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基础知识·预习
问题1 结合二次函数$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2 -1$的图象总结：
(1)抛物线$y=a(x-h)^2 +k(a≠0)$的开口方向由哪个系数决定？它的对称轴在哪里？顶点坐标是什么？什么情况下取最值？
(2)y随x的变化情况是怎样的？
问题2 二次函数$y=a(x-h)^2 +k(a≠0)$的图象与$y=ax^2$的图象有什么关系？
问题1 结合二次函数$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2 -1$的图象总结：
(1)抛物线$y=a(x-h)^2 +k(a≠0)$的开口方向由哪个系数决定？它的对称轴在哪里？顶点坐标是什么？什么情况下取最值？
(2)y随x的变化情况是怎样的？
问题2 二次函数$y=a(x-h)^2 +k(a≠0)$的图象与$y=ax^2$的图象有什么关系？
答案
解：
问题1
(1) 抛物线$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$的开口方向由系数$a$决定：$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下。
它的对称轴是直线$x=h$。
顶点坐标是$(h,k)$。
当$a＞0$时，在$x=h$处函数取得最小值$k$；当$a＜0$时，在$x=h$处函数取得最大值$k$。
(2) 对于二次函数$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2-1$：
当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而增大；
当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而减小。
问题2
两个函数的图象形状、开口方向完全相同，仅位置不同。
将$y=ax^2$的图象平移可得到$y=a(x-h)^2+k$的图象：当$h＞0$时向右平移$h$个单位长度，当$h＜0$时向左平移$|h|$个单位长度；当$k＞0$时向上平移$k$个单位长度，当$k＜0$时向下平移$|k|$个单位长度。
问题1
(1) 抛物线$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$的开口方向由系数$a$决定：$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下。
它的对称轴是直线$x=h$。
顶点坐标是$(h,k)$。
当$a＞0$时，在$x=h$处函数取得最小值$k$；当$a＜0$时，在$x=h$处函数取得最大值$k$。
(2) 对于二次函数$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2-1$：
当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而增大；
当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而减小。
问题2
两个函数的图象形状、开口方向完全相同，仅位置不同。
将$y=ax^2$的图象平移可得到$y=a(x-h)^2+k$的图象：当$h＞0$时向右平移$h$个单位长度，当$h＜0$时向左平移$|h|$个单位长度；当$k＞0$时向上平移$k$个单位长度，当$k＜0$时向下平移$|k|$个单位长度。
解析
【分析】
本题围绕二次函数顶点式的基础知识点展开，解题思路如下：1. 解决问题1(1)时，首先明确二次项系数$a$决定抛物线开口方向，再结合顶点式的结构特征确定对称轴、顶点坐标，最后根据开口方向判断最值的取值情况；2. 解决问题1(2)时，先确定给定二次函数的开口方向和对称轴，再分对称轴左右两侧讨论函数的增减性；3. 解决问题2时，根据二次项系数决定图象形状的性质，结合“左加右减、上加下减”的平移规律，分析两个函数图象的关系。
【解析】
问题1
(1) 对于抛物线$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$：
开口方向由系数$a$决定：$a＞0$时抛物线开口向上，$a＜0$时抛物线开口向下；
对称轴为直线$x=h$；
顶点坐标为$(h,k)$；
最值规律：当$a＞0$时，抛物线开口向上，函数在$x=h$处取得最小值$k$；当$a＜0$时，抛物线开口向下，函数在$x=h$处取得最大值$k$。
(2) 对于二次函数$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2 -1$，其$a=-\frac{1}{2}＜0$，开口向下，对称轴为直线$x=-1$：
当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而增大；
当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而减小。
问题2
$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$与$y=ax^2$的二次项系数相同，因此两个函数的图象形状、开口方向完全相同，仅位置不同，可通过平移$y=ax^2$的图象得到$y=a(x-h)^2+k$的图象：
左右平移：$h＞0$时向右平移$h$个单位长度，$h＜0$时向左平移$|h|$个单位长度；
上下平移：$k＞0$时向上平移$k$个单位长度，$k＜0$时向下平移$|k|$个单位长度。
【答案】
问题1
(1) 开口方向由系数$a$决定：$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；对称轴是直线$x=h$；顶点坐标是$(h,k)$；$a＞0$时在$x=h$处取最小值$k$，$a＜0$时在$x=h$处取最大值$k$。
(2) 对于$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2 -1$：$x＜-1$时$y$随$x$的增大而增大；$x＞-1$时$y$随$x$的增大而减小。
问题2
两个函数图象形状、开口方向完全相同，仅位置不同；将$y=ax^2$的图象平移可得到$y=a(x-h)^2+k$的图象：$h＞0$时右移$h$个单位长度，$h＜0$时左移$|h|$个单位长度；$k＞0$时上移$k$个单位长度，$k＜0$时下移$|k|$个单位长度。
【知识点】
