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1[2026湖南衡阳期末,较难]综合与实践
在数学综合与实践课上,老师以“出行方式的选择”为主题,请同学们发现和提出问题,并分析和解决问题.
【问题情境】
随着互联网的普及和城市交通的多样化,人们出行的时间与方式有了更多的选择. 某市有出租车、快车和专车三种网约车,收费标准如表所示(该市规定网约车行驶的平均速度为40千米/时).
问题一
“奋进小组”提出的问题是如果乘坐这三种网约车的里程数都是10千米,他们发现乘坐出租车最省钱,费用为
问题二
“质疑小组”提出了两个问题,请从A,B两个问题中任选一个作答.
A.从甲地到乙地,乘坐出租车比快车节省13.6元,求甲、乙两地间的里程数.
B.专车和快车对第一次下单的乘客有如下优惠活动:专车收费打八折,另外加5.3元的空车费;快车超过8千米收费立减6.5元.如果两位乘客都是第一次下单,分别乘坐专车、快车且里程数和收费均相同,求这两位乘客乘车的里程数.
在数学综合与实践课上,老师以“出行方式的选择”为主题,请同学们发现和提出问题,并分析和解决问题.
【问题情境】
随着互联网的普及和城市交通的多样化,人们出行的时间与方式有了更多的选择. 某市有出租车、快车和专车三种网约车,收费标准如表所示(该市规定网约车行驶的平均速度为40千米/时).
问题一
“奋进小组”提出的问题是如果乘坐这三种网约车的里程数都是10千米,他们发现乘坐出租车最省钱,费用为
30.8
元.问题二
“质疑小组”提出了两个问题,请从A,B两个问题中任选一个作答.
A.从甲地到乙地,乘坐出租车比快车节省13.6元,求甲、乙两地间的里程数.
B.专车和快车对第一次下单的乘客有如下优惠活动:专车收费打八折,另外加5.3元的空车费;快车超过8千米收费立减6.5元.如果两位乘客都是第一次下单,分别乘坐专车、快车且里程数和收费均相同,求这两位乘客乘车的里程数.
答案
问题一:由题意得,乘坐出租车的费用为14+2.4×(10-3)=30.8(元).故答案为30.8.
问题二:
A. 当甲、乙两地间的里程数不大于3千米时,乘坐快车的费用不超过 12+2.5×3+$\frac{3}{40}$×60×0.4=21.3(元),而出租车的起步价为14元,此时不满足从甲地到乙地,乘坐出租车比快车节省13.6元,所以甲、乙两地间的里程数一定超过3千米.
设甲、乙两地间的里程数为 x 千米. 由题意得,14+2.4(x-3)+13.6=12+2.5x+$\frac{x}{40}$×60×0.4,解得 x = 12,所以甲、乙两地间的里程数为12千米.
B. 设这两位乘客乘车的里程数为 m 千米.
①若 m ≤ 8,则 0. 8$(10+2.8m+0.5×\frac{m}{40}×60)$ +5. 3 = 12+2. 5m+0. 4×$\frac{m}{40}$×60,解得 m = 5.
②若 m ＞ 8,则 0. 8$(10+2.8m+0.5×\frac{m}{40}×60)$ +5. 3 = 12+2. 5m+0. 4×$\frac{m}{40}$×60-6. 5,解得 m = 30.
答:这两位乘客乘车的里程数为 5 千米或 30 千米.(任选 A 和 B 其中一个作答即可)
问题二:
A. 当甲、乙两地间的里程数不大于3千米时,乘坐快车的费用不超过 12+2.5×3+$\frac{3}{40}$×60×0.4=21.3(元),而出租车的起步价为14元,此时不满足从甲地到乙地,乘坐出租车比快车节省13.6元,所以甲、乙两地间的里程数一定超过3千米.
设甲、乙两地间的里程数为 x 千米. 由题意得,14+2.4(x-3)+13.6=12+2.5x+$\frac{x}{40}$×60×0.4,解得 x = 12,所以甲、乙两地间的里程数为12千米.
B. 设这两位乘客乘车的里程数为 m 千米.
①若 m ≤ 8,则 0. 8$(10+2.8m+0.5×\frac{m}{40}×60)$ +5. 3 = 12+2. 5m+0. 4×$\frac{m}{40}$×60,解得 m = 5.
②若 m ＞ 8,则 0. 8$(10+2.8m+0.5×\frac{m}{40}×60)$ +5. 3 = 12+2. 5m+0. 4×$\frac{m}{40}$×60-6. 5,解得 m = 30.
答:这两位乘客乘车的里程数为 5 千米或 30 千米.(任选 A 和 B 其中一个作答即可)
2[2026辽宁大连期中,较难]【问题背景】
数学活动课上,王老师带领同学们探究月历中的奥秘.将如图(1)的2025年10月的月历复印给同学们,以小组为单位进行探究.
