登录
9.【数学文化】(2025·辽宁)我国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何.”大意为：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步.设这个矩形的宽为$x$步，根据题意可列方程为（
A.$x(60-x)=864$
B.$x(x-60)=864$
C.$x(60+x)=864$
D.$2[x+(x+60)]=864$
A
）A.$x(60-x)=864$
B.$x(x-60)=864$
C.$x(60+x)=864$
D.$2[x+(x+60)]=864$
答案
9. A
解析
【分析】
要解决这道题，需先根据已知条件表示出矩形的长，再结合矩形面积公式列出方程。题目设宽为$x$步，已知长与宽的和为60步，因此长为$(60 - x)$步；又因为矩形面积=长×宽，且面积为864平方步，据此可列出对应方程，再匹配选项即可。
【解析】
设矩形的宽为$x$步，由于长与宽共60步，所以长为$(60 - x)$步。根据矩形面积公式：面积=长×宽，结合题目中面积为864平方步的条件，可列方程为$x(60 - x)=864$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的应用、矩形面积计算
【点评】
本题结合古代数学文化考查一元二次方程的应用，核心是根据长与宽的数量关系表示出长，再利用面积公式列方程，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需先根据已知条件表示出矩形的长，再结合矩形面积公式列出方程。题目设宽为$x$步，已知长与宽的和为60步，因此长为$(60 - x)$步；又因为矩形面积=长×宽，且面积为864平方步，据此可列出对应方程，再匹配选项即可。
【解析】
设矩形的宽为$x$步，由于长与宽共60步，所以长为$(60 - x)$步。根据矩形面积公式：面积=长×宽，结合题目中面积为864平方步的条件，可列方程为$x(60 - x)=864$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的应用、矩形面积计算
【点评】
本题结合古代数学文化考查一元二次方程的应用，核心是根据长与宽的数量关系表示出长，再利用面积公式列方程，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.8
10. 若$a+b+c=0$,则一元二次方程$ax^{2}-bx+c=0(a ≠ 0)$必有一个根是（
A.0
B.1
C.$-1$
D.$a$
C
）A.0
B.1
C.$-1$
D.$a$
答案
10. C 解析：当$x=-1$时，$a-(-b)+c=0$，即$a+b+c=0$，$\therefore$一元二次方程$ax^2-bx+c=0(a≠0)$必有一个根是$x=-1$。
解析
【分析】
要确定一元二次方程$ax^2 -bx +c=0(a≠0)$的根，需利用一元二次方程根的定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。已知条件$a+b+c=0$，我们将选项中的$x$值代入方程，验证哪个代入后结果等于$0$，即可找到对应的根。
【解析】
解：根据一元二次方程根的定义，对各选项逐一验证：
选项A：当$x=0$时，代入方程得$a×0^2 -b×0 +c = c$，仅当$c=0$时等式成立，但$c$不一定为$0$，故$x=0$不是方程的根；
选项B：当$x=1$时，代入方程得$a×1^2 -b×1 +c = a -b +c$，仅当$a -b +c=0$时等式成立，与已知$a+b+c=0$不符，故$x=1$不是方程的根；
选项C：当$x=-1$时，代入方程得$a×(-1)^2 -b×(-1) +c = a +b +c$，已知$a+b+c=0$，因此等式成立，故$x=-1$是方程的根；
选项D：当$x=a$时，代入方程得$a×a^2 -b×a +c = a^3 -ab +c$，显然无法保证等于$0$，故$x=a$不是方程的根。
综上，答案为C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的根、代数式代入求值
