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10. (2024·四川中考)如图,在一个平面区域内,一台雷达探测器测得在点A,B,C处有目标出现.按某种规则,点A,B的位置可以分别表示为$(1,90°)$,$B(2,240°)$,则点C的位置可以表示为
$(3,30°)$
.答案
10. $(3,30°)$ 解析:
∵ 点$A,B$的位置可以分别表示为$(1,90°)$,$(2,240°)$,$\therefore$ 点$C$的位置可以表示为$(3,30°)$.
∵ 点$A,B$的位置可以分别表示为$(1,90°)$,$(2,240°)$,$\therefore$ 点$C$的位置可以表示为$(3,30°)$.
11. 点 A 的坐标为$(1,4)$，点 P 在 x 轴上，且$PA=$5，则点 P 的坐标为
$(4,0)$或$(-2,0)$
.答案
11. $(4,0)$或$(-2,0)$ 解析:
∵ 点$P$在$x$轴上,$\therefore$ 设$P(x,0)$.
∵ 点$A$的坐标为$(1,4)$,且$PA=5$,$\therefore (x-1)^2+4^2=25$,解得$x=4$或$-2$,$\therefore$ 点$P$的坐标为$(4,0)$或$(-2,0)$.
∵ 点$P$在$x$轴上,$\therefore$ 设$P(x,0)$.
∵ 点$A$的坐标为$(1,4)$,且$PA=5$,$\therefore (x-1)^2+4^2=25$,解得$x=4$或$-2$,$\therefore$ 点$P$的坐标为$(4,0)$或$(-2,0)$.
12. (2025·辽宁中考改编) 在平面直角坐标系$xOy$中,点$A$的坐标为$(3,0)$,点$B$的坐标为$(2,-2)$,将线段$AB$平移得到线段$CD$,点$A$的对应点$C$的坐标为$(3,5)$,则点$B$的对应点$D$的坐标为
$(2,3)$
.答案
12. $(2,3)$ 解析:由题意,点$A$向上平移5个单位长度得到点$C$,$\therefore$ 点$B$向上平移5个单位长度得到点$D$,$\therefore$ 点$D$的坐标为$(2,-2+5)$,即$(2,3)$.
13. 坐标平面上有一个轴对称图形，$A(3,-\dfrac{5}{2})$，$B(3,-\dfrac{11}{2})$两点在此图形上且互为对称点.若此图形上有一点$C(-2,-9)$，则$C$的对称点坐标为
$(-2,1)$
.答案
13. $(-2,1)$ 解析:
∵$A,B$关于某条直线对称,且$A,B$的横坐标相同,$\therefore$ 对称轴平行于$x$轴.又
∵$A$的纵坐标为$-\dfrac{5}{2}$,$B$的纵坐标为$-\dfrac{11}{2}$,$\therefore$ 对称轴为直线$y=\dfrac{(-\dfrac{5}{2})+(-\dfrac{11}{2})}{2}=-4$.设$C(-2,-9)$关于直线$y=-4$的对称点为$(-2,m)$,则$\dfrac{-9+m}{2}=-4$,解得$m=1$,$\therefore C$的对称点坐标为$(-2,1)$.
∵$A,B$关于某条直线对称,且$A,B$的横坐标相同,$\therefore$ 对称轴平行于$x$轴.又
∵$A$的纵坐标为$-\dfrac{5}{2}$,$B$的纵坐标为$-\dfrac{11}{2}$,$\therefore$ 对称轴为直线$y=\dfrac{(-\dfrac{5}{2})+(-\dfrac{11}{2})}{2}=-4$.设$C(-2,-9)$关于直线$y=-4$的对称点为$(-2,m)$,则$\dfrac{-9+m}{2}=-4$,解得$m=1$,$\therefore C$的对称点坐标为$(-2,1)$.
