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8. 已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 $x^{2}-3x=4(x-3)$ 的两个实数根，则该直角三角形斜边上的中线长是（
A.3
B.4
C.6
D.$\dfrac{5}{2}$
D
）A.3
B.4
C.6
D.$\dfrac{5}{2}$
答案
8. D 解析:整理原方程,得$(x-3)(x-4)=0$,$\therefore x_1=3,x_2=4$,则该直角三角形两直角边的长分别为3、4,$\therefore$斜边长为$\sqrt{3^2+4^2}=5$,$\therefore$该直角三角形斜边上的中线长为$\frac{5}{2}$.
解析
【分析】
要解决这个问题，需分三步思考：首先求解给定的一元二次方程，得到直角三角形两条直角边的长度；接着利用勾股定理计算斜边长；最后根据直角三角形斜边中线的性质（斜边上的中线等于斜边的一半）求出中线长度。
【解析】
解：先整理方程 $x^2 - 3x = 4(x - 3)$，移项得：
$x^2 - 7x + 12 = 0$，
因式分解得：$(x - 3)(x - 4) = 0$，
解得方程的两个根为 $x_1 = 3$，$x_2 = 4$，
即该直角三角形的两条直角边长分别为3和4。
根据勾股定理，斜边长为 $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$，
又因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
所以斜边上的中线长为 $\frac{1}{2} × 5 = \frac{5}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的解法、勾股定理、直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题综合考查一元二次方程求解、勾股定理及直角三角形性质，属于基础综合题，步骤清晰，需熟练掌握相关知识点的应用。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需分三步思考：首先求解给定的一元二次方程，得到直角三角形两条直角边的长度；接着利用勾股定理计算斜边长；最后根据直角三角形斜边中线的性质（斜边上的中线等于斜边的一半）求出中线长度。
【解析】
解：先整理方程 $x^2 - 3x = 4(x - 3)$，移项得：
$x^2 - 7x + 12 = 0$，
因式分解得：$(x - 3)(x - 4) = 0$，
解得方程的两个根为 $x_1 = 3$，$x_2 = 4$，
即该直角三角形的两条直角边长分别为3和4。
根据勾股定理，斜边长为 $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$，
又因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
所以斜边上的中线长为 $\frac{1}{2} × 5 = \frac{5}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的解法、勾股定理、直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题综合考查一元二次方程求解、勾股定理及直角三角形性质，属于基础综合题，步骤清晰，需熟练掌握相关知识点的应用。
【难度系数】
0.6
9. 用因式分解法解方程$x^{2}+px-6=0$，若将左边分解后有一个因式是$x+3$，则$p$的值是（
A.$-1$
B.$1$
C.$-5$
D.$5$
B
）A.$-1$
B.$1$
C.$-5$
D.$5$
答案
9. B 解析:根据题意,得当$x=-3$时,$x^2+px-6=0$,$\therefore (-3)^2-3p-6=0$,$\therefore p=1$.
解析
【分析】
要解决这个问题，可利用两种思路：一是根据因式分解与整式乘法的互逆性，设出另一个因式后对比系数求$p$；二是利用方程根的定义，将因式对应的根代入方程直接计算$p$，两种方法都能快速得出结果。
【解析】
方法一：利用因式分解的互逆性
设方程左边分解后的另一个因式为$x + m$，则：
$(x + 3)(x + m) = x^2 + (3 + m)x + 3m$
对比原方程左边$x^2 + px - 6$，可得：
常数项：$3m = -6$，解得$m = -2$；
一次项系数：$p = 3 + m = 3 + (-2) = 1$。
方法二：利用方程根的定义
因为$x + 3$是方程左边的因式，所以$x = -3$是方程$x^2 + px - 6 = 0$的根，将$x = -3$代入方程得：
$(-3)^2 + p×(-3) - 6 = 0$
化简得：$9 - 3p - 6 = 0$，即$3 - 3p = 0$，解得$p = 1$。
【答案】
B
【知识点】
因式分解、一元二次方程的根
【点评】
本题考查因式分解与一元二次方程根的关系，属于基础题型，解题方法直观易懂，掌握核心知识点即可快速求解，适合巩固基础。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，可利用两种思路：一是根据因式分解与整式乘法的互逆性，设出另一个因式后对比系数求$p$；二是利用方程根的定义，将因式对应的根代入方程直接计算$p$，两种方法都能快速得出结果。
【解析】
方法一：利用因式分解的互逆性
设方程左边分解后的另一个因式为$x + m$，则：
$(x + 3)(x + m) = x^2 + (3 + m)x + 3m$
对比原方程左边$x^2 + px - 6$，可得：
常数项：$3m = -6$，解得$m = -2$；
一次项系数：$p = 3 + m = 3 + (-2) = 1$。
方法二：利用方程根的定义
因为$x + 3$是方程左边的因式，所以$x = -3$是方程$x^2 + px - 6 = 0$的根，将$x = -3$代入方程得：
$(-3)^2 + p×(-3) - 6 = 0$
化简得：$9 - 3p - 6 = 0$，即$3 - 3p = 0$，解得$p = 1$。
【答案】
B
【知识点】
因式分解、一元二次方程的根
【点评】
本题考查因式分解与一元二次方程根的关系，属于基础题型，解题方法直观易懂，掌握核心知识点即可快速求解，适合巩固基础。
【难度系数】
0.6
10. 已知 $x=2$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $kx^{2}+(k^{2}-2)x+2k+4=0$ 的一个根,则 $k$ 的值为
$-3$
.答案
10. $-3$ 解析:把$x=2$代入$kx^2+(k^2-2)x+2k+4=0$,得$4k+2k^2-4+2k+4=0$,整理,得$k^2+3k=0$,解得$k_1=0,k_2=-3$.由题意,得$k≠0$,$\therefore k=-3$.
