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12 [较难](1)探究:如图(1),在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,若∠B=30°,则∠ACD的度数是
(2)拓展:如图(2),∠MCN=90°,射线CP在∠MCN的内部,点A,B分别在CM,CN上,分别过点A,B作AD⊥CP,BE⊥CP,垂足分别为D,E,若∠CBE=70°,求∠CAD的度数;
(3)应用:如图(3),点A,B分别在∠MCN的边CM,CN上,射线CP在∠MCN的内部,点D,E在射线CP上,连接AD,BE,若∠ADP=∠BEP=60°,则∠CAD+∠CBE+∠ACB=
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°;(2)拓展:如图(2),∠MCN=90°,射线CP在∠MCN的内部,点A,B分别在CM,CN上,分别过点A,B作AD⊥CP,BE⊥CP,垂足分别为D,E,若∠CBE=70°,求∠CAD的度数;
(3)应用:如图(3),点A,B分别在∠MCN的边CM,CN上,射线CP在∠MCN的内部,点D,E在射线CP上,连接AD,BE,若∠ADP=∠BEP=60°,则∠CAD+∠CBE+∠ACB=
120
°.答案
12. [解](1)在$△ ABC$中,$∠ ACB=90^{\circ}$,$∠ B=30^{\circ}$,所以$∠ A=60^{\circ}$.因为$CD⊥ AB$,所以$∠ ADC=90^{\circ}$,所以$∠ ACD=90^{\circ}-∠ A=30^{\circ}$.故答案为30.
(2)因为$BE⊥ CP$,所以$∠ BEC=90^{\circ}$.因为$∠ CBE=70^{\circ}$,所以$∠ BCE=90^{\circ}-∠ CBE=20^{\circ}$.因为$∠ MCN=90^{\circ}$,所以$∠ ACD=90^{\circ}-∠ BCE=70^{\circ}$.因为$AD⊥ CP$,所以$∠ CAD=90^{\circ}-∠ ACD=20^{\circ}$.
(3)因为$∠ ADP$是$△ ACD$的一个外角,所以$∠ ADP=∠ ACD+∠ CAD=60^{\circ}$,同理,$∠ BEP=∠ BCE+∠ CBE=60^{\circ}$,所以$∠ CAD+∠ CBE+∠ ACB=∠ CAD+∠ CBE+∠ ACD+∠ BCE=(∠ CAD+∠ ACD)+(∠ CBE+∠ BCE)=120^{\circ}$.故答案为120.
(2)因为$BE⊥ CP$,所以$∠ BEC=90^{\circ}$.因为$∠ CBE=70^{\circ}$,所以$∠ BCE=90^{\circ}-∠ CBE=20^{\circ}$.因为$∠ MCN=90^{\circ}$,所以$∠ ACD=90^{\circ}-∠ BCE=70^{\circ}$.因为$AD⊥ CP$,所以$∠ CAD=90^{\circ}-∠ ACD=20^{\circ}$.
(3)因为$∠ ADP$是$△ ACD$的一个外角,所以$∠ ADP=∠ ACD+∠ CAD=60^{\circ}$,同理,$∠ BEP=∠ BCE+∠ CBE=60^{\circ}$,所以$∠ CAD+∠ CBE+∠ ACB=∠ CAD+∠ CBE+∠ ACD+∠ BCE=(∠ CAD+∠ ACD)+(∠ CBE+∠ BCE)=120^{\circ}$.故答案为120.
13 [2025浙江温州质检,中]如图,△ABC中,AD是BC边上的高,AE是∠BAC的平分线,∠EAD=15°,∠B=50°,求∠C的度数.
答案
13. [解]因为AD是BC边上的高,$∠ B=50^{\circ}$,所以$∠ ADB=90^{\circ}$,所以$∠ BAD=90^{\circ}-50^{\circ}=40^{\circ}$.因为$∠ EAD=15^{\circ}$,所以$∠ BAE=∠ BAD-∠ EAD=40^{\circ}-15^{\circ}=25^{\circ}$.因为AE是$∠ BAC$的平分线,所以$∠ BAC=2∠ BAE=50^{\circ}$.因为在$△ ABC$中,$∠ BAC+∠ B+∠ C=180^{\circ}$,$∠ B=50^{\circ}$,所以$∠ C=180^{\circ}-∠ B-∠ BAC=180^{\circ}-50^{\circ}-50^{\circ}=80^{\circ}$.
14 [2024河南新乡期中,较难]综合与实践课上,老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动.
【操作判断】(1)在△ABC中,∠B=40°,∠C=70°,作∠BAC的平分线AD交BC于点D.