14. (2025·上海期末)如图,在平面直角坐标系中,以点 P 为圆心的弧与 x 轴交于 A,B 两点,已知点 P 的坐标为$(1,y)$,点 A 的坐标为$(-1,0)$,那么点 B 的坐标为
$(3,0)$
.答案
14. $(3,0)$ 解析:过点$P$作$PF ⊥ AB$,连接$PA,PB$,在$\mathrm{Rt}△ PFA$和$\mathrm{Rt}△ PFB$中,$\begin{cases} PA=PB, \\ PF=PF, \end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt} △ PFA ≌ \mathrm{Rt} △ PFB$,$\therefore AF=BF=1-(-1)=2$,$\therefore B(3,0)$.
15. 在平面直角坐标系中,点 $P(x,y)$ 经过某种变换后得到点 $P'(-y+1,x+2)$ ,我们把点$P'(-y+1,x+2)$ 叫作点 $P(x,y)$ 的终结点.已知点 $P_1$ 的终结点为 $P_2$,点 $P_2$ 的终结点为$P_3$,点 $P_3$ 的终结点为 $P_4$,这样依次得到 $P_1$,$P_2,P_3,P_4,\dots,P_n$.若点 $P_1$ 的坐标为 $(2,0)$,则点 $P_{2\ 026}$ 的坐标为
$(1,4)$
.答案
15. $(1,4)$ 解析:根据题意得点$P_1$的坐标为$(2,0)$,则点$P_2$的坐标为$(1,4)$,点$P_3$的坐标为$(-3,3)$,点$P_4$的坐标为$(-2,-1)$,点$P_5$的坐标为$(2,0)$,$···$,每4次一个循环,又$2026 ÷ 4=506 ······ 2$,$\therefore$ 点$P_{2026}$的坐标与点$P_2$的坐标相同,为$(1,4)$.
16. 如图,平面直角坐标系内有一点$A(1,-1)$,O是原点,P是x轴上一动点,如果以P,O,A为顶点的三角形是等腰三角形,那么点P的坐标为
$(1,0)$或$(\sqrt{2},0)$或$(2,0)$或$(-\sqrt{2},0)$
.答案
16. $(1,0)$或$(\sqrt{2},0)$或$(2,0)$或$(-\sqrt{2},0)$
解析:如图,①以$OA$为等腰三角形底边时,符合条件的动点$P$有一个,即$P_1(1,0)$;②以$OA$为等腰三角形一条腰时,符合条件的动点$P$有三个,即$P_2(\sqrt{2},0)$,$P_3(2,0)$,$P_4(-\sqrt{2},0)$.综上所述,符合条件的点$P$的坐标是$(1,0)$或$(\sqrt{2},0)$或$(2,0)$或$(-\sqrt{2},0)$.
三、解答题(共64分)
17.(6分)如图是阶梯的横截面,每个台阶的高、宽分别是1和2,每个台阶拐角的顶点分别为A,B,C,D,E.
(1)若以C为原点,水平向右为x轴正方向,竖直向上为y轴正方向,在图中补画出x轴、y轴,并直接写出点A,D的坐标;
(2)在(1)的基础上平移坐标轴,使台阶拐角顶点中的3个顶点落在第一象限,2个顶点落在第三象限,设点B的横坐标为a,求平移后a的取值范围.
17.(6分)如图是阶梯的横截面,每个台阶的高、宽分别是1和2,每个台阶拐角的顶点分别为A,B,C,D,E.
(1)若以C为原点,水平向右为x轴正方向,竖直向上为y轴正方向,在图中补画出x轴、y轴,并直接写出点A,D的坐标;
(2)在(1)的基础上平移坐标轴,使台阶拐角顶点中的3个顶点落在第一象限,2个顶点落在第三象限,设点B的横坐标为a,求平移后a的取值范围.
答案
17. (1) 如图所示.$A(-4,-2)$,$D(2,1)$.
(2) 根据题意可知,$C,D,E$三个顶点同时落在第一象限,$A,B$两个顶点落在第三象限,$\therefore$ 此时要保证$x$轴在点$C$下方,且在点$B$上方,$y$轴在点$C$左侧,且在点$B$右侧.
∵ 每个台阶的宽是2,$\therefore a$的取值范围是$-2＜a＜0$.
