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三、解答题
13. 当 $ m, x, a $ 取什么数时，下列分式有意义？
当 $ m, x, a $ 取什么数时，下列分式的值为0？
(1) $\dfrac{m - 2}{m^2}$；(2) $\dfrac{4x}{x^2 + 3}$；(3) $\dfrac{2a - 4}{a - 2}$
13. 当 $ m, x, a $ 取什么数时，下列分式有意义？
当 $ m, x, a $ 取什么数时，下列分式的值为0？
(1) $\dfrac{m - 2}{m^2}$；(2) $\dfrac{4x}{x^2 + 3}$；(3) $\dfrac{2a - 4}{a - 2}$
答案
解：
(1) 对于分式$\dfrac{m-2}{m^2}$：
分式有意义的条件是分母不为0，即$m^2≠0$，得$m≠0$。
分式的值为0的条件是分子为0且分母不为0，由$m-2=0$得$m=2$，此时$m^2=4≠0$，故$m=2$时分式的值为0。
(2) 对于分式$\dfrac{4x}{x^2+3}$：
因为$x^2≥0$，所以$x^2+3≥3＞0$，无论$x$取何实数，分母都不为0，即$x$为任意实数时，分式都有意义。
分式的值为0的条件是分子为0且分母不为0，由$4x=0$得$x=0$，此时$x^2+3=3≠0$，故$x=0$时分式的值为0。
(3) 对于分式$\dfrac{2a-4}{a-2}$：
分式有意义的条件是分母不为0，即$a-2≠0$，得$a≠2$。
若分式的值为0，则分子$2a-4=0$，解得$a=2$，此时分母$a-2=0$，分式无意义，故不存在实数$a$，使该分式的值为0。
(1) 对于分式$\dfrac{m-2}{m^2}$：
分式有意义的条件是分母不为0，即$m^2≠0$，得$m≠0$。
分式的值为0的条件是分子为0且分母不为0，由$m-2=0$得$m=2$，此时$m^2=4≠0$，故$m=2$时分式的值为0。
(2) 对于分式$\dfrac{4x}{x^2+3}$：
因为$x^2≥0$，所以$x^2+3≥3＞0$，无论$x$取何实数，分母都不为0，即$x$为任意实数时，分式都有意义。
分式的值为0的条件是分子为0且分母不为0，由$4x=0$得$x=0$，此时$x^2+3=3≠0$，故$x=0$时分式的值为0。
(3) 对于分式$\dfrac{2a-4}{a-2}$：
分式有意义的条件是分母不为0，即$a-2≠0$，得$a≠2$。
若分式的值为0，则分子$2a-4=0$，解得$a=2$，此时分母$a-2=0$，分式无意义，故不存在实数$a$，使该分式的值为0。
解析
【分析】
解决本题需先明确两个核心规则：①分式有意义的前提是分母不等于0；②分式的值为0需要同时满足两个条件：分子等于0，且分母不等于0，二者缺一不可。接下来对三个分式分别按上述规则分析计算，遇到含平方的分母时，结合平方的非负性判断分母的取值范围；若分子为0时对应分母也为0，则说明不存在使分式值为0的数。
【解析】
(1) 对于分式$\dfrac{m-2}{m^2}$：
分式有意义的条件是分母不为0，即$m^2≠0$，解得$m≠0$。
分式的值为0的条件是分子为0且分母不为0，由$m-2=0$得$m=2$，此时$m^2=4≠0$，符合要求，故$m=2$时分式的值为0。
(2) 对于分式$\dfrac{4x}{x^2 + 3}$：
由平方的非负性可知$x^2≥0$，因此$x^2+3≥3＞0$，即无论$x$取任意实数，分母都不为0，所以$x$为任意实数时，该分式都有意义。
分式的值为0的条件是分子为0且分母不为0，由$4x=0$得$x=0$，此时$x^2+3=3≠0$，符合要求，故$x=0$时分式的值为0。
(3) 对于分式$\dfrac{2a - 4}{a - 2}$：
分式有意义的条件是分母不为0，即$a-2≠0$，解得$a≠2$。
若分式的值为0，需满足分子$2a-4=0$，解得$a=2$，但此时分母$a-2=0$，分式无意义，因此不存在实数$a$使该分式的值为0。
【答案】
(1) $m≠0$时分式有意义，$m=2$时分式的值为0；
(2) $x$为任意实数时分式有意义，$x=0$时分式的值为0；
