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【典例1】已知函数$f(x)的定义域D= \{ x|x≠0\} $,且满足对于任意$x_{1},x_{2}∈D$,都有$f(x_{1}\cdot x_{2})= f(x_{1})+f(x_{2})$。
(1)求$f(1)$的值；
(2)判断$f(x)$的奇偶性,并证明你的结论。
(1)求$f(1)$的值；
(2)判断$f(x)$的奇偶性,并证明你的结论。
答案
解题指导 (1)通过赋值$x_{1},x_{2}$,将等式$f(x_{1}\cdot x_{2})= f(x_{1})+f(x_{2})变形为含f(1)$的等式。
(2)通过赋值$x_{1},x_{2}$,将等式$f(x_{1}\cdot x_{2})= f(x_{1})+f(x_{2})变形为含f(-x)和f(x)$的等式,进而化简得出结论。
答案 解：(1)$\because对于任意x_{1},x_{2}∈D$,都有$f(x_{1}\cdot x_{2})= f(x_{1})+f(x_{2})$,
$\therefore令x_{1}= x_{2}= 1$,得$f(1)= 2f(1)$,
$\therefore f(1)= 0$。
(2)$f(x)$为偶函数。证明如下：
由(1),得$f(1)= 0$。令$x_{1}= x_{2}= -1$,得$f(1)= 2f(-1)= 0$,$\therefore f(-1)= 0$。
由于$f(x)的定义域D= \{ x|x≠0\} $,
可令$x_{1}= -1$,$x_{2}= x$,
则$f(-x)= f(-1)+f(x)= f(x)$,故$f(x)$为偶函数。
(2)通过赋值$x_{1},x_{2}$,将等式$f(x_{1}\cdot x_{2})= f(x_{1})+f(x_{2})变形为含f(-x)和f(x)$的等式,进而化简得出结论。
答案 解：(1)$\because对于任意x_{1},x_{2}∈D$,都有$f(x_{1}\cdot x_{2})= f(x_{1})+f(x_{2})$,
$\therefore令x_{1}= x_{2}= 1$,得$f(1)= 2f(1)$,
$\therefore f(1)= 0$。
(2)$f(x)$为偶函数。证明如下：
由(1),得$f(1)= 0$。令$x_{1}= x_{2}= -1$,得$f(1)= 2f(-1)= 0$,$\therefore f(-1)= 0$。
由于$f(x)的定义域D= \{ x|x≠0\} $,
可令$x_{1}= -1$,$x_{2}= x$,
则$f(-x)= f(-1)+f(x)= f(x)$,故$f(x)$为偶函数。
【变式1】已知$f(x)是定义在\mathbf{R}$上的不恒为0的函数,且对于任意$a,b∈\mathbf{R}$,都满足$f(ab)= af(b)+bf(a)$。
(1)求$f(0),f(1)$的值；
(2)判断$f(x)$的奇偶性,并证明你的结论。
(1)求$f(0),f(1)$的值；
(2)判断$f(x)$的奇偶性,并证明你的结论。
答案
解:(1)令$a = b = 1$，则$f(1)=f(1)+f(1)$，$\therefore f(1)=0$。令$a = 0$，$b = - 1$，则$f(0)=0\cdot f(-1)-1\cdot f(0)$，$\therefore 2f(0)=0$，$\therefore f(0)=0$。
(2)$f(x)$为奇函数。证明如下：
由(1)，得$f(1)=0$。令$a = b = - 1$，则$f(1)=-f(-1)-f(-1)=0$，$\therefore f(-1)=0$。令$a = - 1$，$b = x$，则$f(-x)=-f(x)+xf(-1)=-f(x)$，$\therefore f(x)$为奇函数。
(2)$f(x)$为奇函数。证明如下：
由(1)，得$f(1)=0$。令$a = b = - 1$，则$f(1)=-f(-1)-f(-1)=0$，$\therefore f(-1)=0$。令$a = - 1$，$b = x$，则$f(-x)=-f(x)+xf(-1)=-f(x)$，$\therefore f(x)$为奇函数。
