3. 如图，$△ OAB$是等边三角形，$OC⊥ OB$，$OC=OB$，将$△ OAB$绕点$O$逆时针旋转，使得$OA$与$OC$重合，得到$△ OCD$，则旋转的角度是（）

A.$150°$
B.$120°$
C.$90°$
D.$60°$

3. A

【分析】
要确定旋转角度，首先需明确旋转角的定义：旋转前后，对应点与旋转中心连线的夹角为旋转角。本题中OA旋转后与OC重合，因此旋转角为∠AOC，我们只需计算∠AOC的度数即可。首先利用等边三角形的性质求出∠AOB的度数，再结合OC⊥OB得到∠BOC的度数，将两个角相加就能得到∠AOC的大小，即旋转角度。
【解析】
∵△OAB是等边三角形，
∴∠AOB = 60°，
又
∵OC⊥OB，
∴∠BOC = 90°，
∵△OAB绕点O逆时针旋转后OA与OC重合，
∴旋转角为∠AOC，
∴∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 60° + 90° = 150°，即旋转角度为150°。
【答案】
A
【知识点】
旋转角的定义，等边三角形的性质，垂直的定义
【点评】
本题是旋转相关的基础计算题，解题核心是准确识别旋转角，再结合已知的特殊三角形和垂直的性质计算角度，只要掌握相关基础概念就能快速求解。
【难度系数】
0.8

4. 如图,点E是正方形ABCD的边DC上一点,连接AE,将$△ ADE$绕点A顺时针旋转$90°$,得到$△ ABF$,且$AF=2\sqrt{7}$,$DE=2$,则四边形AECF的面积为（）


A.28
B.24
C.$8\sqrt{6}$
D.$8\sqrt{7}$

4. B

【分析】
解题时首先利用旋转的性质，可知旋转前后的△ADE和△ABF全等，二者面积相等，由此可将不规则四边形AECF的面积转化为正方形ABCD的面积。接下来在Rt△ADE中，已知旋转后对应边AE=AF，结合已知DE的长度，用勾股定理求出正方形边长的平方，即可得到正方形面积，也就是所求四边形的面积。
【解析】
解：
∵将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，
∴△ADE≌△ABF，
∴$S_{△ ADE} = S_{△ ABF}$，$AE=AF=2\sqrt{7}$。
∴四边形AECF的面积 = $S_{四边形ABCE} + S_{△ ABF} = S_{四边形ABCE} + S_{△ ADE} = S_{正方形ABCD}$。
∵四边形ABCD是正方形，
∴$∠ D=90°$，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
$AD^2 + DE^2 = AE^2$，
代入$DE=2$，$AE=2\sqrt{7}$，得：
$AD^2 + 2^2 = (2\sqrt{7})^2$，
$AD^2 = 28 - 4 = 24$，
即$S_{正方形ABCD}=24$，
∴四边形AECF的面积为24。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质；勾股定理；正方形的性质
【点评】
本题解题的核心是利用旋转的性质实现面积的转化，将不规则图形的面积转化为规则的正方形面积求解，属于基础类题型，只要熟练掌握相关性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.7

