19. 若$\square ABCD的周长为40\mathrm{cm}$,$\triangle ABC的周长为27\mathrm{cm}$,则$AC$的长是()
A. $13\mathrm{cm}$
B. $3\mathrm{cm}$
C. $7\mathrm{cm}$
D. $11.5\mathrm{cm}$

C

20. 如图,在$5× 5的正方形网格图中有A$,$B$,$C$三点,网格中以$A$,$B$,$C$三点为顶点的平行四边形有()

A. $1$个
B. $2$个
C. $3$个
D. 无数个

C

21. $\square ABCD$中,$\angle A:\angle B= 13:5$,则$\angle A和\angle B$的度数分别为()
A. $80^{\circ}$,$100^{\circ}$
B. $130^{\circ}$,$50^{\circ}$
C. $160^{\circ}$,$20^{\circ}$
D. $60^{\circ}$,$120^{\circ}$

B

22. 如图,在平行四边形$ABCD$中,点$E$,$F为对角线BD$上的三等分点．求证：四边形$AFCE$是平行四边形．

因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB = CD$，$AB// CD$，则$\angle ABE=\angle CDF$。
又因为点$E$，$F$为对角线$BD$上的三等分点，所以$BE = DF$。
在$\triangle ABE$和$\triangle CDF$中，$\begin{cases}AB = CD\\\angle ABE=\angle CDF\\BE = DF\end{cases}$，所以$\triangle ABE\cong\triangle CDF(SAS)$，得$AE = CF$。
同理可证$\triangle ADF\cong\triangle CBE(SAS)$，得$AF = CE$。
因为$AE = CF$，$AF = CE$，所以四边形$AFCE$是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）。

23. 如图,在$\square ABCD$中,$AE\perp BD于点E$,$CF\perp BD于点F$,求证：$DF= BE$．

在$\square ABCD$中，$AD = BC$，$AD// BC$，所以$\angle ADE=\angle CBF$。
因为$AE\perp BD$，$CF\perp BD$，所以$\angle AED = \angle CFB = 90^{\circ}$。
在$\triangle ADE$和$\triangle CBF$中，$\begin{cases}\angle AED=\angle CFB\\\angle ADE=\angle CBF\\AD = BC\end{cases}$，所以$\triangle ADE\cong\triangle CBF(AAS)$。
所以$DE = BF$。
因为$DF=DE + EF$，$BE = BF + EF$，所以$DF=BE$。
综上，$\boldsymbol{DF = BE}$得证。

24. 如图,在四边形$ABCD$中,$AB= CD$,$BF= DE$,$AE\perp BD$,$CF\perp BD$,垂足分别为点$E和点F$．
(1)求证：$\triangle ABE\cong\triangle CDF$．
(2)若$AC与BD交于点O$,求证：$AO= CO$．

(1) 因为$BF = DE$，所以$BF - EF = DE - EF$，即$BE = DF$。又$AE\perp BD$，$CF\perp BD$，所以$\angle AEB=\angle CFD = 90^{\circ}$。在$\triangle ABE$和$\triangle CDF$中，$\left\{\begin{array}{l}AB = CD\\\angle AEB=\angle CFD\\BE = DF\end{array}\right.$，所以$\triangle ABE\cong\triangle CDF(HL)$。
(2) 由$\triangle ABE\cong\triangle CDF$得$AE = CF$，又$AE\perp BD$，$CF\perp BD$，所以$AE// CF$，则四边形$AECF$是平行四边形，所以$AO = CO$。

25. 如图,在$\square ABCD$中,点$E$,$F分别是AD$,$BC$的中点,连接$BE$,$DF$．
(1)求证：四边形$BEDF$是平行四边形．
(2)若$BE平分\angle ABC$,$AB= 6$,求$\square ABCD$的周长．

(1) 证明过程如上述解析，四边形$BEDF$是平行四边形。
(2) $\square ABCD$的周长为$36$。