【典例2】已知$f(x)是定义在\mathbf{R}$上的奇函数,且当$x＞0$时,$f(x)= \frac {3-x}{x+1}$。
(1)求函数$f(x)在\mathbf{R}$上的解析式；
(2)利用函数单调性的定义证明：函数$f(x)在(-∞,0)$上单调递减。
(1)求函数$f(x)在\mathbf{R}$上的解析式；
(2)利用函数单调性的定义证明：函数$f(x)在(-∞,0)$上单调递减。
答案
解题指导 (1)第1步：设$x＜0$,则$-x＞0$。第2步：根据已知解析式求得$f(-x)$,并用分段函数的形式写出答案。
(2)设任意$x_{1}＜x_{2}＜0$,利用作差法比较$f(x_{1})和f(x_{2})$的大小,得出结论。
答案 解：(1)设$x＜0$,则$-x＞0$,$\therefore f(-x)= \frac {3+x}{-x+1}$。$\because f(x)是定义在\mathbf{R}$上的奇函数,
$\therefore f(-x)= -f(x)$,$f(0)= 0$,
$\therefore -f(x)= \frac {3+x}{-x+1}$,$\therefore f(x)= \frac {3+x}{x-1}$,
$\therefore f(x)= \left\{\begin{array}{l} \frac {3-x}{x+1},x＞0,\\ 0,x= 0,\\ \frac {3+x}{x-1},x＜0.\end{array}\right. $
(2)证明：由(1),得当$x＜0$时,$f(x)= \frac {3+x}{x-1}= \frac {x-1+4}{x-1}= 1+\frac {4}{x-1}$。设任意$x_{1},x_{2}∈(-∞,0)$,且$x_{1}＜x_{2}$,
$\therefore f(x_{1})-f(x_{2})= 1+\frac {4}{x_{1}-1}-1-\frac {4}{x_{2}-1}= \frac {4(x_{2}-x_{1})}{(x_{1}-1)(x_{2}-1)}$。
$\because x_{1}＜x_{2}＜0$,$\therefore x_{2}-x_{1}＞0$,$x_{2}-1＜0$,$x_{1}-1＜0$,$\therefore f(x_{1})-f(x_{2})＞0$,即$f(x_{1})＞f(x_{2})$,
$\therefore函数f(x)在(-∞,0)$上单调递减。
(2)设任意$x_{1}＜x_{2}＜0$,利用作差法比较$f(x_{1})和f(x_{2})$的大小,得出结论。
答案 解：(1)设$x＜0$,则$-x＞0$,$\therefore f(-x)= \frac {3+x}{-x+1}$。$\because f(x)是定义在\mathbf{R}$上的奇函数,
$\therefore f(-x)= -f(x)$,$f(0)= 0$,
$\therefore -f(x)= \frac {3+x}{-x+1}$,$\therefore f(x)= \frac {3+x}{x-1}$,
$\therefore f(x)= \left\{\begin{array}{l} \frac {3-x}{x+1},x＞0,\\ 0,x= 0,\\ \frac {3+x}{x-1},x＜0.\end{array}\right. $
(2)证明：由(1),得当$x＜0$时,$f(x)= \frac {3+x}{x-1}= \frac {x-1+4}{x-1}= 1+\frac {4}{x-1}$。设任意$x_{1},x_{2}∈(-∞,0)$,且$x_{1}＜x_{2}$,
$\therefore f(x_{1})-f(x_{2})= 1+\frac {4}{x_{1}-1}-1-\frac {4}{x_{2}-1}= \frac {4(x_{2}-x_{1})}{(x_{1}-1)(x_{2}-1)}$。
$\because x_{1}＜x_{2}＜0$,$\therefore x_{2}-x_{1}＞0$,$x_{2}-1＜0$,$x_{1}-1＜0$,$\therefore f(x_{1})-f(x_{2})＞0$,即$f(x_{1})＞f(x_{2})$,
$\therefore函数f(x)在(-∞,0)$上单调递减。