5. 在平面直角坐标系中，将点$A(3,1)$绕原点逆时针旋转$90°$，得到点$B$，则点$B$的坐标为（）

A.$(3,-1)$
B.$(-1,3)$
C.$(1,-3)$
D.$(-3,1)$

5. B

【分析】
要解决这个问题，首先明确旋转三要素：旋转中心为原点，旋转方向是逆时针，旋转角度为90°。我们可以通过两种思路推导：一是直接运用平面直角坐标系中点绕原点逆时针旋转90°的坐标变换规律；二是构造直角三角形，利用旋转前后图形全等、对应边相等的性质，结合点所在象限判断坐标符号。
【解析】
方法1（坐标规律法）：在平面直角坐标系中，将点$(x,y)$绕原点逆时针旋转90°后，对应点的坐标为$(-y,x)$。
已知点$A(3,1)$，即$x=3$，$y=1$，代入规律可得点$B$的坐标为$(-1,3)$。
方法2（几何推导法）：过点$A$作$AC⊥ x$轴于点$C$，则$OC=3$，$AC=1$。
由旋转性质可知$OA=OB$，$∠ AOB=90°$，过点$B$作$BD⊥ y$轴于点$D$，则$∠ AOC + ∠ BOD=90°$。
又$∠ AOC + ∠ OAC=90°$，可得$∠ OAC=∠ BOD$，且$∠ ACO=∠ ODB=90°$，因此$△ ACO≌△ ODB$（AAS）。
所以$OD=AC=1$，$BD=OC=3$。
因为点$B$在第二象限，横坐标为负、纵坐标为正，因此点$B$的坐标为$(-1,3)$。
【答案】
B
【知识点】
1. 点的旋转变换
2. 全等三角形的判定与性质
【点评】
本题考查平面直角坐标系中点的旋转相关知识，解题时既可以直接运用旋转坐标规律快速得出答案，也可以通过构造全等三角形推导坐标，属于基础题型，熟练掌握常见的坐标变换规律能有效提升解题速度。
【难度系数】
0.8

6. 如图，在$△ ABC$中，$∠ A＝50°$. 将$△ ABC$绕点$B$逆时针旋转，得到$△ DBE$. 若点$A$的对应点$D$恰好落在$AC$的延长线上，则$∠ ABD$的度数是

6. $80°$

【分析】
解题时先结合旋转的性质分析对应边的关系：旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，因此可得BA=BD，即△BAD为等腰三角形，等腰三角形两底角相等，已知∠A的度数，再结合三角形内角和为180°，即可求出∠ABD的度数。
【解析】
∵ 将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，点A的对应点为D
∴ 由旋转的性质可得：BA=BD
∴ △BAD是等腰三角形，∠BDA=∠A=50°
在△BAD中，根据三角形内角和定理：
∠ABD=180°-∠A-∠BDA=180°-50°-50°=80°
【答案】
$80°$
【知识点】
旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的核心是通过旋转的性质得到相等的边，进而构造等腰三角形，再结合内角和公式计算未知角，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8

7.如图，将$△ ABC$绕点$C$顺时针旋转$40°$，得到$△ A'B'C$，连接$AA'$.若$AC ⊥ A'B'$，则$∠ AA'B'$的度数为.

7. $20°$

【分析】
解题时首先利用旋转的性质得到对应边相等、旋转角的度数，可知△ACA'是顶角为40°的等腰三角形，可先求出底角∠AA'C的度数；再根据AC⊥A'B'，结合直角三角形两锐角互余求出∠B'A'C的度数；最后用∠AA'C减去∠B'A'C即可得到∠AA'B'的度数。
【解析】
设AC与A'B'交于点D。
∵△ABC绕点C顺时针旋转40°得到△A'B'C，
∴AC=A'C，∠ACA'=40°，∠BAC=∠B'A'C。
在等腰△ACA'中，
∠AA'C=∠A'AC=$\frac{180°-∠ACA'}{2}$=$\frac{180°-40°}{2}$=70°。
∵AC⊥A'B'，
∴∠A'DC=90°，
在Rt△A'DC中，∠B'A'C=90°-∠ACA'=90°-40°=50°，
∴∠AA'B'=∠AA'C - ∠B'A'C=70°-50°=20°。
【答案】
$20°$
【知识点】
旋转的性质、等腰三角形的性质、直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是角度计算的常见题型，将旋转性质与三角形内角和相关知识结合考查，解题的突破口是准确找到旋转前后的等量关系，理清所求角与已知角之间的联系。
【难度系数】
0.7

8.如图，将$△ ABC$绕点$C$顺时针旋转$90°$，得到$△ EDC$，点$A$，$B$的对应点分别为点$E$，$D$，连接$AE$，点$D$恰好落在线段$AE$上。
(1)求证：$∠ BAD=90°$。
(2)连接$BD$，若$AD=5$，$DE=2$，求$BD$的长。

