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例 3 当$1\lt a＜2$时,代数式$\sqrt {(1-a)^{2}}+|a-2|$的值是()
A. -1
B. 1
C. $2a - 3$
D. $3 - 2a$
A. -1
B. 1
C. $2a - 3$
D. $3 - 2a$
答案
解析：$\sqrt {(1-a)^{2}}+|a-2|= |1-a|+|a-2|= a - 1 + 2 - a = 1$. 故选：B.
例 4 能使等式$\sqrt {\frac {x}{x-3}}= \frac {\sqrt {x}}{\sqrt {x-3}}$成立的条件是()
A. $x＞0$
B. $x≥3$
C. $x≥0$
D. $x＞3$
A. $x＞0$
B. $x≥3$
C. $x≥0$
D. $x＞3$
答案
解析：由题意$\left\{\begin{array}{l} x≥0\\ x - 3＞0\end{array}\right. $,由①得$x≥0$,由②得$x＞3$,∴不等式组的解集为$x＞3$. 故选：D.
例 5 计算：$2\sqrt {6}×3\sqrt {\frac {1}{2}}÷\sqrt {3}$.
答案
解析：原式$=2\sqrt {6}×\frac {3\sqrt {2}}{2}×\frac {\sqrt {3}}{3}= \sqrt {6}×\sqrt {2}×\sqrt {3}= 6$.
例 6 化简：$\frac {2-\sqrt {2}}{\sqrt {2}}= $______.
答案
解析：原式$=\frac {\sqrt {2}(2-\sqrt {2})}{\sqrt {2}\cdot \sqrt {2}}= \frac {2\sqrt {2}-2}{2}= \sqrt {2}-1$. 故答案为：$\sqrt {2}-1$.
例 7 若最简二次根式$\sqrt {a+2}与最简二次根式\sqrt {3a}$是同类二次根式,则 a 的值为()
A. 2
B. -2
C. -1
D. 1
A. 2
B. -2
C. -1
D. 1
答案
解析：由题意,得：$a + 2 = 3a$,解得$a = 1$. 故选：D.
例 8 计算：$\sqrt {32}-3\sqrt {\frac {1}{2}}+\frac {1}{2}\sqrt {3}+\sqrt {27}$.
答案
解析：原式$=4\sqrt {2}-3×\frac {\sqrt {2}}{2}+\frac {\sqrt {3}}{2}+3\sqrt {3}= \frac {5\sqrt {2}}{2}+\frac {7\sqrt {3}}{2}$.
例 9 计算：$(\sqrt {5}+3)(\sqrt {5}-3)-(\sqrt {3}-1)^{2}$.
答案
解析：原式$=5 - 9 - (3 - 2\sqrt {3}+1)= 5 - 9 - 3 + 2\sqrt {3}-1= -8 + 2\sqrt {3}$.
例 10 先化简,再求值：$(x-\sqrt {5})(x+\sqrt {5})+x(x - 5)$,其中$x= \sqrt {3}$.
答案
解析：原式$=x^{2}-5+x^{2}-5x= 2x^{2}-5x - 5$；当$x= \sqrt {3}$时,原式$=2(\sqrt {3})^{2}-5\sqrt {3}-5= 1 - 5\sqrt {3}$.
例 11 定义：若两个二次根式 a,b 满足$ab = c$,且 c 是有理数,则称 a 与 b 是关于 c 的因子二次根式.
(1)若 a 与$\sqrt {2}$是关于 4 的因子二次根式,则$a= $______.
(2)若$\sqrt {3}-1与m-\sqrt {3}$是关于 -2 的因子二次根式,求 m 的值.
(1)若 a 与$\sqrt {2}$是关于 4 的因子二次根式,则$a= $______.
(2)若$\sqrt {3}-1与m-\sqrt {3}$是关于 -2 的因子二次根式,求 m 的值.
答案
解析：(1)根据题意得,$a×\sqrt {2}= 4$,解得$a = 2\sqrt {2}$. 故答案为：$2\sqrt {2}$. (2)根据题意得,$(\sqrt {3}-1)×(m-\sqrt {3})= -2$,所以$m-\sqrt {3}= -\frac {2}{\sqrt {3}-1}= -(\sqrt {3}+1)$,解得$m= -1$,即 m 的值为 -1.