解析
【分析】首先，根据一元二次方程根的定义，将已知根$x=2$代入方程可得到关于$k$的方程；其次，原方程是一元二次方程，需满足二次项系数不为0，这是解题的易错点，最后解关于$k$的方程并排除不符合条件的解即可。
【解析】把$x=2$代入方程$kx^2+(k^2-2)x+2k+4=0$，得：
$k·2^2 + (k^2 - 2)·2 + 2k + 4 = 0$
计算化简：
$4k + 2k^2 - 4 + 2k + 4 = 0$
合并同类项得：
$2k^2 + 6k = 0$
两边同除以2得：
$k^2 + 3k = 0$
因式分解得：$k(k + 3) = 0$
解得：$k_1=0$，$k_2=-3$
因为原方程是一元二次方程，所以二次项系数$k≠0$，舍去$k=0$，故$k=-3$。
【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的定义
【点评】本题考查一元二次方程根的应用，解题关键是利用根的定义代入求解，需注意一元二次方程二次项系数不能为0的隐含条件，避免因遗漏该条件导致错误。
【难度系数】0.6
【解析】把$x=2$代入方程$kx^2+(k^2-2)x+2k+4=0$，得：
$k·2^2 + (k^2 - 2)·2 + 2k + 4 = 0$
计算化简：
$4k + 2k^2 - 4 + 2k + 4 = 0$
合并同类项得：
$2k^2 + 6k = 0$
两边同除以2得：
$k^2 + 3k = 0$
因式分解得：$k(k + 3) = 0$
解得：$k_1=0$，$k_2=-3$
因为原方程是一元二次方程，所以二次项系数$k≠0$，舍去$k=0$，故$k=-3$。
【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的定义
【点评】本题考查一元二次方程根的应用，解题关键是利用根的定义代入求解，需注意一元二次方程二次项系数不能为0的隐含条件，避免因遗漏该条件导致错误。
【难度系数】0.6
11. 若关于 $x$ 的方程 $x^2-2px+3q=0$ 的两根分别是 $-3$ 和 $5$,则多项式 $2x^2-4px+6q$ 可以分解为
$2(x+3)(x-5)$
。答案
11. $2(x+3)(x-5)$ 解析:$\because$关于$x$的方程$x^2-2px+3q=0$的两根分别是$-3$和$5$,$\therefore$此方程可化为$(x+3)(x-5)=0$,$\therefore 2x^2-4px+6q=2(x^2-2px+3q)=2(x+3)(x-5)$.