(3) $a≠2$时分式有意义，不存在实数$a$使该分式的值为0。
【知识点】
分式有意义的条件、分式值为0的条件、平方的非负性
【点评】
本题是分式性质的基础应用题，解题的关键是牢记分式值为0时必须同时满足分子为0、分母不为0两个条件，切勿忽略分母的限制，第三小问极易因漏看分母的取值而出错。
【难度系数】
0.7
解决本题需先明确两个核心规则：①分式有意义的前提是分母不等于0；②分式的值为0需要同时满足两个条件：分子等于0，且分母不等于0，二者缺一不可。接下来对三个分式分别按上述规则分析计算，遇到含平方的分母时，结合平方的非负性判断分母的取值范围；若分子为0时对应分母也为0，则说明不存在使分式值为0的数。
【解析】
(1) 对于分式$\dfrac{m-2}{m^2}$：
分式有意义的条件是分母不为0，即$m^2≠0$，解得$m≠0$。
分式的值为0的条件是分子为0且分母不为0，由$m-2=0$得$m=2$，此时$m^2=4≠0$，符合要求，故$m=2$时分式的值为0。
(2) 对于分式$\dfrac{4x}{x^2 + 3}$：
由平方的非负性可知$x^2≥0$，因此$x^2+3≥3＞0$，即无论$x$取任意实数，分母都不为0，所以$x$为任意实数时，该分式都有意义。
分式的值为0的条件是分子为0且分母不为0，由$4x=0$得$x=0$，此时$x^2+3=3≠0$，符合要求，故$x=0$时分式的值为0。
(3) 对于分式$\dfrac{2a - 4}{a - 2}$：
分式有意义的条件是分母不为0，即$a-2≠0$，解得$a≠2$。
若分式的值为0，需满足分子$2a-4=0$，解得$a=2$，但此时分母$a-2=0$，分式无意义，因此不存在实数$a$使该分式的值为0。
【答案】
(1) $m≠0$时分式有意义，$m=2$时分式的值为0；
(2) $x$为任意实数时分式有意义，$x=0$时分式的值为0；
(3) $a≠2$时分式有意义，不存在实数$a$使该分式的值为0。
【知识点】
分式有意义的条件、分式值为0的条件、平方的非负性
【点评】
本题是分式性质的基础应用题，解题的关键是牢记分式值为0时必须同时满足分子为0、分母不为0两个条件，切勿忽略分母的限制，第三小问极易因漏看分母的取值而出错。
【难度系数】
0.7
14. 已知$m+n-3=0$，求代数式$\dfrac{3(m-n)+6n}{m^2+n^2+2mn}$的值。
答案
解：
先化简代数式：
分子展开得：$3(m-n)+6n = 3m - 3n + 6n = 3m + 3n = 3(m+n)$
分母因式分解得：$m^2 + n^2 + 2mn = (m+n)^2$
因此原式可化简为：
$\frac{3(m+n)}{(m+n)^2} = \frac{3}{m+n}$
由$m+n-3=0$，可得$m+n=3$，
将$m+n=3$代入$\frac{3}{m+n}$，得：
原式$=\frac{3}{3}=1$
所以该代数式的值为1。
先化简代数式：
分子展开得：$3(m-n)+6n = 3m - 3n + 6n = 3m + 3n = 3(m+n)$
分母因式分解得：$m^2 + n^2 + 2mn = (m+n)^2$
因此原式可化简为：
$\frac{3(m+n)}{(m+n)^2} = \frac{3}{m+n}$
由$m+n-3=0$，可得$m+n=3$，
将$m+n=3$代入$\frac{3}{m+n}$，得：
原式$=\frac{3}{3}=1$
所以该代数式的值为1。
解析
【分析】
解题时先观察已知条件和待求代数式的特征，已知条件可直接求出$m+n$的值，因此优先考虑将代数式化简为仅含$m+n$的形式，再整体代入计算。步骤上先对分子去括号、合并同类项，再对分母利用完全平方公式因式分解，约分后得到最简形式，最后代入$m+n$的值即可求出结果。
【解析】
解：先化简代数式：
分子展开合并同类项：$3(m-n)+6n = 3m - 3n + 6n = 3m + 3n = 3(m+n)$
分母利用完全平方和公式因式分解：$m^2 + n^2 + 2mn = (m+n)^2$
因此原式可化简为：
$\dfrac{3(m+n)}{(m+n)^2} = \dfrac{3}{m+n}$（$m+n≠0$）
由$m+n-3=0$，可得$m+n=3$，
将$m+n=3$代入$\dfrac{3}{m+n}$，得：