1. 二次函数顶点式的性质
2. 二次函数的增减性
3. 二次函数图象平移规律
【点评】
本题属于二次函数的基础练习题，侧重考查对顶点式各参数意义、函数基本性质以及图象平移规律的理解，是后续解决二次函数综合问题的核心基础，相关结论需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
本题围绕二次函数顶点式的基础知识点展开，解题思路如下：1. 解决问题1(1)时，首先明确二次项系数$a$决定抛物线开口方向，再结合顶点式的结构特征确定对称轴、顶点坐标，最后根据开口方向判断最值的取值情况；2. 解决问题1(2)时，先确定给定二次函数的开口方向和对称轴，再分对称轴左右两侧讨论函数的增减性；3. 解决问题2时，根据二次项系数决定图象形状的性质，结合“左加右减、上加下减”的平移规律，分析两个函数图象的关系。
【解析】
问题1
(1) 对于抛物线$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$：
开口方向由系数$a$决定：$a＞0$时抛物线开口向上，$a＜0$时抛物线开口向下；
对称轴为直线$x=h$；
顶点坐标为$(h,k)$；
最值规律：当$a＞0$时，抛物线开口向上，函数在$x=h$处取得最小值$k$；当$a＜0$时，抛物线开口向下，函数在$x=h$处取得最大值$k$。
(2) 对于二次函数$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2 -1$，其$a=-\frac{1}{2}＜0$，开口向下，对称轴为直线$x=-1$：
当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而增大；
当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而减小。
问题2
$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$与$y=ax^2$的二次项系数相同，因此两个函数的图象形状、开口方向完全相同，仅位置不同，可通过平移$y=ax^2$的图象得到$y=a(x-h)^2+k$的图象：
左右平移：$h＞0$时向右平移$h$个单位长度，$h＜0$时向左平移$|h|$个单位长度；
上下平移：$k＞0$时向上平移$k$个单位长度，$k＜0$时向下平移$|k|$个单位长度。
【答案】
问题1
(1) 开口方向由系数$a$决定：$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；对称轴是直线$x=h$；顶点坐标是$(h,k)$；$a＞0$时在$x=h$处取最小值$k$，$a＜0$时在$x=h$处取最大值$k$。
(2) 对于$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2 -1$：$x＜-1$时$y$随$x$的增大而增大；$x＞-1$时$y$随$x$的增大而减小。
问题2
两个函数图象形状、开口方向完全相同，仅位置不同；将$y=ax^2$的图象平移可得到$y=a(x-h)^2+k$的图象：$h＞0$时右移$h$个单位长度，$h＜0$时左移$|h|$个单位长度；$k＞0$时上移$k$个单位长度，$k＜0$时下移$|k|$个单位长度。
【知识点】
1. 二次函数顶点式的性质
2. 二次函数的增减性
3. 二次函数图象平移规律
【点评】
本题属于二次函数的基础练习题，侧重考查对顶点式各参数意义、函数基本性质以及图象平移规律的理解，是后续解决二次函数综合问题的核心基础，相关结论需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
【典型例题 1】画出二次函数 $y=(x-1)^2 -4$ 的图象.
(1)指出函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴.
(2)当 $x$ 取哪些值时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小？当 $x$ 取哪些值时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大？
(3)写出该函数图象上的最高点或最低点的坐标及函数的最大值或最小值.
思路导引 首先根据二次函数的解析式确定二次函数图象的对称轴，然后利用图象的对称性选取 $x$ 值，从而列表、描点、连线，画出函数图象。通过观察函数图象，可以得出它的性质，进而解决相关问题.
【解】列表、描点、连线，画出的函数图象如图所示.
(1)函数 $y=(x-1)^2 -4$ 的图象开口向上，顶点坐标为 $(1,-4)$，对称轴是直线 $x=1$.
(2)当 $x＜1$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小；当 $x＞1$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大.
(3)函数 $y=(x-1)^2 -4$ 图象上的最低点(即顶点)的坐标是 $(1,-4)$，函数有最小值，当 $x=1$ 时，最小值为 $-4$.
(1)指出函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴.
(2)当 $x$ 取哪些值时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小？当 $x$ 取哪些值时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大？
(3)写出该函数图象上的最高点或最低点的坐标及函数的最大值或最小值.
思路导引 首先根据二次函数的解析式确定二次函数图象的对称轴，然后利用图象的对称性选取 $x$ 值，从而列表、描点、连线，画出函数图象。通过观察函数图象，可以得出它的性质，进而解决相关问题.
【解】列表、描点、连线，画出的函数图象如图所示.
(1)函数 $y=(x-1)^2 -4$ 的图象开口向上，顶点坐标为 $(1,-4)$，对称轴是直线 $x=1$.
(2)当 $x＜1$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小；当 $x＞1$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大.
(3)函数 $y=(x-1)^2 -4$ 图象上的最低点(即顶点)的坐标是 $(1,-4)$，函数有最小值，当 $x=1$ 时，最小值为 $-4$.
