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例4(2024·东阳)若两个不相等的实数$m,n$满足$m^2 - 6m = 4,n^2 - 4 = 6n$,则$mn$的值为 （
A.$6$
B.$-6$
C.$4$
D.$-4$
D
）A.$6$
B.$-6$
C.$4$
D.$-4$
答案
D
解析
【分析】首先将已知的两个等式变形为标准一元二次方程，判断出m、n是该方程的两个不相等实根，再利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）计算mn的值。
【解析】对已知等式整理：
对于m：由$m^2 -6m =4$，移项得$m^2 -6m -4=0$；
对于n：由$n^2 -4=6n$，移项得$n^2 -6n -4=0$；
因为m、n是不相等的实数，所以m、n是一元二次方程$x^2 -6x -4=0$的两个不相等实根。
根据韦达定理，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根之积为$\frac{c}{a}$，此处$a=1$，$c=-4$，因此$mn=\frac{-4}{1}=-4$。
【答案】D
【知识点】一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解
【点评】本题核心是通过等式变形发现m、n对应同一一元二次方程的根，利用韦达定理快速求解，无需直接求根，简化计算过程。
【难度系数】0.5
【解析】对已知等式整理：
对于m：由$m^2 -6m =4$，移项得$m^2 -6m -4=0$；
对于n：由$n^2 -4=6n$，移项得$n^2 -6n -4=0$；
因为m、n是不相等的实数，所以m、n是一元二次方程$x^2 -6x -4=0$的两个不相等实根。
根据韦达定理，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根之积为$\frac{c}{a}$，此处$a=1$，$c=-4$，因此$mn=\frac{-4}{1}=-4$。
【答案】D
【知识点】一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解
【点评】本题核心是通过等式变形发现m、n对应同一一元二次方程的根，利用韦达定理快速求解，无需直接求根，简化计算过程。
【难度系数】0.5
7.(2024·杭州拱墅)方程$x(x-2)=0$的两个根的和是 （
A.－2
B.0
C.2
D.4
C
）A.－2
B.0
C.2
D.4
答案
7.C
解析
【分析】要计算方程$x(x-2)=0$的两个根的和，可通过两种思路：一是先求出方程的两个根，再求和；二是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）直接计算两根之和，两种方法均能快速得出结果。
【解析】
方法一：因式分解法解方程
方程$x(x-2)=0$，根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得：
$x=0$ 或 $x-2=0$，
解得两个根为$x_1=0$，$x_2=2$，
则两根之和为$0+2=2$。
方法二：韦达定理法
将方程$x(x-2)=0$化为一元二次方程一般形式：$x^2 - 2x = 0$，
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，
根据韦达定理，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，
因此两根之和为$-\frac{-2}{1}=2$。
【答案】C
【知识点】一元二次方程的解法、根与系数的关系
【点评】本题为一元二次方程的基础题型，考查因式分解法解方程或韦达定理的应用，难度较低，学生易掌握。
【难度系数】0.8
【解析】
方法一：因式分解法解方程
方程$x(x-2)=0$，根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得：
$x=0$ 或 $x-2=0$，
解得两个根为$x_1=0$，$x_2=2$，
则两根之和为$0+2=2$。
方法二：韦达定理法
将方程$x(x-2)=0$化为一元二次方程一般形式：$x^2 - 2x = 0$，
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，
根据韦达定理，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，
因此两根之和为$-\frac{-2}{1}=2$。
【答案】C
【知识点】一元二次方程的解法、根与系数的关系