原式$=\dfrac{3}{3}=1$
【答案】
$1$
【知识点】
分式化简，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题考查代数式的化简求值，解题的核心是通过整式运算和因式分解将原式简化，利用整体代入的思想计算，无需单独求解$m$、$n$的取值，大大简化了计算过程。
【难度系数】
0.8
解题时先观察已知条件和待求代数式的特征，已知条件可直接求出$m+n$的值，因此优先考虑将代数式化简为仅含$m+n$的形式，再整体代入计算。步骤上先对分子去括号、合并同类项，再对分母利用完全平方公式因式分解，约分后得到最简形式，最后代入$m+n$的值即可求出结果。
【解析】
解：先化简代数式：
分子展开合并同类项：$3(m-n)+6n = 3m - 3n + 6n = 3m + 3n = 3(m+n)$
分母利用完全平方和公式因式分解：$m^2 + n^2 + 2mn = (m+n)^2$
因此原式可化简为：
$\dfrac{3(m+n)}{(m+n)^2} = \dfrac{3}{m+n}$（$m+n≠0$）
由$m+n-3=0$，可得$m+n=3$，
将$m+n=3$代入$\dfrac{3}{m+n}$，得：
原式$=\dfrac{3}{3}=1$
【答案】
$1$
【知识点】
分式化简，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题考查代数式的化简求值，解题的核心是通过整式运算和因式分解将原式简化，利用整体代入的思想计算，无需单独求解$m$、$n$的取值，大大简化了计算过程。
【难度系数】
0.8
15. 计算：
答案
解：
(1) 先计算乘方运算：
$(\frac{a^2b}{-cd^3})^3 = -\frac{a^6b^3}{c^3d^9}$，$(\frac{c}{2a})^2 = \frac{c^2}{4a^2}$
将除法转化为乘法：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&= -\frac{a^6b^3}{c^3d^9} · \frac{d^3}{2a} · \frac{c^2}{4a^2}\\&= -\frac{a^6b^3 · d^3 · c^2}{c^3d^9 · 2a · 4a^2}\\&= -\frac{a^3b^3}{8cd^6}\end{aligned}$
(2) 先对多项式因式分解：
$a^2-4a+4=(a-2)^2$，$a^2-1=(a+1)(a-1)$，$a^2-4=(a+2)(a-2)$
将除法转化为乘法：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&= \frac{a-1}{(a-2)^2} · \frac{(a+2)(a-2)}{(a+1)(a-1)}\\&= \frac{a+2}{(a-2)(a+1)}\\&= \frac{a+2}{a^2 -a -2}\end{aligned}$
(1) 先计算乘方运算：
$(\frac{a^2b}{-cd^3})^3 = -\frac{a^6b^3}{c^3d^9}$，$(\frac{c}{2a})^2 = \frac{c^2}{4a^2}$
将除法转化为乘法：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&= -\frac{a^6b^3}{c^3d^9} · \frac{d^3}{2a} · \frac{c^2}{4a^2}\\&= -\frac{a^6b^3 · d^3 · c^2}{c^3d^9 · 2a · 4a^2}\\&= -\frac{a^3b^3}{8cd^6}\end{aligned}$
(2) 先对多项式因式分解：
$a^2-4a+4=(a-2)^2$，$a^2-1=(a+1)(a-1)$，$a^2-4=(a+2)(a-2)$
将除法转化为乘法：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&= \frac{a-1}{(a-2)^2} · \frac{(a+2)(a-2)}{(a+1)(a-1)}\\&= \frac{a+2}{(a-2)(a+1)}\\&= \frac{a+2}{a^2 -a -2}\end{aligned}$
