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7 [2025 青岛]如图,四边形 $ABCD$ 是$\odot O$ 的内接四边形,$∠ ADC=90°,DC=BC$,直线 $EA$ 与$\odot O$ 相切于点$A$.若$∠ BCD=128°$,则$∠ DAE$ 的度数为（
A.$52°$
B.$54°$
C.$64°$
D.$74°$
C
）A.$52°$
B.$54°$
C.$64°$
D.$74°$
答案
7. C
8 新考向 条件开放题 如图, $C D$ 是 $\odot O$ 的直径, $B D$ 是 $\odot O$ 的弦, 延长 $D C$ 到点 $A$, 使 $∠ A B D=120°$,连接 $B C$. 有下列条件: ① $A C=B C$; ② $A C=O C$; ③ $O C=B C$; ④ $A B=B D$. 从中添加一个条件,能使 $A B$ 是 $\odot O$ 的切线的为
①②③④
(填序号).答案
8. ①②③④
9 [2025 湖北]如图,$\odot O$是$△ ABC$的外接圆,$∠ BAC=45°$.过点$O$作$DF⊥ AB$,垂足为$E$,交$AC$于点$D$,交$\odot O$于点$F$.过点$F$作$\odot O$的切线,交$CA$的延长线于点$G$.
(1) 求证:$FD=FG$;
(2) 若$AB=12$,$FG=10$,求$\odot O$的半径.
(1) 求证:$FD=FG$;
(2) 若$AB=12$,$FG=10$,求$\odot O$的半径.
答案
9. (1)$\because GF$是$\odot O$的切线，$\therefore DF⊥ GF$，$\therefore ∠ DFG=90°$.$\because DF⊥ AB$，$\therefore ∠ AED=∠ DFG=90°$，$\therefore AB// GF$，$\therefore ∠ G=∠ BAC=45°$，$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ DFG$中，$∠ FDG=90°-45°=45°$，$\therefore ∠ G=∠ FDG$，$\therefore FD=FG$
(2) 如图，连接$OA$.$\because DF⊥ AB$，$DF$过圆心$O$，$\therefore AE=BE=\dfrac{1}{2}AB=6$.$\because ∠ AED=90°$，$∠ BAC=45°$，$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ AED$中，$∠ ADE=90°-45°=45°$，$\therefore ∠ ADE=∠ BAC$，$\therefore EA=ED=6$.$\because FG=10$，$\therefore FD=FG=10$，$\therefore EF=DF-DE=10-6=4$.设$OE=x$，则$OF=OE+EF=x+4=OA$.$\because \mathrm{Rt}△ AOE$中，$OA^2=AE^2+OE^2$，$\therefore (x+4)^2=6^2+x^2$，解得$x=\dfrac{5}{2}$，$\therefore OF=x+4=\dfrac{13}{2}$，$\therefore \odot O$的半径为$\dfrac{13}{2}$
(2) 如图，连接$OA$.$\because DF⊥ AB$，$DF$过圆心$O$，$\therefore AE=BE=\dfrac{1}{2}AB=6$.$\because ∠ AED=90°$，$∠ BAC=45°$，$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ AED$中，$∠ ADE=90°-45°=45°$，$\therefore ∠ ADE=∠ BAC$，$\therefore EA=ED=6$.$\because FG=10$，$\therefore FD=FG=10$，$\therefore EF=DF-DE=10-6=4$.设$OE=x$，则$OF=OE+EF=x+4=OA$.$\because \mathrm{Rt}△ AOE$中，$OA^2=AE^2+OE^2$，$\therefore (x+4)^2=6^2+x^2$，解得$x=\dfrac{5}{2}$，$\therefore OF=x+4=\dfrac{13}{2}$，$\therefore \odot O$的半径为$\dfrac{13}{2}$
10 [2025 资阳]如图,$\odot O$ 是$△ ABC$ 的外接圆,$AB$ 是$\odot O$ 的直径,$∠ BAC$ 的平分线交$\odot O$ 于点 $D$,过点 $D$ 作 $BC$ 的平行线,交 $AC$ 的延长线于点 $E$.
(1) 求证:$DE$ 是$\odot O$ 的切线;
(2) 若$∠ BAC=60°,CE=\sqrt{3}$,求$\odot O$ 的半径.
(1) 求证:$DE$ 是$\odot O$ 的切线;
(2) 若$∠ BAC=60°,CE=\sqrt{3}$,求$\odot O$ 的半径.
答案
10. (1) 如图，连接$OD$.$\because OD=OA$，$\therefore ∠ ODA=∠ BAD$.$\because ∠ BAC$的平分线交$\odot O$于点$D$，$\therefore ∠ CAD=∠ BAD$，$\therefore ∠ ODA=∠ CAD$，$\therefore OD// AC$，$\therefore ∠ ODE+∠ E=180°$.$\because AB$是$\odot O$的直径，$\therefore ∠ ACB=90°$.$\because DE// BC$，$\therefore ∠ E=∠ ACB=90°$，$\therefore ∠ ODE=180°-∠ E=90°$，即$DE⊥ OD$.$\because OD$是$\odot O$的半径，$\therefore DE$是$\odot O$的切线
(2) 如图，连接$BD$，设$OD$交$BC$于点$F$.$\because ∠ ACB=90°$，$∠ ACE=180°$，$\therefore ∠ FCE=90°$.$\because ∠ ODE=∠ E=90°$，$\therefore$四边形$CEDF$是矩形，$\therefore DF=CE=\sqrt{3}$，$∠ CFD=90°$，即$BF⊥ OD$.$\because OD// AC$，$\therefore ∠ BOD=∠ BAC=60°$.$\because OD=OB$，$\therefore △ DOB$是等边三角形，$\therefore OB=DB$，$\therefore OD=2DF=2\sqrt{3}$，即$\odot O$的半径是$2\sqrt{3}$
(2) 如图，连接$BD$，设$OD$交$BC$于点$F$.$\because ∠ ACB=90°$，$∠ ACE=180°$，$\therefore ∠ FCE=90°$.$\because ∠ ODE=∠ E=90°$，$\therefore$四边形$CEDF$是矩形，$\therefore DF=CE=\sqrt{3}$，$∠ CFD=90°$，即$BF⊥ OD$.$\because OD// AC$，$\therefore ∠ BOD=∠ BAC=60°$.$\because OD=OB$，$\therefore △ DOB$是等边三角形，$\therefore OB=DB$，$\therefore OD=2DF=2\sqrt{3}$，即$\odot O$的半径是$2\sqrt{3}$