【点评】本题为一元二次方程的基础题型，考查因式分解法解方程或韦达定理的应用，难度较低，学生易掌握。
【难度系数】0.8
8.(2024·宁波北仑)
(1)已知一元二次方程$ax^2+bx+c=0$($a,b,c$为常数，$a≠0$)的两个实数解为$x_1,x_2$，则有$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$，$x_1· x_2=\dfrac{c}{a}$。这个结论在课本上称为一元二次方程根与系数的关系，是法国数学家韦达发现的，人们又称它为“韦达定理”。请你证明这个定理。
(2)若一元二次方程$3x^2-9x-8=0$的两个实数解为$x_1,x_2$，求$3x_1^2+9x_2+5$的值。
(1)已知一元二次方程$ax^2+bx+c=0$($a,b,c$为常数，$a≠0$)的两个实数解为$x_1,x_2$，则有$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$，$x_1· x_2=\dfrac{c}{a}$。这个结论在课本上称为一元二次方程根与系数的关系，是法国数学家韦达发现的，人们又称它为“韦达定理”。请你证明这个定理。
(2)若一元二次方程$3x^2-9x-8=0$的两个实数解为$x_1,x_2$，求$3x_1^2+9x_2+5$的值。
答案
8.(1)证明:由求根公式,可知$x_1=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a},x_2=\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$,所以$x_1+x_2=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\dfrac{-2b}{2a}=-\dfrac{b}{a}$;$x_1· x_2=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}·\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\dfrac{(-b)^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\dfrac{c}{a}$。
(2)解:因为$3x^2-9x-8=0$的两个实数解为$x_1,x_2$,所以$3x_1^2-9x_1-8=0$,即$3x_1^2=9x_1+8$,且有$x_1+x_2=3$,所以$3x_1^2+9x_2+5=9x_1+8+9x_2+5=9(x_1+x_2)+13=9×3+13=40$。
(2)解:因为$3x^2-9x-8=0$的两个实数解为$x_1,x_2$,所以$3x_1^2-9x_1-8=0$,即$3x_1^2=9x_1+8$,且有$x_1+x_2=3$,所以$3x_1^2+9x_2+5=9x_1+8+9x_2+5=9(x_1+x_2)+13=9×3+13=40$。
解析
【分析】
第(1)问需证明韦达定理，思路是利用一元二次方程的求根公式写出两个根的表达式，再分别计算两根之和与两根之积，通过代数化简得到对应公式；第(2)问求代数式的值，思路是先利用方程根的定义将x₁的二次式降次，再结合韦达定理得到两根之和，代入代数式化简计算。
【解析】
(1) 证明：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），由求根公式得两个根为：
$x_1=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
计算两根之和：
$x_1+x_2=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\dfrac{-2b}{2a}=-\dfrac{b}{a}$
计算两根之积：
$x_1·x_2=\dfrac{(-b+\sqrt{b^2-4ac})(-b-\sqrt{b^2-4ac})}{4a^2}=\dfrac{(-b)^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\dfrac{4ac}{4a^2}=\dfrac{c}{a}$
故韦达定理得证。
(2) 解：因为$x_1$是方程$3x^2-9x-8=0$的根，代入方程得$3x_1^2-9x_1-8=0$，变形得$3x_1^2=9x_1+8$。
根据韦达定理，方程$3x^2-9x-8=0$中，$x_1+x_2=\dfrac{9}{3}=3$。
将$3x_1^2=9x_1+8$代入所求代数式：
