基础知识·预习
问题1 一元二次方程的求根公式是什么？
问题2 公式里的a,b,c分别指什么？当方程里没有一次项或常数项时，b,c怎么代入公式？
问题3 所有的方程都能用公式法求解吗？

解：
问题1：对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当$b^2-4ac≥0$时，它的求根公式为：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
问题2：$a,b,c$分别是一元二次方程化为一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$后，对应的二次项系数、一次项系数、常数项。
当方程没有一次项时，对应的一次项系数$b=0$，将$b=0$代入求根公式即可；
当方程没有常数项时，对应的常数项$c=0$，将$c=0$代入求根公式即可。
问题3：不是所有方程都能用该一元二次方程的求根公式求解。该求根公式仅适用于一元二次方程，一元一次方程、分式方程、高于二次的整式方程等非一元二次方程无法使用该公式求解；即使是一元二次方程，当判别式$b^2-4ac＜0$时，方程没有实数根，也无法在实数范围内通过该公式求出对应的实数根。

【分析】
这三个问题均围绕一元二次方程公式法的基础概念设置，解题思路如下：1. 求解根公式时，需先明确公式的适用前提：方程为一元二次方程的一般形式且判别式$b^2-4ac≥0$，再写出对应公式；2. 明确a、b、c的含义时，要锚定一元二次方程的一般形式，三个系数分别对应二次项、一次项系数和常数项，若方程缺少某类项，对应系数取0代入即可；3. 判断公式法的适用范围时，可从两个维度分析：一是该公式仅适用于一元二次方程，其他类型方程不适用；二是实数范围内用公式求解一元二次方程，要求判别式非负。
【解析】
问题1：先确定一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$b^2-4ac≥0$时，可得出求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
问题2：a、b、c分别是一元二次方程化为一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$后对应的二次项系数、一次项系数、常数项。当方程没有一次项时，一次项系数$b=0$，将$b=0$代入求根公式即可；当方程没有常数项时，常数项$c=0$，将$c=0$代入求根公式即可。
问题3：不是所有方程都能用该一元二次方程的求根公式求解。首先从适用方程类型来看，该求根公式仅适用于一元二次方程，一元一次方程、分式方程、高于二次的整式方程等非一元二次方程无法使用该公式求解；其次从实数范围求解的要求来看，即使是一元二次方程，当判别式$b^2-4ac＜0$时，方程没有实数根，也无法在实数范围内通过该公式求出对应的实数根。
【答案】
问题1：对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当$b^2-4ac≥0$时，它的求根公式为：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
问题2：$a,b,c$分别是一元二次方程化为一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$后，对应的二次项系数、一次项系数、常数项。
当方程没有一次项时，对应的一次项系数$b=0$，将$b=0$代入求根公式即可；
当方程没有常数项时，对应的常数项$c=0$，将$c=0$代入求根公式即可。
问题3：不是所有方程都能用该一元二次方程的求根公式求解。该求根公式仅适用于一元二次方程，一元一次方程、分式方程、高于二次的整式方程等非一元二次方程无法使用该公式求解；即使是一元二次方程，当判别式$b^2-4ac＜0$时，方程没有实数根，也无法在实数范围内通过该公式求出对应的实数根。
【知识点】
一元二次方程求根公式；一元二次方程的一般形式；公式法适用条件
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础概念考查题，设问均为后续用公式法解方程的核心前提，学习时要准确记忆相关定义和限制条件，避免因概念混淆出现解题错误。
【难度系数】
0.8

【典型例题】用公式法解下列方程.
(1)$x^2 - x = -2$.
(2)$x^2 - 2x = 2x + 1$.
(3)$(3x - 1)(x + 2) = 11x - 4$.
【解】(1)方程化为$x^2 - x + 2 = 0$,
此时$a=1,b=-1,c=2$,
所以$\Delta = b^2 -4ac = (-1)^2 -4×1×2=-7＜0$.
方程无实数根.
(2)方程化为$x^2 -4x -1=0$,
此时$a=1,b=-4,c=-1$,
所以$\Delta = b^2 -4ac = (-4)^2 -4×1×(-1)=20＞0$.
方程有两个不相等的实数根$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 -4ac}}{2a}=\frac{-(-4)\pm\sqrt{20}}{2×1}=2\pm\sqrt{5}$,
即$x_1=2+\sqrt{5},x_2=2-\sqrt{5}$.
(3)方程化为$3x^2 -6x +2=0$,
此时$a=3,b=-6,c=2$,
所以$\Delta = b^2 -4ac = (-6)^2 -4×3×2=12＞0$.
方程有两个不相等的实数根$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 -4ac}}{2a}=\frac{-(-6)\pm\sqrt{12}}{2×3}=\frac{3\pm\sqrt{3}}{3}$,
即$x_1=\frac{3+\sqrt{3}}{3},x_2=\frac{3-\sqrt{3}}{3}$.
规律方法 用公式法解一元二次方程的一般步骤:
(1)把一元二次方程化为一般形式.
(2)确定$a,b,c$的值.
(3)求出$b^2 -4ac$的值.
(4)当$b^2 -4ac≥0$时,把$a,b,c$的值
代入求根公式,求出$x_1$和$x_2$的值.当$b^2 -4ac＜0$时,方程无实数根;当$b^2 -4ac=0$时,必须把原方程的根写成$x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$的形式,这样才能说明方程有两个相等的实数根.
【即学即练】
方程$x(x+4)=x-1$的一般形式为,其中$a=$,
$b=$, $c=$,则$\Delta =b^2 -4ac=$,进而方程的根为.

方程化为$x^2+3x+1=0$,此时$a=1$,$b=3$,$c=1$,所以$\Delta =b^2-4ac=5$,方程的根为$x_1=\frac{-3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$

【分析】
解题时按照公式法解一元二次方程的固定步骤思考：第一步先将给定方程通过去括号、移项、合并同类项化为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式；第二步对应确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的值；第三步代入判别式$\Delta=b^2-4ac$计算其值；第四步若$\Delta≥0$，直接代入求根公式计算方程的根即可。
【解析】
1. 化简方程为一般形式：
先展开方程左边：$x(x+4)=x^2+4x$，
移项，将右侧所有项移到左侧：$x^2+4x -x +1 = 0$，
合并同类项得一般形式：$x^2+3x+1=0$。
2. 确定$a,b,c$的值：
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=3$，常数项$c=1$。
3. 计算判别式$\Delta$：
$\Delta = b^2 -4ac = 3^2 - 4×1×1 = 9-4=5$。
4. 求方程的根：
因为$\Delta=5＞0$，方程有两个不相等的实数根，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2×1}=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$，即$x_1=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
$x^2+3x+1=0$；$1$；$3$；$1$；$5$；$x_1=\frac{-3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
一元二次方程的一般形式；根的判别式；公式法解一元二次方程
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础训练题，核心考查解方程的标准流程，只要注意移项时的符号问题，准确代入公式计算即可得分，能帮助学生牢固掌握公式法的解题步骤。
【难度系数】
0.8