解析
【分析】
要解决这个问题，需利用一元二次方程的根与因式分解的关系：若一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两根为$x_1$、$x_2$，则方程可分解为$a(x-x_1)(x-x_2)=0$。首先根据已知方程的两根，得到该方程的因式分解形式，再对目标多项式提取公因式，转化为已知方程的形式，进而完成分解。
【解析】
已知关于$x$的方程$x^2-2px+3q=0$的两根为$-3$和$5$，根据一元二次方程根与因式分解的关系，该方程可分解为：
$(x+3)(x-5)=0$，即$x^2-2px+3q=(x+3)(x-5)$。
对多项式$2x^2-4px+6q$提取公因式$2$，可得：
$2x^2-4px+6q=2(x^2-2px+3q)$。
将$x^2-2px+3q=(x+3)(x-5)$代入上式，得：
$2x^2-4px+6q=2(x+3)(x-5)$。
【答案】
$2(x+3)(x-5)$
【知识点】
一元二次方程的因式分解、提取公因式法、因式分解的应用
【点评】
本题结合一元二次方程的根考查因式分解的应用，关键是找到目标多项式与已知方程的联系，通过提取公因式转化为已知方程的形式，再利用方程的因式分解结果完成分解，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，需利用一元二次方程的根与因式分解的关系：若一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两根为$x_1$、$x_2$，则方程可分解为$a(x-x_1)(x-x_2)=0$。首先根据已知方程的两根，得到该方程的因式分解形式，再对目标多项式提取公因式，转化为已知方程的形式，进而完成分解。
【解析】
已知关于$x$的方程$x^2-2px+3q=0$的两根为$-3$和$5$，根据一元二次方程根与因式分解的关系，该方程可分解为：
$(x+3)(x-5)=0$，即$x^2-2px+3q=(x+3)(x-5)$。
对多项式$2x^2-4px+6q$提取公因式$2$，可得：
$2x^2-4px+6q=2(x^2-2px+3q)$。
将$x^2-2px+3q=(x+3)(x-5)$代入上式，得：
$2x^2-4px+6q=2(x+3)(x-5)$。
【答案】
$2(x+3)(x-5)$
【知识点】
一元二次方程的因式分解、提取公因式法、因式分解的应用
【点评】
本题结合一元二次方程的根考查因式分解的应用，关键是找到目标多项式与已知方程的联系，通过提取公因式转化为已知方程的形式，再利用方程的因式分解结果完成分解，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.7
12. 解下列方程：
(1)$2(x-3)^{2}=x^{2}-9$；
(2)$(2x-1)^{2}-6(2x-1)+9=0$；
(3)$3(x-4)^{2}=x^{2}-16$；
(4)$2(x+5)^{2}=x^{2}+5x$；
(5)$(3x-4)^{2}=(4-3x)(x+2)$；
(6)$4(2x-1)^{2}-9(x+4)^{2}=0$。
(1)$2(x-3)^{2}=x^{2}-9$；
(2)$(2x-1)^{2}-6(2x-1)+9=0$；
(3)$3(x-4)^{2}=x^{2}-16$；
(4)$2(x+5)^{2}=x^{2}+5x$；
(5)$(3x-4)^{2}=(4-3x)(x+2)$；
(6)$4(2x-1)^{2}-9(x+4)^{2}=0$。
答案
12. (1)$x_1=3,x_2=9$. (2)$x_1=x_2=2$. (3)$x_1=4,x_2=8$. (4)$x_1=-5,x_2=-10$. (5)$x_1=\frac{4}{3},x_2=\frac{1}{2}$. (6)$x_1=14$,$x_2=-\frac{10}{7}$.
解析
【分析】
解一元二次方程时，优先观察方程结构，利用平方差公式、完全平方公式或提取公因式进行因式分解，将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，进而求解，可简化计算避免复杂运算。本题6个方程均适合用因式分解法，需注意移项后符号处理和公因式的正确提取。
【解析】
(1) 移项得：$2(x-3)^2 - (x^2 -9)=0$，利用平方差公式$x^2-9=(x-3)(x+3)$，原式变为$2(x-3)^2 - (x-3)(x+3)=0$，提取公因式$(x-3)$得：$(x-3)[2(x-3)-(x+3)]=0$，化简括号内得$x-9$，即$(x-3)(x-9)=0$，解得$x_1=3,x_2=9$；
(2) 左边符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$（$a=2x-1,b=3$），原式变为$(2x-1-3)^2=0$，即$(2x-4)^2=0$，解得$2x-4=0$，故$x_1=x_2=2$；
(3) 移项得：$3(x-4)^2 - (x^2 -16)=0$，$x^2-16=(x-4)(x+4)$，提取公因式$(x-4)$得：$(x-4)[3(x-4)-(x+4)]=0$，化简括号内得$2(x-8)$，即$(x-4)·2(x-8)=0$，解得$x_1=4,x_2=8$；
(4) 移项得：$2(x+5)^2 - (x^2 +5x)=0$，右边$x^2+5x=x(x+5)$，提取公因式$(x+5)$得：$(x+5)[2(x+5)-x]=0$，化简括号内得$x+10$，即$(x+5)(x+10)=0$，解得$x_1=-5,x_2=-10$；
(5) 移项得：$(3x-4)^2 - (4-3x)(x+2)=0$，注意$4-3x=-(3x-4)$，原式变为$(3x-4)^2 + (3x-4)(x+2)=0$，提取公因式$(3x-4)$得：$(3x-4)[(3x-4)+(x+2)]=0$，化简括号内得$4x-2$，即$(3x-4)(4x-2)=0$，解得$x_1=\frac{4}{3},x_2=\frac{1}{2}$；
(6) 左边符合平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$（$a=2(2x-1),b=3(x+4)$），原式变为$[2(2x-1)]^2 - [3(x+4)]^2=0$，分解得：$[2(2x-1)-3(x+4)][2(2x-1)+3(x+4)]=0$，计算括号内分别为$x-14$和$7x+10$，即$(x-14)(7x+10)=0$，解得$x_1=14,x_2=-\frac{10}{7}$；
【答案】
12. (1)$x_1=3,x_2=9$. (2)$x_1=x_2=2$. (3)$x_1=4,x_2=8$. (4)$x_1=-5,x_2=-10$. (5)$x_1=\frac{4}{3},x_2=\frac{1}{2}$. (6)$x_1=14$,$x_2=-\frac{10}{7}$.
