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【变式3】(1)若不等式$-a＜x＜a的一个充分条件为0＜x＜1$,求实数$a$的取值范围.
答案
解：（1）由题意，得$\{ x|0\lt x＜1\} \subseteq \{ x|-a\lt x\lt a\}$，所以$-a≤0$且$a≥1$，解得$a≥1$，故实数a的取值范围是$\{ a|a≥1\}$。
(2)已知条件$p:2k-1\leqslant x\leqslant 3$,$q:-5\leqslant x\leqslant 3$. 若$p是q$的必要条件,求实数$k$的取值范围.
答案
（2）已知条件$p:2k-1≤x≤3$，$q:-5≤x≤3$，设集合$A=\{ x|2k-1≤x≤3\}$，$B=\{ x|-5≤x≤3\}$。
因为p是q的必要条件，所以$B\subseteq A$，所以$2k-1≤-5$，解得$k≤-2$。故实数k的取值范围是$\{ k|k≤-2\}$。
因为p是q的必要条件，所以$B\subseteq A$，所以$2k-1≤-5$，解得$k≤-2$。故实数k的取值范围是$\{ k|k≤-2\}$。
1. 下列语句中,是命题的个数为 ()
①这道数学题有趣吗? ②0不可能不是自然数. ③$a^{2}+1＞0(a\in \mathbf{R})$. ④91不是素数.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
①这道数学题有趣吗? ②0不可能不是自然数. ③$a^{2}+1＞0(a\in \mathbf{R})$. ④91不是素数.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案
C ①这不是一个陈述句，没有办法判断出真假，故不是命题；②这句话表示0是自然数，显然这句话是正确的，因此是命题，而且是真命题；③因为$a^{2}+1＞0(a∈R)$是正确的，所以$a^{2}+1＞0(a∈R)$是命题，而且是真命题；④因为$91=13×7$，所以可以判断“91不是素数”这句话是正确的，所以是命题，而且是真命题。
故是命题的语句的个数为3。
故是命题的语句的个数为3。
2. “$x＞4$”是“$x＞2$”的 ()
A. 充分条件和必要条件
B. 既不充分也不必要条件
C. 必要条件
D. 充分条件
A. 充分条件和必要条件
B. 既不充分也不必要条件
C. 必要条件
D. 充分条件
答案
D 当$x＞4$时，必有$x＞2$；当$x＞2$时，不一定有$x＞4$。
所以“$x＞4$”是“$x＞2$”的充分条件，不是必要条件。
所以“$x＞4$”是“$x＞2$”的充分条件，不是必要条件。
3. “$a^{2}= b^{2}$”是“$a^{2}+b^{2}= 2ab$”的 ()
A. 充分条件
B. 必要条件
C. 充分条件和必要条件
D. 既不充分也不必要条件
A. 充分条件
B. 必要条件
C. 充分条件和必要条件
D. 既不充分也不必要条件
答案
B 由$a^{2}=b^{2}$，得$a=\pm b$。当$a=-b≠0$时，$a^{2}+b^{2}=2ab$不成立，故“$a^{2}=b^{2}$”不是“$a^{2}+b^{2}=2ab$”的充分条件。
由$a^{2}+b^{2}=2ab$，得$(a-b)^{2}=0$，即$a=b$。当$a=b$时，显然$a^{2}=b^{2}$成立，故“$a^{2}=b^{2}$”是“$a^{2}+b^{2}=2ab$”的必要条件。
由$a^{2}+b^{2}=2ab$，得$(a-b)^{2}=0$，即$a=b$。当$a=b$时，显然$a^{2}=b^{2}$成立，故“$a^{2}=b^{2}$”是“$a^{2}+b^{2}=2ab$”的必要条件。
4. (多选)如果命题“若$p$,则$q$”是真命题,那么下列说法一定正确的是 ()
A. $p是q$的充分条件
B. $p是q$的必要条件
C. $q是p$的必要条件
D. $q是p$的充分条件
A. $p是q$的充分条件
B. $p是q$的必要条件
C. $q是p$的必要条件
D. $q是p$的充分条件
答案
AC 命题“若p，则q”是真命题，是指由p可以推出q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件，故A，C正确；由q不一定可以推出p，故B，D不正确。
5. 已知$m\in \mathbf{R}$,则“若$m\leqslant 1$,则$m^{2}\leqslant 1$”是____命题.(填“真”或“假”)
答案
假 不妨取$m=-2＜1$，则$m^{2}=4$，不满足$m^{2}≤1$，因此该命题是假命题。