解析
【分析】
(1) 本题是分式乘方、乘除混合运算，遵循“先乘方、再乘除”的运算顺序思考：首先根据分式乘方法则计算两个乘方项，再将除法转化为乘法运算，最后依据同底数幂的运算法则约分，计算时要注意负号的处理。
(2) 本题是含多项式的分式除法运算，先观察到分子分母都是二次多项式，第一步先对各多项式因式分解，再将除法转化为乘以除式的倒数，最后约去分子分母的公因式即可化简，注意约分要彻底。
【解析】
(1) 先计算乘方运算：
$(\frac{a^2b}{-cd^3})^3 = -\frac{a^6b^3}{c^3d^9}$，$(\frac{c}{2a})^2 = \frac{c^2}{4a^2}$
将除法转化为乘法，再约分计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&= -\frac{a^6b^3}{c^3d^9} · \frac{d^3}{2a} · \frac{c^2}{4a^2}\\&= -\frac{a^6b^3 · d^3 · c^2}{c^3d^9 · 2a · 4a^2}\\&= -\frac{a^3b^3}{8cd^6}\end{aligned}$
(2) 先对多项式因式分解：
$a^2-4a+4=(a-2)^2$，$a^2-1=(a+1)(a-1)$，$a^2-4=(a+2)(a-2)$
将除法转化为乘法，再约分计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&= \frac{a-1}{(a-2)^2} · \frac{(a+2)(a-2)}{(a+1)(a-1)}\\&= \frac{a+2}{(a-2)(a+1)}\\&= \frac{a+2}{a^2 -a -2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-\dfrac{a^3b^3}{8cd^6}}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{a+2}{a^2-a-2}}$（或$\boldsymbol{\dfrac{a+2}{(a-2)(a+1)}}$）
【知识点】
分式乘除运算，幂的运算，因式分解
【点评】
本题是分式运算的常规题型，核心考查运算顺序、幂的运算法则及因式分解的应用，计算时需注意符号判断和公因式的准确约分，是巩固分式运算能力的典型习题。
【难度系数】
0.7
(1) 本题是分式乘方、乘除混合运算，遵循“先乘方、再乘除”的运算顺序思考：首先根据分式乘方法则计算两个乘方项，再将除法转化为乘法运算，最后依据同底数幂的运算法则约分，计算时要注意负号的处理。
(2) 本题是含多项式的分式除法运算，先观察到分子分母都是二次多项式，第一步先对各多项式因式分解，再将除法转化为乘以除式的倒数，最后约去分子分母的公因式即可化简，注意约分要彻底。
【解析】
(1) 先计算乘方运算：
$(\frac{a^2b}{-cd^3})^3 = -\frac{a^6b^3}{c^3d^9}$，$(\frac{c}{2a})^2 = \frac{c^2}{4a^2}$
将除法转化为乘法，再约分计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&= -\frac{a^6b^3}{c^3d^9} · \frac{d^3}{2a} · \frac{c^2}{4a^2}\\&= -\frac{a^6b^3 · d^3 · c^2}{c^3d^9 · 2a · 4a^2}\\&= -\frac{a^3b^3}{8cd^6}\end{aligned}$
(2) 先对多项式因式分解：
$a^2-4a+4=(a-2)^2$，$a^2-1=(a+1)(a-1)$，$a^2-4=(a+2)(a-2)$