①操作一:在图(1)中,用三角尺作BC边上的高AE,垂足为点E,求∠DAE的度数;
②操作二:如图(2),在AD上任取点F,作FE⊥BC,垂足为点E,直接写出∠DFE的度数.
【迁移探究】(2)如图(3),将操作二中“在AD上任取点F”改为“在DA的延长线上任取点F”,其他条件不变,判断∠DFE的度数是否会发生变化,并说明理由.
【拓展应用】(3)如图(4)、图(5),在△ABC中,∠ABC=α,∠ACB=β,AD是∠BAC的平分线,在直线AD上任取点F,过点F作EF⊥AD与直线BC交于点E,请求出∠DEF与α,β之间的数量关系.
【操作判断】(1)在△ABC中,∠B=40°,∠C=70°,作∠BAC的平分线AD交BC于点D.
①操作一:在图(1)中,用三角尺作BC边上的高AE,垂足为点E,求∠DAE的度数;
②操作二:如图(2),在AD上任取点F,作FE⊥BC,垂足为点E,直接写出∠DFE的度数.
【迁移探究】(2)如图(3),将操作二中“在AD上任取点F”改为“在DA的延长线上任取点F”,其他条件不变,判断∠DFE的度数是否会发生变化,并说明理由.
【拓展应用】(3)如图(4)、图(5),在△ABC中,∠ABC=α,∠ACB=β,AD是∠BAC的平分线,在直线AD上任取点F,过点F作EF⊥AD与直线BC交于点E,请求出∠DEF与α,β之间的数量关系.
答案
14. [解](1)①如图,AE即为所求
因为在$△ ABC$中,$∠ B=40^{\circ}$,$∠ C=70^{\circ}$,所以$∠ BAC=180^{\circ}-40^{\circ}-70^{\circ}=70^{\circ}$.因为AD是$∠ BAC$的平分线,所以$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=35^{\circ}$.因为$∠ ADC$是$△ ABD$的一个外角,所以$∠ ADC=∠ B+∠ BAD=40^{\circ}+35^{\circ}=75^{\circ}$.因为用三角尺作BC边上的高AE，垂足为点E,所以$∠ DAE=90^{\circ}-75^{\circ}=15^{\circ}$.
②$∠ DFE=15^{\circ}$.因为$∠ ADC$是$△ ABD$的一个外角,所以$∠ ADC=∠ B+∠ BAD=40^{\circ}+35^{\circ}=75^{\circ}$.因为$FE⊥ BC$,所以$∠ DFE=90^{\circ}-∠ ADC=15^{\circ}$.
(2)不变.理由如下:因为$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=35^{\circ}$,$∠ B=40^{\circ}$,$∠ ADC$是$△ ABD$的一个外角,所以$∠ ADC=∠ B+∠ BAD=40^{\circ}+35^{\circ}=75^{\circ}$.因为$FE⊥ BC$,所以$∠ DFE=90^{\circ}-∠ ADC=15^{\circ}$.
(3)如题图(4)所示,因为在$△ ABC$中,$∠ ABC=α$,$∠ ACB=β$,所以$∠ BAC=180^{\circ}-α-β$.因为AD是$∠ BAC$的平分线,所以$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=90^{\circ}-\frac{α+β}{2}$.因为$∠ ADC$是$△ ABD$的一个外角,所以$∠ ADC=∠ ABC+∠ BAD=α + 90^{\circ}-\frac{α+β}{2}=90^{\circ}+\frac{α - β}{2}$.因为$FE⊥ AD$,所以$∠ DEF=90^{\circ}-∠ ADC=90^{\circ}-(90^{\circ}+\frac{α - β}{2})=\frac{β - α}{2}$.
如题图(5)所示,因为在$△ ABC$中,$∠ ABC=α$,$∠ ACB=β$,所以$∠ BAC=180^{\circ}-α-β$.因为AD是$∠ BAC$的平分线,所以$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=90^{\circ}-\frac{α+β}{2}$,所以$∠ ADB=180^{\circ}-∠ ABC-∠ BAD=180^{\circ}-α-(90^{\circ}-\frac{α+β}{2})=90^{\circ}-\frac{α - β}{2}$.因为$FE⊥ AD$,所以$∠ DEF=90^{\circ}-∠ ADB=90^{\circ}-(90^{\circ}-\frac{α - β}{2})=\frac{α - β}{2}$.综上所述,$∠ DEF=\frac{β - α}{2}$或$∠ DEF=\frac{α - β}{2}$.