【点评】
本题考查一元二次方程根的定义，属于基础题型，通过代入验证法即可快速求解，难度较低，适合巩固方程根的核心概念。
【难度系数】
0.7
要确定一元二次方程$ax^2 -bx +c=0(a≠0)$的根，需利用一元二次方程根的定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。已知条件$a+b+c=0$，我们将选项中的$x$值代入方程，验证哪个代入后结果等于$0$，即可找到对应的根。
【解析】
解：根据一元二次方程根的定义，对各选项逐一验证：
选项A：当$x=0$时，代入方程得$a×0^2 -b×0 +c = c$，仅当$c=0$时等式成立，但$c$不一定为$0$，故$x=0$不是方程的根；
选项B：当$x=1$时，代入方程得$a×1^2 -b×1 +c = a -b +c$，仅当$a -b +c=0$时等式成立，与已知$a+b+c=0$不符，故$x=1$不是方程的根；
选项C：当$x=-1$时，代入方程得$a×(-1)^2 -b×(-1) +c = a +b +c$，已知$a+b+c=0$，因此等式成立，故$x=-1$是方程的根；
选项D：当$x=a$时，代入方程得$a×a^2 -b×a +c = a^3 -ab +c$，显然无法保证等于$0$，故$x=a$不是方程的根。
综上，答案为C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的根、代数式代入求值
【点评】
本题考查一元二次方程根的定义，属于基础题型，通过代入验证法即可快速求解，难度较低，适合巩固方程根的核心概念。
【难度系数】
0.7
11. 若关于$x$的一元二次方程$(a-1)x^{2}-2x+a^{2}-1=0$有一个根为$x=0$,则$a$的值为 （
A.0
B.$\pm1$
C.1
D.$-1$
D
）A.0
B.$\pm1$
C.1
D.$-1$
答案
11. D 解析：$\because$关于$x$的一元二次方程$(a-1)x^2-2x+a^2-1=0$有一个根为$x=0$，$\therefore a^2-1=0$且$a-1≠0$，解得$a=-1$。
解析
【分析】
要解决这个问题，需明确两个核心条件：一是一元二次方程的定义（二次项系数不能为0），二是方程的根满足方程（将根代入等式成立）。首先把根$x=0$代入方程得到关于$a$的方程，解出$a$的可能值后，再根据一元二次方程的定义排除不符合的取值，即可得到正确答案。
【解析】
已知方程$(a-1)x^2 - 2x + a^2 - 1 = 0$是一元二次方程，且有一个根为$x=0$。
1. 将$x=0$代入方程，得：$(a-1)×0^2 - 2×0 + a^2 - 1 = 0$，化简得$a^2 - 1 = 0$，解得$a = \pm1$。
2. 因为该方程是一元二次方程，所以二次项系数不能为0，即$a - 1 ≠ 0$，解得$a ≠ 1$。
3. 结合上述两个条件，$a = -1$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义；方程的根的概念
【点评】
本题考查一元二次方程根的性质，易错点是忽略一元二次方程二次项系数不为0的条件，直接由根代入得到$a=\pm1$，从而误选B选项，解题时需全面考虑方程的定义和根的性质，避免遗漏条件。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需明确两个核心条件：一是一元二次方程的定义（二次项系数不能为0），二是方程的根满足方程（将根代入等式成立）。首先把根$x=0$代入方程得到关于$a$的方程，解出$a$的可能值后，再根据一元二次方程的定义排除不符合的取值，即可得到正确答案。
【解析】
已知方程$(a-1)x^2 - 2x + a^2 - 1 = 0$是一元二次方程，且有一个根为$x=0$。
1. 将$x=0$代入方程，得：$(a-1)×0^2 - 2×0 + a^2 - 1 = 0$，化简得$a^2 - 1 = 0$，解得$a = \pm1$。
2. 因为该方程是一元二次方程，所以二次项系数不能为0，即$a - 1 ≠ 0$，解得$a ≠ 1$。
3. 结合上述两个条件，$a = -1$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义；方程的根的概念