将除法转化为乘法，再约分计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&= \frac{a-1}{(a-2)^2} · \frac{(a+2)(a-2)}{(a+1)(a-1)}\\&= \frac{a+2}{(a-2)(a+1)}\\&= \frac{a+2}{a^2 -a -2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-\dfrac{a^3b^3}{8cd^6}}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{a+2}{a^2-a-2}}$（或$\boldsymbol{\dfrac{a+2}{(a-2)(a+1)}}$）
【知识点】
分式乘除运算，幂的运算，因式分解
【点评】
本题是分式运算的常规题型，核心考查运算顺序、幂的运算法则及因式分解的应用，计算时需注意符号判断和公因式的准确约分，是巩固分式运算能力的典型习题。
【难度系数】
0.7
16. 甲、乙两地之间的公路全长100 km，某人骑自行车从甲地到乙地每小时行驶m km，用代数式表示：
(1)此人从甲地到乙地需要行驶多长时间？
(2)如果此人每小时多行驶5 km，那么此人从甲地到乙地需要行驶多长时间？
(3)此人从甲地到乙地的原行驶速度为20 km/h，在(2)的条件下，此人从甲地到乙地少用了多长时间？
(1)此人从甲地到乙地需要行驶多长时间？
(2)如果此人每小时多行驶5 km，那么此人从甲地到乙地需要行驶多长时间？
(3)此人从甲地到乙地的原行驶速度为20 km/h，在(2)的条件下，此人从甲地到乙地少用了多长时间？
答案
解：
(1) 由时间=路程÷速度，得此人从甲地到乙地需要行驶的时间为$\frac{100}{m}\ \mathrm{h}$。
(2) 提速后行驶速度为$(m+5)\ \mathrm{km/h}$，此时从甲地到乙地需要行驶的时间为$\frac{100}{m+5}\ \mathrm{h}$。
(3) 当$m=20$时，少用的时间为：
$\frac{100}{m}-\frac{100}{m+5}=\frac{100}{20}-\frac{100}{20+5}=5-4=1\ \mathrm{h}$
答：(1) 此人从甲地到乙地需要行驶$\frac{100}{m}$小时；(2) 提速后需要行驶$\frac{100}{m+5}$小时；(3) 少用了1小时。
(1) 由时间=路程÷速度，得此人从甲地到乙地需要行驶的时间为$\frac{100}{m}\ \mathrm{h}$。
(2) 提速后行驶速度为$(m+5)\ \mathrm{km/h}$，此时从甲地到乙地需要行驶的时间为$\frac{100}{m+5}\ \mathrm{h}$。
(3) 当$m=20$时，少用的时间为：
$\frac{100}{m}-\frac{100}{m+5}=\frac{100}{20}-\frac{100}{20+5}=5-4=1\ \mathrm{h}$
答：(1) 此人从甲地到乙地需要行驶$\frac{100}{m}$小时；(2) 提速后需要行驶$\frac{100}{m+5}$小时；(3) 少用了1小时。
解析
【分析】
本题属于行程类代数式应用问题，核心解题依据是行程问题基本公式：$\mathrm{时间}=\mathrm{路程}÷\mathrm{速度}$。解题思路如下：
1. 第(1)问已知甲乙两地总路程为100km，原行驶速度为$m\ \mathrm{km/h}$，直接代入公式即可得到原行驶时间的代数式；
2. 第(2)问先求出提速后的速度为$(m+5)\ \mathrm{km/h}$，再次代入时间公式即可得到提速后的行驶时间；
3. 第(3)问少用的时间为原行驶时间减去提速后行驶时间，先列出时间差的代数式，再将$m=20$代入计算即可得到具体结果。
【解析】
解：
(1) 根据$\mathrm{时间}=\mathrm{路程}÷\mathrm{速度}$，可得从甲地到乙地需要行驶的时间为$\frac{100}{m}\ \mathrm{h}$。
(2) 提速后行驶速度为$(m+5)\ \mathrm{km/h}$，此时从甲地到乙地需要行驶的时间为$\frac{100}{m+5}\ \mathrm{h}$。
(3) 少用的时间为原时间减去提速后的时间，当$m=20$时：
$\frac{100}{m}-\frac{100}{m+5}=\frac{100}{20}-\frac{100}{20+5}=5-4=1\ \mathrm{h}$