$3x_1^2+9x_2+5=9x_1+8+9x_2+5=9(x_1+x_2)+13=9×3+13=40$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) 40
【知识点】
韦达定理、一元二次方程的根、代数式求值
【点评】
本题考查韦达定理的证明与应用，证明依托求根公式化简，应用时结合方程根的定义降次，再用韦达定理简化计算，是初中一元二次方程的基础题型，需掌握公式的灵活运用。
【难度系数】
0.7
第(1)问需证明韦达定理，思路是利用一元二次方程的求根公式写出两个根的表达式，再分别计算两根之和与两根之积，通过代数化简得到对应公式；第(2)问求代数式的值，思路是先利用方程根的定义将x₁的二次式降次，再结合韦达定理得到两根之和，代入代数式化简计算。
【解析】
(1) 证明：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），由求根公式得两个根为：
$x_1=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
计算两根之和：
$x_1+x_2=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\dfrac{-2b}{2a}=-\dfrac{b}{a}$
计算两根之积：
$x_1·x_2=\dfrac{(-b+\sqrt{b^2-4ac})(-b-\sqrt{b^2-4ac})}{4a^2}=\dfrac{(-b)^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\dfrac{4ac}{4a^2}=\dfrac{c}{a}$
故韦达定理得证。
(2) 解：因为$x_1$是方程$3x^2-9x-8=0$的根，代入方程得$3x_1^2-9x_1-8=0$，变形得$3x_1^2=9x_1+8$。
根据韦达定理，方程$3x^2-9x-8=0$中，$x_1+x_2=\dfrac{9}{3}=3$。
将$3x_1^2=9x_1+8$代入所求代数式：
$3x_1^2+9x_2+5=9x_1+8+9x_2+5=9(x_1+x_2)+13=9×3+13=40$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) 40
【知识点】
韦达定理、一元二次方程的根、代数式求值
【点评】
本题考查韦达定理的证明与应用，证明依托求根公式化简，应用时结合方程根的定义降次，再用韦达定理简化计算，是初中一元二次方程的基础题型，需掌握公式的灵活运用。
【难度系数】
0.7
例5(2024·舟山定海)根据以下素材,解决问题。
素材1:某网红土豆,在2月份销售了10 000斤的基础上,3月份和4月份销售量持续增加,在4月份销售了12 100斤的土豆。
素材2:王伯准备去市场售卖自己种的小土豆,在2月份刚上市的时候售价为每斤8元,一天卖出40斤,之后因为土豆大量上市需要降价销售,若每斤降价1元,一天可以多卖出10斤。
(1)求素材1中每个月的平均增长率。
(2)若王伯想要当天收入350元,为兼顾顾客的利益,需降价多少元?
(3)王伯一天收入可以达到400元吗?请说明理由。
素材1:某网红土豆,在2月份销售了10 000斤的基础上,3月份和4月份销售量持续增加,在4月份销售了12 100斤的土豆。
素材2:王伯准备去市场售卖自己种的小土豆,在2月份刚上市的时候售价为每斤8元,一天卖出40斤,之后因为土豆大量上市需要降价销售,若每斤降价1元,一天可以多卖出10斤。
(1)求素材1中每个月的平均增长率。
(2)若王伯想要当天收入350元,为兼顾顾客的利益,需降价多少元?
(3)王伯一天收入可以达到400元吗?请说明理由。
答案
解:(1)设每个月的平均增长率为$x$。则由题意,得$10\ 000(1+x)^2=12\ 100$,解得$x=10\%$(负根已舍去)。答:每个月的平均增长率为10%。
(2)设需降价$a$元。则由题意,得$(8-a)×(40+10a)=350$,解得$a=3$或1(舍去)。答:需降价3元。
(3)不能。理由如下:令$(8-a)×(40+10a)=400$,得$a^2-4a+8=0$,由于$16-32=-16＜0$,所以方程无实数根。所以王伯一天收入不能达到400元。
(2)设需降价$a$元。则由题意,得$(8-a)×(40+10a)=350$,解得$a=3$或1(舍去)。答:需降价3元。
(3)不能。理由如下:令$(8-a)×(40+10a)=400$,得$a^2-4a+8=0$,由于$16-32=-16＜0$,所以方程无实数根。所以王伯一天收入不能达到400元。
解析
【分析】
本题为一元二次方程的实际应用问题，分三个小问逐步求解：
1. 第(1)问是增长率问题，已知2月和4月的销量，设月平均增长率为$x$，利用“增长后的量=增长前的量×(1+增长率)²”列方程，舍去不符合实际的负根即可；