【点评】
本题考查一元二次方程根的性质，易错点是忽略一元二次方程二次项系数不为0的条件，直接由根代入得到$a=\pm1$，从而误选B选项，解题时需全面考虑方程的定义和根的性质，避免遗漏条件。
【难度系数】
0.5
12. 将一元二次方程 $2x^{2}-(m+1)x+1=x(x-1)$ 化成一般形式后,二次项系数为1,一次项系数为 -1 ,则 m 的值为
$1$
.答案
12. 1 解析：将方程$2x^2-(m+1)x+1=x(x-1)$化成一般形式为$x^2-mx+1=0$，根据题意，得$-m=-1$，$\therefore m=1$。
解析
【分析】要解决这道题，需先将给定的一元二次方程整理为一般形式（$ax^2+bx+c=0$，$a≠0$），再根据题目给出的二次项系数、一次项系数的条件，建立关于$m$的方程，进而求出$m$的值。具体步骤为：先展开方程右边的式子，再移项合并同类项得到一般式，最后对应系数列方程求解。
【解析】解：先展开原方程右边的式子：
原方程：$2x^2 - (m+1)x + 1 = x(x-1)$
右边展开得：$x^2 - x$
移项并合并同类项，将所有项移到左边：
$2x^2 - (m+1)x +1 - x^2 + x = 0$
整理得一元二次方程的一般形式：$x^2 - mx +1 =0$
根据题意，一次项系数为$-1$，即$-m = -1$，解得$m=1$。
【答案】1
【知识点】一元二次方程的一般形式，系数的确定
【点评】本题属于一元二次方程的基础题型，核心是掌握一元二次方程一般形式的整理方法，通过对应系数建立方程求解，难度较低，适合巩固基础。
【难度系数】0.6
【解析】解：先展开原方程右边的式子：
原方程：$2x^2 - (m+1)x + 1 = x(x-1)$
右边展开得：$x^2 - x$
移项并合并同类项，将所有项移到左边：
$2x^2 - (m+1)x +1 - x^2 + x = 0$
整理得一元二次方程的一般形式：$x^2 - mx +1 =0$
根据题意，一次项系数为$-1$，即$-m = -1$，解得$m=1$。
【答案】1
【知识点】一元二次方程的一般形式，系数的确定
【点评】本题属于一元二次方程的基础题型，核心是掌握一元二次方程一般形式的整理方法，通过对应系数建立方程求解，难度较低，适合巩固基础。
【难度系数】0.6
13. 若关于$x$的一元二次方程$(3a-6)x^{2}+(a^{2}-4)x+a+9=0$没有一次项,则$a$的值为
$-2$
.答案
13. $-2$ 解析：根据题意，得$a^2-4=0$且$3a-6≠0$，解得$a=-2$。
解析
【分析】
要解决这个问题，需明确两个核心条件：一是该方程为一元二次方程，因此二次项系数不能为0；二是方程没有一次项，意味着一次项系数为0。需同时满足这两个条件，才能求出符合要求的a值。
【解析】
根据题意，方程没有一次项，故一次项系数为0，即：
$a^2 - 4 = 0$
同时，该方程是一元二次方程，二次项系数不能为0，即：
$3a - 6 ≠ 0$
解$a^2 - 4 = 0$，得$a = 2$或$a = -2$；
解$3a - 6 ≠ 0$，得$a ≠ 2$；
综合两个条件，a只能取$-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
一元二次方程的定义，一次项系数的性质
【点评】
本题考查一元二次方程的基本概念，易错点是忽略二次项系数不为0的条件，需同时满足一次项系数为0和二次项系数不为0两个要求，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需明确两个核心条件：一是该方程为一元二次方程，因此二次项系数不能为0；二是方程没有一次项，意味着一次项系数为0。需同时满足这两个条件，才能求出符合要求的a值。
【解析】
根据题意，方程没有一次项，故一次项系数为0，即：
$a^2 - 4 = 0$
同时，该方程是一元二次方程，二次项系数不能为0，即：
$3a - 6 ≠ 0$
解$a^2 - 4 = 0$，得$a = 2$或$a = -2$；
解$3a - 6 ≠ 0$，得$a ≠ 2$；
综合两个条件，a只能取$-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