答：(1) 此人从甲地到乙地需要行驶$\frac{100}{m}$小时；(2) 提速后需要行驶$\frac{100}{m+5}$小时；(3) 少用了1小时。
【答案】
(1) $\frac{100}{m}\ \mathrm{h}$；(2) $\frac{100}{m+5}\ \mathrm{h}$；(3) $1\ \mathrm{h}$
【知识点】
列代数式；代数式求值；行程问题公式
【点评】
本题是基础的代数应用题型，结合日常出行场景考察代数式的列写与求值运算，难度较低，熟练掌握行程问题基本公式、细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
本题属于行程类代数式应用问题，核心解题依据是行程问题基本公式：$\mathrm{时间}=\mathrm{路程}÷\mathrm{速度}$。解题思路如下：
1. 第(1)问已知甲乙两地总路程为100km，原行驶速度为$m\ \mathrm{km/h}$，直接代入公式即可得到原行驶时间的代数式；
2. 第(2)问先求出提速后的速度为$(m+5)\ \mathrm{km/h}$，再次代入时间公式即可得到提速后的行驶时间；
3. 第(3)问少用的时间为原行驶时间减去提速后行驶时间，先列出时间差的代数式，再将$m=20$代入计算即可得到具体结果。
【解析】
解：
(1) 根据$\mathrm{时间}=\mathrm{路程}÷\mathrm{速度}$，可得从甲地到乙地需要行驶的时间为$\frac{100}{m}\ \mathrm{h}$。
(2) 提速后行驶速度为$(m+5)\ \mathrm{km/h}$，此时从甲地到乙地需要行驶的时间为$\frac{100}{m+5}\ \mathrm{h}$。
(3) 少用的时间为原时间减去提速后的时间，当$m=20$时：
$\frac{100}{m}-\frac{100}{m+5}=\frac{100}{20}-\frac{100}{20+5}=5-4=1\ \mathrm{h}$
答：(1) 此人从甲地到乙地需要行驶$\frac{100}{m}$小时；(2) 提速后需要行驶$\frac{100}{m+5}$小时；(3) 少用了1小时。
【答案】
(1) $\frac{100}{m}\ \mathrm{h}$；(2) $\frac{100}{m+5}\ \mathrm{h}$；(3) $1\ \mathrm{h}$
【知识点】
列代数式；代数式求值；行程问题公式
【点评】
本题是基础的代数应用题型，结合日常出行场景考察代数式的列写与求值运算，难度较低，熟练掌握行程问题基本公式、细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
17. 先化简$\frac{x^2 -1}{x^2 -4x +4} ÷ (x -1) · \frac{x -2}{x^2 +x}$，再从1，-1，2，-2中选择一个合适的x值代入，求代数式的值。
答案
解：
先对原式因式分解并化简：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{(x+1)(x-1)}{(x-2)^2} · \frac{1}{x-1} · \frac{x-2}{x(x+1)}\\&=\frac{(x+1)(x-1)(x-2)}{(x-2)^2(x-1)· x(x+1)}\\&=\frac{1}{x(x-2)}\end{aligned}$
要使原式有意义，需满足：
$x^2-4x+4≠0$，$x-1≠0$，$x^2+x≠0$，
解得$x≠2$，$x≠1$，$x≠0$，$x≠-1$，
因此在1，-1，2，-2中，仅可选取$x=-2$。
将$x=-2$代入$\frac{1}{x(x-2)}$：
$\mathrm{原式}=\frac{1}{(-2)×(-2-2)}=\frac{1}{8}$
代数式的值为$\frac{1}{8}$。
先对原式因式分解并化简：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{(x+1)(x-1)}{(x-2)^2} · \frac{1}{x-1} · \frac{x-2}{x(x+1)}\\&=\frac{(x+1)(x-1)(x-2)}{(x-2)^2(x-1)· x(x+1)}\\&=\frac{1}{x(x-2)}\end{aligned}$
