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1. 二次函数的概念
一般地，形如
一般地，形如
$y=ax^2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)$
的函数，叫作二次函数。其中$x$
是自变量，$a,b,c$
分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。答案
1. 形如 $y=ax^2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)$，其中 $x$ 是自变量，$a,b,c$ 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。
典例1 下列函数是关于x的二次函数的是().
A.$y=2x^3 + 3x$
B.$y=\frac{1}{3x}$
C.$y=a(x-1)^2 + c$
D.$y=\frac{1}{5}x^2 + 3$
A.$y=2x^3 + 3x$
B.$y=\frac{1}{3x}$
C.$y=a(x-1)^2 + c$
D.$y=\frac{1}{5}x^2 + 3$
答案
D
解析
根据二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$为常数，且$a≠0$）的函数是关于$x$的二次函数，逐一分析选项：
1. 选项A：函数中$x$的最高次数是3，属于三次函数，不是二次函数；
2. 选项B：函数是反比例函数，自变量$x$在分母，不是整式函数，不是二次函数；
3. 选项C：未明确说明$a≠0$，当$a=0$时函数为常数函数，不一定是二次函数；
4. 选项D：函数$y=\frac{1}{5}x^2+3$符合二次函数的定义，二次项系数$\frac{1}{5}≠0$，是关于$x$的二次函数。
1. 选项A：函数中$x$的最高次数是3，属于三次函数，不是二次函数；
2. 选项B：函数是反比例函数，自变量$x$在分母，不是整式函数，不是二次函数；
3. 选项C：未明确说明$a≠0$，当$a=0$时函数为常数函数，不一定是二次函数；
4. 选项D：函数$y=\frac{1}{5}x^2+3$符合二次函数的定义，二次项系数$\frac{1}{5}≠0$，是关于$x$的二次函数。
举一反三 若$y=(m-1)x^{|m|+1}-x+1$（$m$为常数）是二次函数，求这个函数的解析式。
答案
解 根据二次函数的概念，得$|m|+1=2,且m-1≠0,∴m=-1,$
∴这个函数的解析式为$y=-2x^2-x+1.$
∴这个函数的解析式为$y=-2x^2-x+1.$
2. 列二次函数解析式
典例2 已知一个直角三角形两直角边长的和为10，设其中一条直角边长为$x$，则该直角三角形的面积$y$关于$x$的函数解析式是().
A.$y=-\dfrac{1}{2}x^2 +5x$
B.$y=-x^2 +10x$
C.$y=\dfrac{1}{2}x^2 +5x$
D.$y=x^2 +10x$
典例2 已知一个直角三角形两直角边长的和为10，设其中一条直角边长为$x$，则该直角三角形的面积$y$关于$x$的函数解析式是().
A.$y=-\dfrac{1}{2}x^2 +5x$
B.$y=-x^2 +10x$
C.$y=\dfrac{1}{2}x^2 +5x$
D.$y=x^2 +10x$
答案
A
解析
由题意可知，一条直角边长为$x$，则另一条直角边长为$10-x$。根据直角三角形面积公式$S=\frac{1}{2}× 直角边\_\_\_\_\_\_1× 直角边\_\_\_\_\_\_2$，可得面积$y=\frac{1}{2}x(10-x)$，展开整理得$y=-\frac{1}{2}x^2+5x$（$0＜x＜10$）。
举一反三 一个正方形的边长为2 cm，若它的边长增加x cm，则它的面积增加y cm²，试写出y关于x的函数解析式.
典例解析
典例1
答案 D
典例2
答案 A
解析 若其中一条直角边长为x，则另一条直角边长为(10−x)，利用三角形的面积公式，可得$y=\frac{1}{2}x(10-x)=-\frac{1}{2}x^2 +5x$.故选A.
典例解析
典例1
答案 D
典例2
答案 A
解析 若其中一条直角边长为x，则另一条直角边长为(10−x)，利用三角形的面积公式，可得$y=\frac{1}{2}x(10-x)=-\frac{1}{2}x^2 +5x$.故选A.
答案
解 $y=(x+2)^2-2^2=x^2+4x.$