一元二次方程的定义，一次项系数的性质
【点评】
本题考查一元二次方程的基本概念，易错点是忽略二次项系数不为0的条件，需同时满足一次项系数为0和二次项系数不为0两个要求，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
14. 已知$a$是方程$x^{2}-2026x+1=0$的一个根,则$a^{2}-2025a+\dfrac{2026}{a^{2}+1}$的值为
$2025$
.答案
14. 2025 解析：$\because a$是方程$x^2-2026x+1=0$的一个根，$\therefore a^2-2026a+1=0$，$\therefore a^2+1=2026a$，$a^2-2025a=a-1$，$\therefore a^2-2025a+\dfrac{2026}{a^2+1}=a-1+\dfrac{2026}{2026a}=a+\dfrac{1}{a}-1=\dfrac{a^2+1}{a}-1=\dfrac{2026a}{a}-1=2026-1=2025$。
解析
【分析】
首先，根据一元二次方程根的定义，将根$a$代入已知方程得到关于$a$的等式，再利用该等式对所求代数式进行变形替换，将高次项转化为低次项，同时处理分式部分，逐步化简后计算结果。具体步骤：1. 代入方程得到$a^2 -2026a +1=0$；2. 变形得到$a^2+1=2026a$和$a^2-2025a=a-1$；3. 将变形结果代入所求代数式，化简后计算。
【解析】
解：
∵$a$是方程$x^2 -2026x +1=0$的一个根，
∴将$x=a$代入方程得：$a^2 -2026a +1=0$，
∴$a^2 +1=2026a$，且$a^2 -2025a = a^2 -2026a +a = (a^2 -2026a) +a = -1 +a = a -1$。
将上述结果代入所求代数式：
$a^2 -2025a +\dfrac{2026}{a^2 +1} = (a -1) + \dfrac{2026}{2026a} = a -1 + \dfrac{1}{a} = \dfrac{a^2 +1}{a} -1 = \dfrac{2026a}{a} -1 = 2026 -1 = 2025$。
【答案】
2025
【知识点】
一元二次方程的根，代数式化简求值
【点评】
本题利用一元二次方程根的定义，通过等式变形对所求代数式进行降次化简，避免了直接求解方程的繁琐过程，是代数式求值的典型题型，考查学生对根的定义的理解和代数式变形能力。
【难度系数】
0.6
首先，根据一元二次方程根的定义，将根$a$代入已知方程得到关于$a$的等式，再利用该等式对所求代数式进行变形替换，将高次项转化为低次项，同时处理分式部分，逐步化简后计算结果。具体步骤：1. 代入方程得到$a^2 -2026a +1=0$；2. 变形得到$a^2+1=2026a$和$a^2-2025a=a-1$；3. 将变形结果代入所求代数式，化简后计算。
【解析】
解：
∵$a$是方程$x^2 -2026x +1=0$的一个根，
∴将$x=a$代入方程得：$a^2 -2026a +1=0$，
∴$a^2 +1=2026a$，且$a^2 -2025a = a^2 -2026a +a = (a^2 -2026a) +a = -1 +a = a -1$。
将上述结果代入所求代数式：
$a^2 -2025a +\dfrac{2026}{a^2 +1} = (a -1) + \dfrac{2026}{2026a} = a -1 + \dfrac{1}{a} = \dfrac{a^2 +1}{a} -1 = \dfrac{2026a}{a} -1 = 2026 -1 = 2025$。
【答案】
2025
【知识点】
一元二次方程的根，代数式化简求值
【点评】
本题利用一元二次方程根的定义，通过等式变形对所求代数式进行降次化简，避免了直接求解方程的繁琐过程，是代数式求值的典型题型，考查学生对根的定义的理解和代数式变形能力。
【难度系数】
0.6
15. 关于 $x$ 的一元二次方程 $2(x-1)^2 + b(x-1) + c = 0$ 化成一般形式是 $2x^2 - 3x - 1 = 0$, 试求$b$、$c$ 的值.