要使原式有意义，需满足：
$x^2-4x+4≠0$，$x-1≠0$，$x^2+x≠0$，
解得$x≠2$，$x≠1$，$x≠0$，$x≠-1$，
因此在1，-1，2，-2中，仅可选取$x=-2$。
将$x=-2$代入$\frac{1}{x(x-2)}$：
$\mathrm{原式}=\frac{1}{(-2)×(-2-2)}=\frac{1}{8}$
代数式的值为$\frac{1}{8}$。
解析
【分析】
这是一道分式化简求值类题目，解题思路可分为三步：第一步，处理分式乘除混合运算，先将除法转化为乘法，再对各个分式的分子、分母因式分解，方便后续约分；第二步，约去分子分母的公因式，得到最简分式；第三步，确定x的可取值：要让原式有意义，需所有分母不为0，且作为除式的$x-1$不为0，据此排除不符合条件的x值，选取合适的x代入最简式计算即可。
【解析】
先对原式因式分解，将除法转化为乘法：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{(x+1)(x-1)}{(x-2)^2} ÷ (x -1) · \frac{x -2}{x^2 +x}\\&=\frac{(x+1)(x-1)}{(x-2)^2} · \frac{1}{x-1} · \frac{x-2}{x(x+1)}\end{aligned}$
约去分子分母的公因式$(x+1)、(x-1)、(x-2)$，化简得：
$\mathrm{原式}=\frac{1}{x(x-2)}$
再确定x的可取范围：要使原式有意义，需满足：
$\begin{cases}(x-2)^2≠0\\x-1≠0\\x(x+1)≠0\end{cases}$，解得$x≠2、x≠1、x≠0、x≠-1$
结合给出的可选值，仅$x=-2$符合要求。
将$x=-2$代入最简式计算：
$\mathrm{原式}=\frac{1}{(-2)×(-2-2)}=\frac{1}{(-2)×(-4)}=\frac{1}{8}$
【答案】
$\frac{1}{8}$
【知识点】
分式乘除运算，分式有意义的条件，因式分解
【点评】
本题是分式化简求值的常规题型，解题核心是先化简再求值，易错点是容易忽略分式有意义的限制条件，随意选取x代入导致错误，解题时需先明确x的允许取值范围再代入计算。
【难度系数】
0.7
这是一道分式化简求值类题目，解题思路可分为三步：第一步，处理分式乘除混合运算，先将除法转化为乘法，再对各个分式的分子、分母因式分解，方便后续约分；第二步，约去分子分母的公因式，得到最简分式；第三步，确定x的可取值：要让原式有意义，需所有分母不为0，且作为除式的$x-1$不为0，据此排除不符合条件的x值，选取合适的x代入最简式计算即可。
【解析】
先对原式因式分解，将除法转化为乘法：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{(x+1)(x-1)}{(x-2)^2} ÷ (x -1) · \frac{x -2}{x^2 +x}\\&=\frac{(x+1)(x-1)}{(x-2)^2} · \frac{1}{x-1} · \frac{x-2}{x(x+1)}\end{aligned}$
约去分子分母的公因式$(x+1)、(x-1)、(x-2)$，化简得：
$\mathrm{原式}=\frac{1}{x(x-2)}$
再确定x的可取范围：要使原式有意义，需满足：
$\begin{cases}(x-2)^2≠0\\x-1≠0\\x(x+1)≠0\end{cases}$，解得$x≠2、x≠1、x≠0、x≠-1$
结合给出的可选值，仅$x=-2$符合要求。
将$x=-2$代入最简式计算：
$\mathrm{原式}=\frac{1}{(-2)×(-2-2)}=\frac{1}{(-2)×(-4)}=\frac{1}{8}$
【答案】
$\frac{1}{8}$
【知识点】
分式乘除运算，分式有意义的条件，因式分解
【点评】
本题是分式化简求值的常规题型，解题核心是先化简再求值，易错点是容易忽略分式有意义的限制条件，随意选取x代入导致错误，解题时需先明确x的允许取值范围再代入计算。
【难度系数】
0.7
