典例3 已知某蓄水池(蓄水池是满的)每小时的放水量$q$(单位:$m^3$)与放水时间$t$(单位:h)之间的函数关系如图所示.

(1)求此蓄水池的蓄水量,并写出其函数解析式.
(2)当每小时放水$4\ \mathrm{m}^3$时,需多长时间放完水?
(3)若要在$5\ \mathrm{h}$内放完水,则每小时至少应放水多少立方米?

解：
(1) 由图可知，当$t=12$时，$q=4000$，
因此蓄水池的蓄水量为$12 × 4000 = 48000\ (\mathrm{m}^3)$。
设函数解析式为$q=\frac{k}{t}\ (k ≠ 0,\ t＞0)$，
将$t=12$，$q=4000$代入解析式，得$4000=\frac{k}{12}$，
解得$k=48000$，
因此函数解析式为$\boldsymbol{q=\frac{48000}{t}\ (t＞0)}$。
(2) 将$q=4$代入$q=\frac{48000}{t}$，得
$4=\frac{48000}{t}$，
解得$t=12000$。
答：需12000 h放完水。
(3) 将$t=5$代入$q=\frac{48000}{t}$，得
$q=\frac{48000}{5}=9600$。
因为当$t＞0$时，$q$随$t$的增大而减小，所以要在5 h内放完水，每小时放水量不小于$9600\ \mathrm{m}^3$。
答：每小时至少应放水9600立方米。

典例4 如图,在平面直角坐标系中,直线AB与反比例函数$y=\frac{4}{x}$图象的一支交于$A(1,m),B(n,1)$两点.

(1)求点A,B的坐标及直线AB对应的函数解析式;
(2)过点O,B的直线,交反比例函数图象的另一支于点C,连接AC,求$△ ABC$的面积.
同理可得$n=4,\therefore A(1,4),B(4,1)$.
设直线AB对应的函数解析式为$y=kx+b$,则有$\begin{cases}k+b=4,\\4k+b=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=5.\end{cases}$
$\therefore$直线AB对应的函数解析式为$y=-x+5$.
(2)如图,过点A作$AD// y$轴,交BC于点D,

设直线OB对应的函数解析式为$y=ax$,
由点$B(4,1)$在直线OB上,得$4a=1$,
解得$a=\frac{1}{4}$.
$\therefore$直线OB对应的函数解析式为$y=\frac{1}{4}x$.
令$x=1$,则$y=\frac{1}{4}$,
$\therefore D(1,\frac{1}{4})$,
$\therefore AD=4-\frac{1}{4}=\frac{15}{4}$.
由题意知点C与点B关于原点对称,
$\therefore C(-4,-1)$,
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AD· |x_B - x_C|=\frac{1}{2}×\frac{15}{4}×8=15$.

解：
(1) ∵点$A(1,m)$在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上，
∴$m=\frac{4}{1}=4$，即$A(1,4)$。
∵点$B(n,1)$在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上，
∴$1=\frac{4}{n}$，解得$n=4$，即$B(4,1)$。
设直线AB对应的函数解析式为$y=kx+b$，将$A(1,4)$、$B(4,1)$代入得：
$\begin{cases} k+b=4 \\ 4k+b=1 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-1 \\ b=5 \end{cases}$
∴直线AB对应的函数解析式为$y=-x+5$。
(2) 设直线OB对应的函数解析式为$y=ax$，将$B(4,1)$代入得：
$4a=1$，解得$a=\frac{1}{4}$，
∴直线OB对应的函数解析式为$y=\frac{1}{4}x$。
过点A作$AD// y$轴，交BC于点D，
令$x=1$，代入$y=\frac{1}{4}x$得$y=\frac{1}{4}$，
∴$D(1,\frac{1}{4})$，
∴$AD=4-\frac{1}{4}=\frac{15}{4}$。
∵反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象关于原点中心对称，
∴点C与点B关于原点对称，
∴$C(-4,-1)$。
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AD· |x_B - x_C|=\frac{1}{2}×\frac{15}{4}×|4 - (-4)|=\frac{1}{2}×\frac{15}{4}×8=15$。