1. 下列计算正确的是 ()

A.$\sqrt{3}+\sqrt{2}= \sqrt{5}$
B.$\sqrt{12}-\sqrt{3}= \sqrt{3}$
C.$\sqrt{3}×\sqrt{2}= 6$
D.$\sqrt{12}÷\sqrt{3}= 4$

B

A. 对于 $\sqrt{3} + \sqrt{2}$，由于根号下的数不同，因此不能直接相加，所以 $\sqrt{3} + \sqrt{2} \neq \sqrt{5}$，故 A 错误。
B. 对于 $\sqrt{12} - \sqrt{3}$，可以化简 $\sqrt{12}$ 为 $2\sqrt{3}$，所以 $2\sqrt{3} - \sqrt{3} = \sqrt{3}$，故 B 正确。
C. 对于 $\sqrt{3} × \sqrt{2}$，根据根式的乘法法则，$\sqrt{3} × \sqrt{2} = \sqrt{6}$，与 6 不等，故 C 错误。
D. 对于 $\sqrt{12} ÷ \sqrt{3}$，可以化简为 $\sqrt{\frac{12}{3}} = \sqrt{4} = 2$，与 4 不等，故 D 错误。

2. 计算$(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})$的结果为 ()
A.3
B.$-3$
C.2
D.$-2$

D

根据平方差公式 $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$，在$(1 + \sqrt{3})(1-\sqrt{3})$中，$a = 1$，$b=\sqrt{3}$，则$(1+\sqrt{3})(1 - \sqrt{3})=1^{2}-(\sqrt{3})^{2}=1 - 3=-2$。

3. 估计$\sqrt{5}×(2-\sqrt{\dfrac{1}{5}})$的值应在 ()
A.1到2之间
B.2到3之间
C.3到4之间
D.4到5之间

C

首先展开表达式：$\sqrt{5} × (2 - \sqrt{\frac{1}{5}}) = 2\sqrt{5} - \sqrt{5 × \frac{1}{5}} = 2\sqrt{5} - 1$，
由于 $\sqrt{4} = 2$ 且 $\sqrt{9} = 3$，可知 $2\sqrt{5}$（即$\sqrt{20}$）介于 4 和 5 之间的数（因为$4^2=16＜20＜5^2=25$，所以$4＜2\sqrt{5}（即\sqrt{20}）＜5$），
因此，$2\sqrt{5} - 1$是一个介于 3 和 4 之间的数（因为$4-1=3＜2\sqrt{5}-1＜5-1=4$）。

4. 若$a$,$b$,$c是\triangle ABC$的三边长,则化简$\sqrt{(c-a-b)^{2}}-\sqrt{(a+b+c)^{2}}$的结果是 ()
A.$2c$
B.$-2c$
C.$2c-2a$
D.$2a-2b$

B

根据二次根式的性质，$\sqrt{x^2} = |x|$，
所以，$\sqrt{(c-a-b)^{2}} = |c-a-b|$，
由于$a$, $b$, $c$是三角形的三边长，根据三角形的三边关系，有：
$a + b ＞ c$，
所以，$c - a - b ＜ 0$，
因此，$|c-a-b| = -(c-a-b) = a + b - c$，
同样地，$\sqrt{(a+b+c)^{2}} = |a+b+c|$，
由于$a$, $b$, $c$都是正数，所以$a+b+c ＞ 0$，
因此，$|a+b+c| = a+b+c$，
将上述两个结果代入原式，得到：
$\sqrt{(c-a-b)^{2}} - \sqrt{(a+b+c)^{2}} = (a + b - c) - (a + b + c) = -2c$。

5. 已知$2\lt x\lt3$,则化简：$\vert2-x\vert+\sqrt{(x-4)^{2}}+(\sqrt{5-x})^{2}= $.

7-x

∵2＜x＜3，∴2-x＜0，x-4＜0，5-x＞0。
则|2-x|=x-2，√(x-4)²=4-x，(√(5-x))²=5-x。
原式=(x-2)+(4-x)+(5-x)=x-2+4-x+5-x=7-x。

6. 计算：
(1)$(\sqrt{2}+\sqrt{6})^{2}-(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})$；
(2)$\sqrt{12}+\sqrt{\dfrac{1}{3}}+\sqrt{(\sqrt{3}-2)^{2}}$.