【知识点】
一元二次方程的解法、因式分解法、平方差公式
【点评】
本题是一元二次方程的基础练习题，核心考查因式分解法的应用，通过观察方程结构灵活运用公式或提取公因式简化运算，解题时需注意符号处理，适合巩固一元二次方程解法的基础练习。
【难度系数】
0.8
解一元二次方程时，优先观察方程结构，利用平方差公式、完全平方公式或提取公因式进行因式分解，将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，进而求解，可简化计算避免复杂运算。本题6个方程均适合用因式分解法，需注意移项后符号处理和公因式的正确提取。
【解析】
(1) 移项得：$2(x-3)^2 - (x^2 -9)=0$，利用平方差公式$x^2-9=(x-3)(x+3)$，原式变为$2(x-3)^2 - (x-3)(x+3)=0$，提取公因式$(x-3)$得：$(x-3)[2(x-3)-(x+3)]=0$，化简括号内得$x-9$，即$(x-3)(x-9)=0$，解得$x_1=3,x_2=9$；
(2) 左边符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$（$a=2x-1,b=3$），原式变为$(2x-1-3)^2=0$，即$(2x-4)^2=0$，解得$2x-4=0$，故$x_1=x_2=2$；
(3) 移项得：$3(x-4)^2 - (x^2 -16)=0$，$x^2-16=(x-4)(x+4)$，提取公因式$(x-4)$得：$(x-4)[3(x-4)-(x+4)]=0$，化简括号内得$2(x-8)$，即$(x-4)·2(x-8)=0$，解得$x_1=4,x_2=8$；
(4) 移项得：$2(x+5)^2 - (x^2 +5x)=0$，右边$x^2+5x=x(x+5)$，提取公因式$(x+5)$得：$(x+5)[2(x+5)-x]=0$，化简括号内得$x+10$，即$(x+5)(x+10)=0$，解得$x_1=-5,x_2=-10$；
(5) 移项得：$(3x-4)^2 - (4-3x)(x+2)=0$，注意$4-3x=-(3x-4)$，原式变为$(3x-4)^2 + (3x-4)(x+2)=0$，提取公因式$(3x-4)$得：$(3x-4)[(3x-4)+(x+2)]=0$，化简括号内得$4x-2$，即$(3x-4)(4x-2)=0$，解得$x_1=\frac{4}{3},x_2=\frac{1}{2}$；
(6) 左边符合平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$（$a=2(2x-1),b=3(x+4)$），原式变为$[2(2x-1)]^2 - [3(x+4)]^2=0$，分解得：$[2(2x-1)-3(x+4)][2(2x-1)+3(x+4)]=0$，计算括号内分别为$x-14$和$7x+10$，即$(x-14)(7x+10)=0$，解得$x_1=14,x_2=-\frac{10}{7}$；
【答案】
12. (1)$x_1=3,x_2=9$. (2)$x_1=x_2=2$. (3)$x_1=4,x_2=8$. (4)$x_1=-5,x_2=-10$. (5)$x_1=\frac{4}{3},x_2=\frac{1}{2}$. (6)$x_1=14$,$x_2=-\frac{10}{7}$.
