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基础知识·预习
问题1 阅读教材，利用几何图形，利用分配律或单项式与多项式相乘的法则，理解多项式与多项式相乘的运算。
问题2 举例说明多项式乘多项式是如何转化为单项式相乘的。
问题1 阅读教材，利用几何图形，利用分配律或单项式与多项式相乘的法则，理解多项式与多项式相乘的运算。
问题2 举例说明多项式乘多项式是如何转化为单项式相乘的。
答案
解：
问题1
1. 几何图形角度理解：
设大长方形的长为$a+b$，宽为$m+n$，它的总面积可表示为$(a+b)(m+n)$。将这个大长方形分割为4个小长方形，4个小长方形的面积分别为$am$、$an$、$bm$、$bn$，4个小长方形的面积之和为$am+an+bm+bn$，因此可得：
$(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn$
2. 分配律、单项式乘多项式角度理解：
把$a+b$看作一个整体，根据单项式与多项式相乘的法则：
$(a+b)(m+n)=(a+b)· m + (a+b)· n = am + bm + an + bn$
由此得到多项式与多项式相乘的运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
问题2
举例：计算$(x+2)(x+3)$
第一步：将$x+2$视为整体，把多项式乘多项式转化为两个单项式乘多项式的运算：
$(x+2)(x+3)=(x+2)· x + (x+2)· 3$
第二步：对上述两个式子分别用单项式乘多项式的法则展开，所有运算就全部转化为单项式相乘：
$(x+2)· x = x· x + 2· x,\quad (x+2)· 3 = x· 3 + 2· 3$
第三步：把所有单项式的乘积相加，合并同类项得到最终结果：
$原式=x^2 + 2x + 3x + 6 = x^2 + 5x + 6$
通过整体代换，多项式乘多项式先转化为单项式乘多项式，最终转化为单项式相乘完成运算。
问题1
1. 几何图形角度理解：
设大长方形的长为$a+b$，宽为$m+n$，它的总面积可表示为$(a+b)(m+n)$。将这个大长方形分割为4个小长方形，4个小长方形的面积分别为$am$、$an$、$bm$、$bn$，4个小长方形的面积之和为$am+an+bm+bn$，因此可得：
$(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn$
2. 分配律、单项式乘多项式角度理解：
把$a+b$看作一个整体，根据单项式与多项式相乘的法则：
$(a+b)(m+n)=(a+b)· m + (a+b)· n = am + bm + an + bn$
由此得到多项式与多项式相乘的运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
问题2
举例：计算$(x+2)(x+3)$
第一步：将$x+2$视为整体，把多项式乘多项式转化为两个单项式乘多项式的运算：
$(x+2)(x+3)=(x+2)· x + (x+2)· 3$
第二步：对上述两个式子分别用单项式乘多项式的法则展开，所有运算就全部转化为单项式相乘：
$(x+2)· x = x· x + 2· x,\quad (x+2)· 3 = x· 3 + 2· 3$
第三步：把所有单项式的乘积相加，合并同类项得到最终结果：
$原式=x^2 + 2x + 3x + 6 = x^2 + 5x + 6$
通过整体代换，多项式乘多项式先转化为单项式乘多项式，最终转化为单项式相乘完成运算。
【典型例题】计算：
(1)$(x+2y)(x-2y)$；
(2)$(-2x+3)(5-3x)$；
(3)$(a-b)(a^2+ab+b^2)$；
(4)$(1-x+y)(x+y)$。
思路导引 多项式与多项式相乘时，要按照一定的顺序进行运算，做到不重不漏；要注意符号问题，每一项都包含前面的符号；如果结果中有同类项，一定要合并同类项。
【解】(1)$(x+2y)(x-2y)=x· x - x· 2y + 2y· x - 2y· 2y = x^2 -2xy +2xy -4y^2 =x^2 -4y^2$。
(2)$(-2x+3)(5-3x)=(-2x)· (-3x) -2x·5 -3·3x +3×5=6x^2 -10x -9x +15=6x^2 -19x +15$。