答案
15. 整理原方程，得$2x^2+(b-4)x+2-b+c=0$，$\therefore b-4=-3$，$2-b+c=-1$，解得$b=1$，$c=-2$。
解析
【分析】
要解决这个问题，需先将原方程展开化为一元二次方程的一般形式，再根据两个一般形式的方程对应项系数相等，列出关于$b$、$c$的方程，进而求解。核心思路是利用一元二次方程一般形式中各项系数唯一的特点，通过对应系数相等建立等式。
【解析】
1. 先将原方程展开并整理为一般形式：
原方程为$2(x-1)^2 + b(x-1) + c = 0$，
展开$2(x-1)^2 = 2(x^2 - 2x + 1) = 2x^2 - 4x + 2$，
展开$b(x-1) = bx - b$，
合并同类项得：$2x^2 - 4x + 2 + bx - b + c = 2x^2 + (b - 4)x + (2 - b + c)$。
2. 对比已知的一般形式$2x^2 - 3x - 1 = 0$，对应项系数相等：
一次项系数：$b - 4 = -3$，
常数项：$2 - b + c = -1$。
3. 解方程求$b$、$c$：
由$b - 4 = -3$，解得$b = 1$；
将$b = 1$代入$2 - b + c = -1$，得$2 - 1 + c = -1$，解得$c = -2$。
【答案】
$b=1$，$c=-2$
【知识点】
一元二次方程一般形式、多项式展开合并同类项
【点评】
本题考查一元二次方程一般形式的应用，关键是利用对应项系数相等建立方程，属于基础题型，侧重对概念的理解和基本运算能力的考查。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，需先将原方程展开化为一元二次方程的一般形式，再根据两个一般形式的方程对应项系数相等，列出关于$b$、$c$的方程，进而求解。核心思路是利用一元二次方程一般形式中各项系数唯一的特点，通过对应系数相等建立等式。
【解析】
1. 先将原方程展开并整理为一般形式：
原方程为$2(x-1)^2 + b(x-1) + c = 0$，
展开$2(x-1)^2 = 2(x^2 - 2x + 1) = 2x^2 - 4x + 2$，
展开$b(x-1) = bx - b$，
合并同类项得：$2x^2 - 4x + 2 + bx - b + c = 2x^2 + (b - 4)x + (2 - b + c)$。
2. 对比已知的一般形式$2x^2 - 3x - 1 = 0$，对应项系数相等：
一次项系数：$b - 4 = -3$，
常数项：$2 - b + c = -1$。
3. 解方程求$b$、$c$：
由$b - 4 = -3$，解得$b = 1$；
将$b = 1$代入$2 - b + c = -1$，得$2 - 1 + c = -1$，解得$c = -2$。
【答案】
$b=1$，$c=-2$
【知识点】
一元二次方程一般形式、多项式展开合并同类项
【点评】
本题考查一元二次方程一般形式的应用，关键是利用对应项系数相等建立方程，属于基础题型，侧重对概念的理解和基本运算能力的考查。
【难度系数】
0.7
16. 定义:已知关于 $x$ 的方程 $a_1x^2+b_1x+c_1=0(a_1≠0,a_1、b_1、c_1$ 是常数) 与 $a_2x^2+b_2x+c_2=0$($a_2≠0,a_2、b_2、c_2$ 是常数),如果两个方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足$a_1+a_2=0,b_1=b_2,c_1+c_2=0$,那么这两个方程互为“对称方程”.例如:求方程 $2x^2-3x+$$1=0$ 的“对称方程”,可以这样思考:由方程 $2x^2-3x+1=0$ 可知 $a_1=2,b_1=-3,c_1=1$,根据 $a_1+a_2=0,b_1=b_2,c_1+c_2=0$ 分别求出 $a_2、b_2、c_2$,从而确定这个方程的“对称方程”.
请用以上方法解决下列问题:
(1)方程 $x^2-4x+3=0$ 的“对称方程”是
(2)若关于 $x$ 的方程 $5x^2+(m-1)x-n=0$ 与 $-5x^2-x=1$ 互为“对称方程”,求 $(m+n)^2$ 的值.
请用以上方法解决下列问题:
(1)方程 $x^2-4x+3=0$ 的“对称方程”是
$-x^2-4x-3=0$
.(2)若关于 $x$ 的方程 $5x^2+(m-1)x-n=0$ 与 $-5x^2-x=1$ 互为“对称方程”,求 $(m+n)^2$ 的值.
