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1. 两个连续奇数的积为 323,求这两个数.
答案
17,19
解析
设较小的奇数为$x$，则较大的奇数为$x + 2$。
根据题意，得$x(x + 2) = 323$
整理，得$x^2 + 2x - 323 = 0$
解得$x_1 = 17$，$x_2 = -19$
当$x = 17$时，$x + 2 = 19$
当$x = -19$时，$x + 2 = -17$
这两个数为17，19或-19，-17。
根据题意，得$x(x + 2) = 323$
整理，得$x^2 + 2x - 323 = 0$
解得$x_1 = 17$，$x_2 = -19$
当$x = 17$时，$x + 2 = 19$
当$x = -19$时，$x + 2 = -17$
这两个数为17，19或-19，-17。
2. 一个两位数,它的两个数字之和是 6,把这两个数字交换位置后,所得的两位数与原两位数的积是 1008,求原来的两位数.
答案
24 或 42
解析
设原来的两位数的十位数字为$x$，则个位数字为$6 - x$，原两位数为$10x + (6 - x) = 9x + 6$。
交换位置后，新两位数的十位数字为$6 - x$，个位数字为$x$，新两位数为$10(6 - x) + x = 60 - 9x$。
根据题意，得$(9x + 6)(60 - 9x) = 1008$，
整理，得$81x^2 - 486x + 648 = 0$，即$x^2 - 6x + 8 = 0$，
解得$x_1 = 2$，$x_2 = 4$。
当$x = 2$时，$6 - x = 4$，原两位数为$24$；
当$x = 4$时，$6 - x = 2$，原两位数为$42$。
原来的两位数为$24$或$42$。
交换位置后，新两位数的十位数字为$6 - x$，个位数字为$x$，新两位数为$10(6 - x) + x = 60 - 9x$。
根据题意，得$(9x + 6)(60 - 9x) = 1008$，
整理，得$81x^2 - 486x + 648 = 0$，即$x^2 - 6x + 8 = 0$，
解得$x_1 = 2$，$x_2 = 4$。
当$x = 2$时，$6 - x = 4$，原两位数为$24$；
当$x = 4$时，$6 - x = 2$，原两位数为$42$。
原来的两位数为$24$或$42$。
3. 某服装厂为学校艺术团生产一批演出服,总成本 3000 元,售价每套 30 元. 其中 24 套免费赠给 24 名家庭贫困学生. 经核算,这 24 套演出服的成本正好是原定生产这批演出服的利润. 这批演出服共生产了多少套？
答案
120 套;提示:设生产了 x 套演出服,得$30x-3000=24×\frac {3000}{x}$
解析
设这批演出服共生产了$x$套。
每套演出服的成本为$\frac{3000}{x}$元。
原定利润为$30x - 3000$元。
已知24套演出服的成本等于原定利润，可列方程：$30x - 3000 = 24×\frac{3000}{x}$
方程两边同乘$x$得：$30x^2 - 3000x = 72000$
化简得：$x^2 - 100x - 2400 = 0$
因式分解得：$(x - 120)(x + 20) = 0$
解得$x_1 = 120$，$x_2 = -20$（套数不能为负，舍去）
这批演出服共生产了120套。
每套演出服的成本为$\frac{3000}{x}$元。
原定利润为$30x - 3000$元。
已知24套演出服的成本等于原定利润，可列方程：$30x - 3000 = 24×\frac{3000}{x}$
方程两边同乘$x$得：$30x^2 - 3000x = 72000$
化简得：$x^2 - 100x - 2400 = 0$
因式分解得：$(x - 120)(x + 20) = 0$
解得$x_1 = 120$，$x_2 = -20$（套数不能为负，舍去）
这批演出服共生产了120套。
4. 电影《万里归途》以中国外交真实撤侨事件为背景,讲述了一段不为人知的撤侨故事. 下表是该影片票房的部分数据. (注：票房是指截止到发布日期的所有售票累计收入)
|发布日期|10 月 8 日|10 月 11 日|10 月 12 日|
|发布次数|第 1 次|第 2 次|第 3 次|
|票房|10 亿元| |12.1 亿元|
(1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？
(2)在(1)的条件下,若票价每张 40 元,求 10 月 9 日、10 日、11 日三天共卖出多少张电影票？