答案
解：
列表：
| $x$ | $\dots$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $\dots$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=(x-1)^2-4$ | $\dots$ | $5$ | $0$ | $-3$ | $-4$ | $-3$ | $0$ | $5$ | $\dots$ |
在平面直角坐标系中描出表中各点，用平滑曲线顺次连接各点，即可画出二次函数$y=(x-1)^2-4$的图象。
(1) 函数图象开口向上，顶点坐标为$(1,-4)$，对称轴是直线$x=1$。
(2) 当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大。
(3) 该函数图象上的最低点坐标为$(1,-4)$，函数没有最大值，有最小值，当$x=1$时，函数的最小值为$-4$。
列表：
| $x$ | $\dots$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $\dots$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=(x-1)^2-4$ | $\dots$ | $5$ | $0$ | $-3$ | $-4$ | $-3$ | $0$ | $5$ | $\dots$ |
在平面直角坐标系中描出表中各点，用平滑曲线顺次连接各点，即可画出二次函数$y=(x-1)^2-4$的图象。
(1) 函数图象开口向上，顶点坐标为$(1,-4)$，对称轴是直线$x=1$。
(2) 当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大。
(3) 该函数图象上的最低点坐标为$(1,-4)$，函数没有最大值，有最小值，当$x=1$时，函数的最小值为$-4$。
解析
【分析】
本题围绕顶点式二次函数的图象绘制与性质考查，解题思路清晰：①首先识别所给解析式为$y=a(x-h)^2+k$的顶点式形式，可先通过$a$的符号判断开口方向，直接提取顶点坐标和对称轴；②绘制图象时利用二次函数的对称性，以对称轴为中心在左右两侧选取若干整数$x$，计算对应$y$值完成列表，再依次描点、用平滑曲线连线即可得到图象；③结合开口方向、对称轴的特征，就能推导函数的增减性、最值及对应点坐标。
【解析】
步骤1：绘制二次函数图象
1. 列表：
| $x$ | $\dots$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $\dots$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=(x-1)^2-4$ | $\dots$ | $5$ | $0$ | $-3$ | $-4$ | $-3$ | $0$ | $5$ | $\dots$ |
2. 描点：在平面直角坐标系中，将表中各组$(x,y)$对应的点逐一描出；
3. 连线：用平滑曲线顺次连接各点，即可得到二次函数$y=(x-1)^2-4$的图象。
步骤2：解答问题
(1) 解析式中二次项系数$a=1＞0$，因此函数图象开口向上；由顶点式的结构可得顶点坐标为$(1,-4)$，对称轴是直线$x=1$。
(2) 函数开口向上，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大，即：当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大。
(3) 开口向上的抛物线只有最低点，即顶点，坐标为$(1,-4)$；函数无最大值，有最小值，当$x=1$时，最小值为$-4$。
【答案】
列表、描点、连线画图象见解析；
(1) 函数图象开口向上，顶点坐标为$(1,-4)$，对称轴是直线$x=1$；
(2) 当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大；
(3) 函数图象最低点坐标为$(1,-4)$，无最大值，最小值为$-4$。
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 二次函数图象画法
3. 二次函数增减性与最值
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考查顶点式二次函数的基本应用，熟练掌握顶点式各参数对应的图象特征，结合图象理解性质规律即可快速解题，是巩固二次函数基础性质的典型习题。
【难度系数】
0.8
本题围绕顶点式二次函数的图象绘制与性质考查，解题思路清晰：①首先识别所给解析式为$y=a(x-h)^2+k$的顶点式形式，可先通过$a$的符号判断开口方向，直接提取顶点坐标和对称轴；②绘制图象时利用二次函数的对称性，以对称轴为中心在左右两侧选取若干整数$x$，计算对应$y$值完成列表，再依次描点、用平滑曲线连线即可得到图象；③结合开口方向、对称轴的特征，就能推导函数的增减性、最值及对应点坐标。
【解析】
步骤1：绘制二次函数图象
1. 列表：
| $x$ | $\dots$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $\dots$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=(x-1)^2-4$ | $\dots$ | $5$ | $0$ | $-3$ | $-4$ | $-3$ | $0$ | $5$ | $\dots$ |
2. 描点：在平面直角坐标系中，将表中各组$(x,y)$对应的点逐一描出；
3. 连线：用平滑曲线顺次连接各点，即可得到二次函数$y=(x-1)^2-4$的图象。
步骤2：解答问题
(1) 解析式中二次项系数$a=1＞0$，因此函数图象开口向上；由顶点式的结构可得顶点坐标为$(1,-4)$，对称轴是直线$x=1$。
(2) 函数开口向上，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大，即：当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大。
(3) 开口向上的抛物线只有最低点，即顶点，坐标为$(1,-4)$；函数无最大值，有最小值，当$x=1$时，最小值为$-4$。
【答案】
列表、描点、连线画图象见解析；
(1) 函数图象开口向上，顶点坐标为$(1,-4)$，对称轴是直线$x=1$；
(2) 当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大；
(3) 函数图象最低点坐标为$(1,-4)$，无最大值，最小值为$-4$。
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 二次函数图象画法
3. 二次函数增减性与最值
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考查顶点式二次函数的基本应用，熟练掌握顶点式各参数对应的图象特征，结合图象理解性质规律即可快速解题，是巩固二次函数基础性质的典型习题。
【难度系数】
0.8