(3)$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a· a^2 +a· ab +a· b^2 -b· a^2 -b· ab -b· b^2 =a^3 +a^2b +ab^2 -a^2b -ab^2 -b^3 =a^3 -b^3$。
(4)$(1-x+y)(x+y)=x+y -x^2 -xy +xy +y^2 =x+y -x^2 +y^2$。
规律方法 1.多项式乘多项式的运算法则的实质是将多项式与多项式相乘的形式转化为几个单项式的乘积相加的形式。
2.多项式与多项式相乘的结果仍是多项式，在未合并同类项之前，所得积的项数应为两个多项式的项数的积。
3.多项式乘多项式的运算法则也适用于多个多项式相乘，即按照顺序先将前两个多项式相乘，再把乘积与第三个多项式相乘，依次类推。
(1)$(x+2y)(x-2y)$；
(2)$(-2x+3)(5-3x)$；
(3)$(a-b)(a^2+ab+b^2)$；
(4)$(1-x+y)(x+y)$。
思路导引 多项式与多项式相乘时，要按照一定的顺序进行运算，做到不重不漏；要注意符号问题，每一项都包含前面的符号；如果结果中有同类项，一定要合并同类项。
【解】(1)$(x+2y)(x-2y)=x· x - x· 2y + 2y· x - 2y· 2y = x^2 -2xy +2xy -4y^2 =x^2 -4y^2$。
(2)$(-2x+3)(5-3x)=(-2x)· (-3x) -2x·5 -3·3x +3×5=6x^2 -10x -9x +15=6x^2 -19x +15$。
(3)$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a· a^2 +a· ab +a· b^2 -b· a^2 -b· ab -b· b^2 =a^3 +a^2b +ab^2 -a^2b -ab^2 -b^3 =a^3 -b^3$。
(4)$(1-x+y)(x+y)=x+y -x^2 -xy +xy +y^2 =x+y -x^2 +y^2$。
规律方法 1.多项式乘多项式的运算法则的实质是将多项式与多项式相乘的形式转化为几个单项式的乘积相加的形式。
2.多项式与多项式相乘的结果仍是多项式，在未合并同类项之前，所得积的项数应为两个多项式的项数的积。
3.多项式乘多项式的运算法则也适用于多个多项式相乘，即按照顺序先将前两个多项式相乘，再把乘积与第三个多项式相乘，依次类推。
答案
解：
(1) $(x+2y)(x-2y)=x· x - x· 2y + 2y· x - 2y· 2y$
$=x^2 - 2xy + 2xy - 4y^2$
$=x^2 - 4y^2$
(2) $(-2x+3)(5-3x)=(-2x)· 5 + (-2x)· (-3x) + 3· 5 + 3· (-3x)$
$=-10x + 6x^2 + 15 - 9x$
$=6x^2 - 19x + 15$
(3) $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a· a^2 + a· ab + a· b^2 - b· a^2 - b· ab - b· b^2$
$=a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3$
$=a^3 - b^3$
(4) $(1-x+y)(x+y)=1· x + 1· y - x· x - x· y + y· x + y· y$
$=x + y - x^2 - xy + xy + y^2$
$=x + y - x^2 + y^2$
(1) $(x+2y)(x-2y)=x· x - x· 2y + 2y· x - 2y· 2y$
$=x^2 - 2xy + 2xy - 4y^2$
$=x^2 - 4y^2$
(2) $(-2x+3)(5-3x)=(-2x)· 5 + (-2x)· (-3x) + 3· 5 + 3· (-3x)$
$=-10x + 6x^2 + 15 - 9x$
$=6x^2 - 19x + 15$
(3) $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a· a^2 + a· ab + a· b^2 - b· a^2 - b· ab - b· b^2$
$=a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3$
$=a^3 - b^3$
(4) $(1-x+y)(x+y)=1· x + 1· y - x· x - x· y + y· x + y· y$
$=x + y - x^2 - xy + xy + y^2$
$=x + y - x^2 + y^2$