(1)
$\begin{aligned} &(\sqrt{2}+\sqrt{6})^{2}-(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3}) \\ =&(\sqrt{2})^2 + 2 × \sqrt{2} × \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 - ((\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2) \\ =& 2 + 2\sqrt{12} + 6 - (5 - 3) \\ =& 2 + 4\sqrt{3} + 6 - 2 \\ =&6 + 4\sqrt{3} \end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned} &\sqrt{12}+\sqrt{\dfrac{1}{3}}+\sqrt{(\sqrt{3}-2)^{2}} \\ =& 2\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} + | \sqrt{3} - 2 | \\ =& 2\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} + 2 - \sqrt{3} \\ =& \frac{4\sqrt{3}}{3} + 2\end{aligned}$

7. 已知$y= \sqrt{x-24}+\sqrt{24-x}-1$,求$\sqrt{x-y}$的平方根.

由题意得$x - 24\geq0$且$24 - x\geq0$，
所以$x = 24$。
把$x = 24$代入$y=\sqrt{x - 24}+\sqrt{24 - x}-1$，得$y=-1$。
则$x - y=24-(-1)=25$，$\sqrt{x - y}=\sqrt{25}=5$。
所以$\sqrt{x - y}$的平方根为$\pm\sqrt{5}$。

8. 已知$x= \dfrac{\sqrt{11}}{2}+\dfrac{\sqrt{7}}{2}$,$y= \dfrac{\sqrt{11}}{2}-\dfrac{\sqrt{7}}{2}$.
(1)求$x+y$,$xy$的值；
(2)利用(1)的结果求下列代数式的值：
①$x^{2}y+xy^{2}$；
②$\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}$.

(1)
$x + y=\dfrac{\sqrt{11}}{2}+\dfrac{\sqrt{7}}{2}+\dfrac{\sqrt{11}}{2}-\dfrac{\sqrt{7}}{2}=\sqrt{11}$；
$xy = (\dfrac{\sqrt{11}}{2}+\dfrac{\sqrt{7}}{2})(\dfrac{\sqrt{11}}{2}-\dfrac{\sqrt{7}}{2})$
$=\dfrac{11}{4}-\dfrac{7}{4}=1$。
(2)
①
因为$x^{2}y + xy^{2}=xy(x + y)$，把$x + y=\sqrt{11}$，$xy = 1$代入得：
$x^{2}y+xy^{2}=1×\sqrt{11}=\sqrt{11}$。
②
因为$\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}=\dfrac{x^{2}+y^{2}}{xy}=\dfrac{(x + y)^{2}-2xy}{xy}$，
把$x + y=\sqrt{11}$，$xy = 1$代入得：
$\dfrac{(\sqrt{11})^{2}-2×1}{1}=\dfrac{11 - 2}{1}=9$。
综上，答案依次为：(1)$x + y=\sqrt{11}$，$xy = 1$；(2)①$\sqrt{11}$；②$9$。

(1) $x + y = \left(\dfrac{\sqrt{11}}{2} + \dfrac{\sqrt{7}}{2}\right) + \left(\dfrac{\sqrt{11}}{2} - \dfrac{\sqrt{7}}{2}\right) = \dfrac{\sqrt{11}}{2} + \dfrac{\sqrt{7}}{2} + \dfrac{\sqrt{11}}{2} - \dfrac{\sqrt{7}}{2} = \sqrt{11}$
$xy = \left(\dfrac{\sqrt{11}}{2} + \dfrac{\sqrt{7}}{2}\right)\left(\dfrac{\sqrt{11}}{2} - \dfrac{\sqrt{7}}{2}\right) = \left(\dfrac{\sqrt{11}}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{\sqrt{7}}{2}\right)^2 = \dfrac{11}{4} - \dfrac{7}{4} = 1$
(2) ① $x^2y + xy^2 = xy(x + y) = 1×\sqrt{11} = \sqrt{11}$
② $\dfrac{y}{x} + \dfrac{x}{y} = \dfrac{y^2 + x^2}{xy} = \dfrac{(x + y)^2 - 2xy}{xy} = \dfrac{(\sqrt{11})^2 - 2×1}{1} = 11 - 2 = 9$