【知识点】
一元二次方程的解法、因式分解法、平方差公式
【点评】
本题是一元二次方程的基础练习题，核心考查因式分解法的应用，通过观察方程结构灵活运用公式或提取公因式简化运算，解题时需注意符号处理，适合巩固一元二次方程解法的基础练习。
【难度系数】
0.8
13. 已知多项式乘法公式:$(x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b)x+ab$,将该式从右到左使用,即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式:$x^{2}+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$.
示例:因式分解:$x^{2}+5x+6=x^{2}+(2+3)x+2 × 3=(x+2)(x+3)$.
(1)因式分解:$x^{2}+6x+8=(x+\_\_\_\_\_\_)(x+\_\_\_\_\_\_)$.
(2)请用上述方法解下列方程:
①$x^{2}-3x-4=0$;
②$x^{2}-7x+12=0$.
示例:因式分解:$x^{2}+5x+6=x^{2}+(2+3)x+2 × 3=(x+2)(x+3)$.
(1)因式分解:$x^{2}+6x+8=(x+\_\_\_\_\_\_)(x+\_\_\_\_\_\_)$.
(2)请用上述方法解下列方程:
①$x^{2}-3x-4=0$;
②$x^{2}-7x+12=0$.
答案
13. (1)2 4 解析:$x^2+6x+8=x^2+(2+4)x+2×4=(x+2)(x+4)$. (2)①$x^2-3x-4=x^2+(1-4)x+1×(-4)=(x-4)(x+1)=0$,$\therefore x_1=4,x_2=-1$. ②$x^2-7x+12=x^2+(-3-4)x+(-3)×(-4)=(x-3)(x-4)=0$,$\therefore x_1=3,x_2=4$.
解析
【分析】
本题考查十字相乘法因式分解及用因式分解法解一元二次方程。解题思路：①因式分解时，根据十字相乘法公式，需找到两个数，使它们的和等于二次三项式的一次项系数，乘积等于常数项，即可分解为$(x+a)(x+b)$的形式；②解方程时，先将方程左边用十字相乘法因式分解，再依据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”，转化为两个一元一次方程求解。
【解析】
(1) 对$x^2+6x+8$，需找和为6、积为8的两个数，即2和4，因此$x^2+6x+8=(x+2)(x+4)$；
(2) ① 对$x^2-3x-4=0$，找和为-3、积为-4的两个数，即1和-4，左边因式分解得$(x-4)(x+1)=0$，则$x-4=0$或$x+1=0$，解得$x_1=4$，$x_2=-1$；
② 对$x^2-7x+12=0$，找和为-7、积为12的两个数，即-3和-4，左边因式分解得$(x-3)(x-4)=0$，则$x-3=0$或$x-4=0$，解得$x_1=3$，$x_2=4$。
【答案】
(1) 2；4 (2) ①$x_1=4,x_2=-1$ ②$x_1=3,x_2=4$
【知识点】
十字相乘法因式分解，因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是十字相乘法的基础应用，先掌握二次三项式的十字分解，再迁移到解一元二次方程，步骤清晰，是一元二次方程解法的入门巩固题型，适合夯实基础。
【难度系数】
0.6
本题考查十字相乘法因式分解及用因式分解法解一元二次方程。解题思路：①因式分解时，根据十字相乘法公式，需找到两个数，使它们的和等于二次三项式的一次项系数，乘积等于常数项，即可分解为$(x+a)(x+b)$的形式；②解方程时，先将方程左边用十字相乘法因式分解，再依据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”，转化为两个一元一次方程求解。
【解析】
(1) 对$x^2+6x+8$，需找和为6、积为8的两个数，即2和4，因此$x^2+6x+8=(x+2)(x+4)$；
(2) ① 对$x^2-3x-4=0$，找和为-3、积为-4的两个数，即1和-4，左边因式分解得$(x-4)(x+1)=0$，则$x-4=0$或$x+1=0$，解得$x_1=4$，$x_2=-1$；
② 对$x^2-7x+12=0$，找和为-7、积为12的两个数，即-3和-4，左边因式分解得$(x-3)(x-4)=0$，则$x-3=0$或$x-4=0$，解得$x_1=3$，$x_2=4$。
【答案】
(1) 2；4 (2) ①$x_1=4,x_2=-1$ ②$x_1=3,x_2=4$
【知识点】
十字相乘法因式分解，因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是十字相乘法的基础应用，先掌握二次三项式的十字分解，再迁移到解一元二次方程，步骤清晰，是一元二次方程解法的入门巩固题型，适合夯实基础。
【难度系数】
0.6