|发布日期|10 月 8 日|10 月 11 日|10 月 12 日|
|发布次数|第 1 次|第 2 次|第 3 次|
|票房|10 亿元| |12.1 亿元|
(1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？
(2)在(1)的条件下,若票价每张 40 元,求 10 月 9 日、10 日、11 日三天共卖出多少张电影票？
答案
（1）10%；（2）2500000 张
解析
（1）设平均每次累计票房增长的百分率是$x$，根据题意得：$10(1+x)^{2}=12.1$，解得$x_{1}=0.1=10\%$，$x_{2}=-2.1$（不合题意，舍去），答：平均每次累计票房增长的百分率是$10\%$。
（2）10月11日的累计票房为$10×(1+10\%)=11$亿元，10月9日、10日、11日三天的票房为$11-10=1$亿元$=100000000$元，共卖出电影票$100000000÷40=2500000$张。
（2）10月11日的累计票房为$10×(1+10\%)=11$亿元，10月9日、10日、11日三天的票房为$11-10=1$亿元$=100000000$元，共卖出电影票$100000000÷40=2500000$张。
如图,某海军基地位于$A$处,在其正南方向 200 n mile 处有一重要目标$B$,在$B$的正东方向 200 n mile 处有一重要目标$C$,小岛$D位于AC$中点处,岛上有一补给码头. 一艘军舰从$A$出发,经$B到C$匀速巡航,一艘补给船同时从$D$出发,沿南偏西方向匀速直线航行(如图中$DE$方向),欲将一批物品送达军舰. 已知军舰的速度是补给船的 2 倍,军舰在由$B到C$的途中与补给船相遇,那么相遇时补给船航行了多少海里(精确到 0.1 n mile)？
]
]
答案
118.4 n mile
解析
设相遇时补给船航行了$x$海里，则军舰航行了$2x$海里。
由题意得，$AB=BC=200$海里，$\triangle ABC$为等腰直角三角形，$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=200\sqrt{2}$海里，$D$为$AC$中点，$AD=CD=100\sqrt{2}$海里。
过$D$作$DF \perp BC$于$F$，$DG \perp AB$于$G$，则$DF=DG=100$海里。
设相遇点为$E$，$BE = y$，则$EC=200 - y$，军舰从$A$到$B$再到$E$的路程为$200 + y = 2x$，即$y = 2x - 200$。
补给船从$D$到$E$，$EF=BF - BE=100 - y=100-(2x - 200)=300 - 2x$，$DF=100$海里，在$Rt\triangle DEF$中，$DE^{2}=DF^{2}+EF^{2}$，即$x^{2}=100^{2}+(300 - 2x)^{2}$。
整理得$3x^{2}-1200x + 100000 = 0$，解得$x=\frac{600\pm100\sqrt{6}}{3}$，取$x=\frac{600 - 100\sqrt{6}}{3}\approx118.4$。
答：相遇时补给船航行了$118.4$海里。
由题意得，$AB=BC=200$海里，$\triangle ABC$为等腰直角三角形，$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=200\sqrt{2}$海里，$D$为$AC$中点，$AD=CD=100\sqrt{2}$海里。
过$D$作$DF \perp BC$于$F$，$DG \perp AB$于$G$，则$DF=DG=100$海里。
设相遇点为$E$，$BE = y$，则$EC=200 - y$，军舰从$A$到$B$再到$E$的路程为$200 + y = 2x$，即$y = 2x - 200$。
补给船从$D$到$E$，$EF=BF - BE=100 - y=100-(2x - 200)=300 - 2x$，$DF=100$海里，在$Rt\triangle DEF$中，$DE^{2}=DF^{2}+EF^{2}$，即$x^{2}=100^{2}+(300 - 2x)^{2}$。
整理得$3x^{2}-1200x + 100000 = 0$，解得$x=\frac{600\pm100\sqrt{6}}{3}$，取$x=\frac{600 - 100\sqrt{6}}{3}\approx118.4$。
答：相遇时补给船航行了$118.4$海里。