答案
16. (1)$-x^2-4x-3=0$
(2)将方程$-5x^2-x=1$整理，得$-5x^2-x-1=0$。
$\because$方程$5x^2+(m-1)x-n=0$与$-5x^2-x-1=0$互为“对称方程”，$\therefore m-1=-1$，$-n+(-1)=0$，解得$m=0$，$n=-1$，$\therefore (m+n)^2=(0-1)^2=1$。
(2)将方程$-5x^2-x=1$整理，得$-5x^2-x-1=0$。
$\because$方程$5x^2+(m-1)x-n=0$与$-5x^2-x-1=0$互为“对称方程”，$\therefore m-1=-1$，$-n+(-1)=0$，解得$m=0$，$n=-1$，$\therefore (m+n)^2=(0-1)^2=1$。
解析
【分析】
首先明确“对称方程”的定义：若两个一元二次方程满足二次项系数和为0、一次项系数相等、常数项和为0，则互为对称方程。解题时，先确定已知方程的各项系数，再根据定义求出对应对称方程的系数；对于第二问，需先将方程整理为标准形式，再利用对称方程的系数关系列方程求解m、n，最后计算目标式的值。
【解析】
(1) 对于方程$x^2 -4x +3=0$，其二次项系数$a_1=1$，一次项系数$b_1=-4$，常数项$c_1=3$。根据对称方程定义：
$a_1+a_2=0⇒ a_2=-1$，$b_1=b_2⇒ b_2=-4$，$c_1+c_2=0⇒ c_2=-3$，
因此对称方程为$-x^2 -4x -3=0$。
(2) 先将方程$-5x^2 -x=1$整理为标准形式：$-5x^2 -x -1=0$，其二次项系数$a_2=-5$，一次项系数$b_2=-1$，常数项$c_2=-1$。
已知方程$5x^2+(m-1)x -n=0$的二次项系数$a_1=5$，一次项系数$b_1=m-1$，常数项$c_1=-n$，根据对称方程定义：
$b_1=b_2⇒ m-1=-1$，解得$m=0$；
$c_1 + c_2=0⇒ (-n)+(-1)=0$，解得$n=-1$；
则$(m+n)^2=(0-1)^2=1$。
【答案】
(1)$-x^2-4x-3=0$；(2)$1$
【知识点】
一元二次方程、新定义运算
【点评】
本题为新定义题型，核心是准确理解“对称方程”的系数关系，解题时需注意将方程整理为标准形式，避免系数对应错误，整体难度较低，只要掌握定义即可顺利解答。
【难度系数】
0.6
首先明确“对称方程”的定义：若两个一元二次方程满足二次项系数和为0、一次项系数相等、常数项和为0，则互为对称方程。解题时，先确定已知方程的各项系数，再根据定义求出对应对称方程的系数；对于第二问，需先将方程整理为标准形式，再利用对称方程的系数关系列方程求解m、n，最后计算目标式的值。
【解析】
(1) 对于方程$x^2 -4x +3=0$，其二次项系数$a_1=1$，一次项系数$b_1=-4$，常数项$c_1=3$。根据对称方程定义：
$a_1+a_2=0⇒ a_2=-1$，$b_1=b_2⇒ b_2=-4$，$c_1+c_2=0⇒ c_2=-3$，
因此对称方程为$-x^2 -4x -3=0$。
(2) 先将方程$-5x^2 -x=1$整理为标准形式：$-5x^2 -x -1=0$，其二次项系数$a_2=-5$，一次项系数$b_2=-1$，常数项$c_2=-1$。
已知方程$5x^2+(m-1)x -n=0$的二次项系数$a_1=5$，一次项系数$b_1=m-1$，常数项$c_1=-n$，根据对称方程定义：
$b_1=b_2⇒ m-1=-1$，解得$m=0$；
$c_1 + c_2=0⇒ (-n)+(-1)=0$，解得$n=-1$；
则$(m+n)^2=(0-1)^2=1$。
【答案】
(1)$-x^2-4x-3=0$；(2)$1$
【知识点】
一元二次方程、新定义运算
【点评】
本题为新定义题型，核心是准确理解“对称方程”的系数关系，解题时需注意将方程整理为标准形式，避免系数对应错误，整体难度较低，只要掌握定义即可顺利解答。
【难度系数】
0.6
