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23. 通过对下面数学模型的研究学习,解决下列问题.
【模型呈现】
某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图(如图1,由外到内含三个正方形)中提炼出两个三角形全等模型图(如图2、图3),即“一线三等角”模型和“K字”模型.
【问题发现】
(1)如图2,△ABC中,CA= CB,∠ACB= 90°,一直线过顶点C,过A,B分别作其垂线,垂足分别为E,F,求证：△AEC≌△CFB.
(2)如图3,若改变直线的位置,其余条件与(1)相同,请写出EF,AE,BF之间的数量关系,并说明理由.
【问题提出】
(3)在(2)的条件下,若BF= 4AE,EF= 5,求△BFC的面积.
【模型呈现】
某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图(如图1,由外到内含三个正方形)中提炼出两个三角形全等模型图(如图2、图3),即“一线三等角”模型和“K字”模型.
【问题发现】
(1)如图2,△ABC中,CA= CB,∠ACB= 90°,一直线过顶点C,过A,B分别作其垂线,垂足分别为E,F,求证：△AEC≌△CFB.
(2)如图3,若改变直线的位置,其余条件与(1)相同,请写出EF,AE,BF之间的数量关系,并说明理由.
【问题提出】
(3)在(2)的条件下,若BF= 4AE,EF= 5,求△BFC的面积.
答案
(1)∵∠ACB=90°，∴∠ECA+∠FCB=90°，又∵AE⊥EF，BF⊥EF，∴∠AEC=∠BFC=90°，∴∠ECA+∠EAC=90°，∴∠FCB=∠EAC，在△ACE和△CBF中，$\begin{cases}∠AEC=∠CFB\\∠EAC=∠FCB\\AC=BC\end{cases}$，∴△ACE≌△CBF(AAS).
(2)EF=BF - AE.理由如下:∵∠AEC=∠CFB=90°，∠ACB=90°，∴∠ACE+∠CAE=∠ACE+∠BCF=90°，∴∠CAE=∠BCF，又∵AC=BC，∴△CAE≌△BCF(AAS)，∴CE=BF，AE=CF，∴EF=CE - CF=BF - AE，即EF=BF - AE.
(3)由(2)得EF=BF - AE，且BF=4AE，EF=5，∴EF=3AE=5，∴AE=$\frac{5}{3}$，∵CF=AE，∴AE=CF=$\frac{5}{3}$，则BF=$\frac{20}{3}$，∴S_{△BFC}=$\frac{1}{2}$CF·BF=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{3}$×$\frac{20}{3}$=$\frac{50}{9}$.
(2)EF=BF - AE.理由如下:∵∠AEC=∠CFB=90°，∠ACB=90°，∴∠ACE+∠CAE=∠ACE+∠BCF=90°，∴∠CAE=∠BCF，又∵AC=BC，∴△CAE≌△BCF(AAS)，∴CE=BF，AE=CF，∴EF=CE - CF=BF - AE，即EF=BF - AE.
(3)由(2)得EF=BF - AE，且BF=4AE，EF=5，∴EF=3AE=5，∴AE=$\frac{5}{3}$，∵CF=AE，∴AE=CF=$\frac{5}{3}$，则BF=$\frac{20}{3}$，∴S_{△BFC}=$\frac{1}{2}$CF·BF=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{3}$×$\frac{20}{3}$=$\frac{50}{9}$.