(1)【证明】由旋转的性质可知，$∠ CAB = ∠ CED$，$∠ ACE=90°$。又点$D$在线段$AE$上，$\therefore ∠ CAD + ∠ CED = 90°$。$\therefore ∠ CAD + ∠ CAB = 90°$。$\therefore ∠ BAD = 90°$。
(2)【解】由旋转的性质可知，$AB=ED=2$。由(1)知，$∠ BAD=90°$。又$AD=5$，$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理，得$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}$。

【分析】
(1)要证明∠BAD=90°，首先结合旋转的性质，可得到对应角相等、旋转角为90°，据此可知△ACE是直角三角形，两锐角之和为90°，再通过等量代换将角进行替换，即可推导得到∠BAD的度数。
(2)要求BD的长度，首先根据旋转的性质得到AB的长度，结合(1)的结论可知△ABD是直角三角形，直接利用勾股定理计算即可得到结果。
【解析】
(1)证明：由旋转的性质可知，$∠ CAB = ∠ CED$，旋转角$∠ ACE=90°$。
∵点$D$在线段$AE$上，$△ ACE$为直角三角形，
∴$∠ CAD + ∠ CED = 90°$，
将$∠ CED$替换为相等的$∠ CAB$，可得$∠ CAD + ∠ CAB = 90°$，
即$∠ BAD=90°$，得证。
(2)解：由旋转的性质可知，对应边$AB=ED=2$。
由(1)知$∠ BAD=90°$，即$△ ABD$为直角三角形，已知$AD=5$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，根据勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{2^2+5^2}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}$。
【答案】
(1)已证$∠ BAD=90°$；
(2)$BD$的长为$\sqrt{29}$
【知识点】
旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，侧重考查对基础知识点的应用能力，解题的关键是熟练掌握旋转的性质，快速找到旋转后对应边、对应角的等量关系，结合直角三角形的相关性质求解。
【难度系数】
0.7

9. 如图，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转一定角度，得到矩形AEFG，点B的对应点E恰好落在边CD上，点C，D的对应点分别为点F，G，连接BE。求证：$∠ CBE=\frac{1}{2}∠ BAE$。

【证明】由旋转的性质可知，$AB=AE$。$\therefore ∠ AEB = ∠ ABE$。$\therefore ∠ ABE = \frac{1}{2}(180° - ∠ BAE) = 90° - \frac{1}{2}∠ BAE$。$\because$ 四边形$ABCD$是矩形，$\therefore ∠ ABE + ∠ CBE = 90°$。$\therefore 90° - \frac{1}{2}∠ BAE + ∠ CBE = 90°$。$\therefore ∠ CBE = \frac{1}{2}∠ BAE$。

【分析】
要证明$∠ CBE=\frac{1}{2}∠ BAE$，可按以下思路推导：首先根据旋转的性质，旋转前后对应边长度相等，可得$AB=AE$，即$△ ABE$是等腰三角形，两底角相等，结合三角形内角和为$180°$，可以用$∠BAE$表示出底角$∠ABE$的度数；再利用矩形的内角为直角的性质，得到$∠ABE+∠CBE=90°$，将$∠ABE$的表达式代入该等量关系，化简后即可得到待证结论。
【解析】
证明：由旋转的性质可知，$AB=AE$。
$\therefore ∠ AEB = ∠ ABE$。
$\therefore ∠ ABE = \frac{1}{2}(180° - ∠ BAE) = 90° - \frac{1}{2}∠ BAE$。
$\because$ 四边形$ABCD$是矩形，$\therefore ∠ABC=90°$，即$∠ ABE + ∠ CBE = 90°$。
$\therefore 90° - \frac{1}{2}∠ BAE + ∠ CBE = 90°$。
$\therefore ∠ CBE = \frac{1}{2}∠ BAE$。
【答案】
证明成立，即$∠ CBE=\frac{1}{2}∠ BAE$，证明过程见上述解析。
【知识点】
旋转的性质、等腰三角形的性质、矩形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，将图形旋转、等腰三角形、矩形的性质结合考查，解题核心是通过旋转得到等线段，进而利用角的和差关系完成推导，能够帮助学生巩固图形变换和特殊四边形的相关知识。
【难度系数】
0.8