【探究一】
(1)第一小组的同学们设计了一个如图(2)的U形框,若U形框覆盖的五个数的和为91,求这五个数中最小的数.
【探究二】
(2)第二小组的同学们设计了如图(3)的Z形框,设Z形框覆盖的五个数从小到大依次为$t_1,t_2,t_3,t_4,t_5$,求$t_1-2t_2-3t_3-5t_4+9t_5$的值.
【探究三】
(3)第三小组的同学们设计了如图(4)、图(5)的十字形框和H形框,设十字形框的中心数为$a$,覆盖的五个数的和为$m$;H形框的中心数为$b$,覆盖的七个数的和为$n$,若$m=n$,求$a$的值.
数学活动课上,王老师带领同学们探究月历中的奥秘.将如图(1)的2025年10月的月历复印给同学们,以小组为单位进行探究.
【探究一】
(1)第一小组的同学们设计了一个如图(2)的U形框,若U形框覆盖的五个数的和为91,求这五个数中最小的数.
【探究二】
(2)第二小组的同学们设计了如图(3)的Z形框,设Z形框覆盖的五个数从小到大依次为$t_1,t_2,t_3,t_4,t_5$,求$t_1-2t_2-3t_3-5t_4+9t_5$的值.
【探究三】
(3)第三小组的同学们设计了如图(4)、图(5)的十字形框和H形框,设十字形框的中心数为$a$,覆盖的五个数的和为$m$;H形框的中心数为$b$,覆盖的七个数的和为$n$,若$m=n$,求$a$的值.
答案
(1)设这五个数中最小的数为 x,则另外四个数分别为 x+7,x+8,x+9,x+2. 根据题意得,x+x+7+x+8+x+9+x+2 = 91,解得 x = 13,所以这五个数中最小的数为 13.
(2)因为 Z 形框覆盖的五个数从小到大依次为$t_1,t_2,t_3,t_4,t_5$,所以设$t_3 = t$,则$t_1 = t-8,t_2 = t-7,t_4 = t+7,t_5 = t+8$,可得$t_1-2t_2-3t_3-5t_4+9t_5 = t-8-2(t-7)-3t-5(t+7)+9(t+8) = t-8-2t+14-3t-5t-35+9t+72 = 43$.
(3)因为十字形框的中心数为 a,则另外四个数分别为 a-7,a-1,a+1,a+7,所以 m = a+a-7+a-1+a+1+a+7 = 5a. 因为 H 形框的中心数为 b,则另外六个数分别为 b-8,b-1,b+6,b+1,b-6,b+8,所以 n = b+b-8+b-1+b+6+b+1+b-6+b+8 = 7b. 因为 m = n,所以 5a = 7b,所以$a=\frac{7}{5}b$. 因为 a,b 都是正整数,所以 b 是 5 的倍数. 当 b = 5 时,因为 5 在月历表的最左侧一列,不能为 H 形框的中心数,舍去;当 b = 10 时,$a=\frac{7}{5}×10=14$,a,b 都符合;当 b = 15 时,$a=\frac{7}{5}×15=21$,a,b 都符合;当 b = 20 时,$a=\frac{7}{5}×20=28$. 因为 28 在月历表的最下面一行,不能为十字形框的中心数,舍去. 同理可得,当 b = 25 或 b = 30 时,都不符合题意,舍去.
综上所述,a 的值为 14 或 21.
(2)因为 Z 形框覆盖的五个数从小到大依次为$t_1,t_2,t_3,t_4,t_5$,所以设$t_3 = t$,则$t_1 = t-8,t_2 = t-7,t_4 = t+7,t_5 = t+8$,可得$t_1-2t_2-3t_3-5t_4+9t_5 = t-8-2(t-7)-3t-5(t+7)+9(t+8) = t-8-2t+14-3t-5t-35+9t+72 = 43$.
(3)因为十字形框的中心数为 a,则另外四个数分别为 a-7,a-1,a+1,a+7,所以 m = a+a-7+a-1+a+1+a+7 = 5a. 因为 H 形框的中心数为 b,则另外六个数分别为 b-8,b-1,b+6,b+1,b-6,b+8,所以 n = b+b-8+b-1+b+6+b+1+b-6+b+8 = 7b. 因为 m = n,所以 5a = 7b,所以$a=\frac{7}{5}b$. 因为 a,b 都是正整数,所以 b 是 5 的倍数. 当 b = 5 时,因为 5 在月历表的最左侧一列,不能为 H 形框的中心数,舍去;当 b = 10 时,$a=\frac{7}{5}×10=14$,a,b 都符合;当 b = 15 时,$a=\frac{7}{5}×15=21$,a,b 都符合;当 b = 20 时,$a=\frac{7}{5}×20=28$. 因为 28 在月历表的最下面一行,不能为十字形框的中心数,舍去. 同理可得,当 b = 25 或 b = 30 时,都不符合题意,舍去.
综上所述,a 的值为 14 或 21.
