(1) 因为AB是⊙O的直径，根据圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，所以∠ACB=∠ADB=90°。
在Rt△ACB中，AB=10 cm，BC=8 cm，由勾股定理得：
AC = √(AB² - BC²) = √(10² - 8²) = √(100 - 64) = 6 (cm)。
因为CD平分∠ACB，所以∠ACD=∠DCB，根据圆中相等的圆周角所对的弧相等，可得弧AD=弧BD，因此对应的弦AD=BD。
在Rt△ADB中，AD² + BD² = AB²，又AD=BD，所以2BD² = AB²，代入AB=10 cm得：
2BD² = 10² → BD² = 50 → BD = 5√2 (cm)（长度为正，舍去负根）。
(2) 四边形ACBD的面积等于△ACB与△ADB的面积之和：
S△ACB = (1/2)×AC×BC = (1/2)×6×8 = 24 (cm²)，
S△ADB = (1/2)×AD×BD = (1/2)×5√2×5√2 = 25 (cm²)，
所以S四边形ACBD = 24 + 25 = 49 (cm²)。
【答案】
(1) AC=6 cm，BD=5√2 cm；(2) 49 cm²
【知识点】
圆周角定理、勾股定理、圆的弧弦关系
【点评】
本题结合圆周角定理、勾股定理及圆中弧与弦的关系，考查几何计算能力，核心是利用直径构造直角三角形，结合角平分线性质推导等弦，属于中等难度的几何题，需掌握圆的相关性质及三角形面积计算方法。
【难度系数】
0.6

12. 如图,四边形 A B C D 是$\odot O$的内接四边形,F 是 C D 延长线上的一点,且 D A 平分$∠ BDF.$
(1)求证:$AB=AC.$
(2)若$AB=13,BC=10$,求$\odot O$的半径.

(1)证明：
∵DA平分∠BDF,
∴∠ADF=∠ADB.
∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ADC+∠ADF=180°,
∴∠ADF=∠ABC,
∴∠ADB=∠ABC.
∵∠ACB=∠ADB,
∴∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC.
(2)如图,过点A作AG⊥BC于点G,连接OC.
∵AB=AC,
∴BG=CG=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×10=5,点A在线段BC的垂直平分线上.在Rt△AGB中,AG=$\sqrt{AB^2-BG^2}$=$\sqrt{13^2-5^2}$=12.又
∵OB=OC,
∴圆心O也在线段BC的垂直平分线上,
∴圆心O在线段AG上,
∴OG⊥BC.设⊙O的半径为r,则OA=OB=r,OG=AG−OA=12−r.在Rt△OGB中,OB²=OG²+BG²,即r²=(12−r)²+5²,解得r=$\frac{169}{24}$,
∴⊙O的半径为$\frac{169}{24}$.

【分析】
要解决本题，分两步推导：
1. 证明AB=AC：需证∠ABC=∠ACB。利用角平分线性质得∠ADF=∠ADB；结合圆内接四边形对角互补、邻补角和为180°，推出∠ADF=∠ABC，进而得∠ADB=∠ABC；再根据同弧所对圆周角相等，得∠ACB=∠ADB，最终由等角对等边证AB=AC。
2. 求⊙O半径：由AB=AC知A在BC的垂直平分线上，结合OB=OC得圆心O也在BC的垂直平分线上，故过A作AG⊥BC的直线过圆心O；先在Rt△AGB中算AG长度，再设半径为r，用勾股定理在Rt△OGB中列方程求解。
【解析】
(1) 证明：
∵DA平分∠BDF，
∴∠ADF=∠ADB。
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC + ∠ADC = 180°。
又
∵∠ADC + ∠ADF = 180°（邻补角定义），
∴∠ADF = ∠ABC，
∴∠ADB = ∠ABC。
∵∠ACB和∠ADB都是弧AB所对的圆周角，
∴∠ACB = ∠ADB，
∴∠ABC = ∠ACB，
∴AB = AC。
(2) 解：
过点A作AG⊥BC于点G，连接OC。
∵AB = AC，AG⊥BC，
∴BG = CG = ½BC = ½×10 = 5，即点A在BC的垂直平分线上。
在Rt△AGB中，由勾股定理得：
AG = √(AB² - BG²) = √(13² - 5²) = 12。
∵OB = OC，
∴圆心O也在BC的垂直平分线上，即O在AG上，OG⊥BC。
设⊙O半径为r，则OA=OB=r，OG=12 - r。
在Rt△OGB中，由勾股定理：
r² = (12 - r)² + 5²，
展开化简得：24r = 169，
解得r = 169/24。
∴⊙O的半径为169/24。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) ⊙O的半径为$\frac{169}{24}$。
【知识点】
圆内接四边形性质，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题是几何综合题，综合考查圆的核心性质与勾股定理、等腰三角形的应用，解题关键是利用圆的角关系推导，结合垂直平分线性质构造直角三角形求解半径，对几何逻辑推理能力要求较高。
【难度系数】
0.5