2. 第(2)问是销售利润问题，当天收入=售价×销量，设降价$a$元，分别表示出降价后的售价和销量，列方程后结合“兼顾顾客利益”的条件，选择合适的解；
3. 第(3)问判断收入能否达到400元，假设能达到，列方程后通过计算一元二次方程的根的判别式，判断方程是否有实根，进而得出结论。
【解析】
(1) 设每个月的平均增长率为$x$，根据题意，2月销量为10000斤，4月销量为12100斤，经过2个月增长，可得方程：
$10000(1+x)^2 = 12100$
化简得：$(1+x)^2 = 1.21$
开方得：$1+x = ±1.1$
解得：$x_1 = 0.1 = 10\%$，$x_2 = -2.1$（增长率为负不符合实际，舍去）
答：每个月的平均增长率为10%。
(2) 设需降价$a$元，此时售价为$(8 - a)$元，销量为$(40 + 10a)$斤，当天收入为350元，可得方程：
$(8 - a)(40 + 10a) = 350$
展开整理得：$a^2 - 4a + 3 = 0$
因式分解得：$(a - 1)(a - 3) = 0$
解得：$a_1 = 1$，$a_2 = 3$
因为要兼顾顾客利益，降价越多对顾客越有利，所以舍去$a = 1$，取$a = 3$
答：需降价3元。
(3) 假设王伯一天收入可以达到400元，设降价$a$元，根据题意列方程：
$(8 - a)(40 + 10a) = 400$
展开整理得：$a^2 - 4a + 8 = 0$
计算判别式：$\Delta = (-4)^2 - 4×1×8 = -16 ＜ 0$
因为判别式小于0，该方程无实数根，说明不存在这样的降价金额使得当天收入达到400元。
答：王伯一天收入不能达到400元。
【答案】
(1) 每个月的平均增长率为10%；
(2) 需降价3元；
(3) 不能，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的典型题型，涵盖增长率、销售利润两类常见场景，需注意：①增长率问题中根的实际意义（舍去负根）；②销售问题中需结合题目要求合理取舍解；③判断能否达到某一数值时，利用根的判别式分析方程根的情况，体现数学与生活的结合，考查学生的应用能力。
【难度系数】
0.6
本题为一元二次方程的实际应用问题，分三个小问逐步求解：
1. 第(1)问是增长率问题，已知2月和4月的销量，设月平均增长率为$x$，利用“增长后的量=增长前的量×(1+增长率)²”列方程，舍去不符合实际的负根即可；
2. 第(2)问是销售利润问题，当天收入=售价×销量，设降价$a$元，分别表示出降价后的售价和销量，列方程后结合“兼顾顾客利益”的条件，选择合适的解；
3. 第(3)问判断收入能否达到400元，假设能达到，列方程后通过计算一元二次方程的根的判别式，判断方程是否有实根，进而得出结论。
【解析】
(1) 设每个月的平均增长率为$x$，根据题意，2月销量为10000斤，4月销量为12100斤，经过2个月增长，可得方程：
$10000(1+x)^2 = 12100$
化简得：$(1+x)^2 = 1.21$
开方得：$1+x = ±1.1$
解得：$x_1 = 0.1 = 10\%$，$x_2 = -2.1$（增长率为负不符合实际，舍去）
答：每个月的平均增长率为10%。
(2) 设需降价$a$元，此时售价为$(8 - a)$元，销量为$(40 + 10a)$斤，当天收入为350元，可得方程：
$(8 - a)(40 + 10a) = 350$
展开整理得：$a^2 - 4a + 3 = 0$
因式分解得：$(a - 1)(a - 3) = 0$
解得：$a_1 = 1$，$a_2 = 3$
因为要兼顾顾客利益，降价越多对顾客越有利，所以舍去$a = 1$，取$a = 3$
答：需降价3元。
(3) 假设王伯一天收入可以达到400元，设降价$a$元，根据题意列方程：
$(8 - a)(40 + 10a) = 400$
展开整理得：$a^2 - 4a + 8 = 0$
计算判别式：$\Delta = (-4)^2 - 4×1×8 = -16 ＜ 0$
因为判别式小于0，该方程无实数根，说明不存在这样的降价金额使得当天收入达到400元。
答：王伯一天收入不能达到400元。
【答案】
(1) 每个月的平均增长率为10%；
(2) 需降价3元；
(3) 不能，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的典型题型，涵盖增长率、销售利润两类常见场景，需注意：①增长率问题中根的实际意义（舍去负根）；②销售问题中需结合题目要求合理取舍解；③判断能否达到某一数值时，利用根的判别式分析方程根的情况，体现数学与生活的结合，考查学生的应用能力。
【难度系数】
0.6
