8. 等腰三角形的一个外角为$140^{\circ}$,则顶角的度数为().
A. $40^{\circ}$
B. $40^{\circ}或70^{\circ}$
C. $70^{\circ}$
D. $40^{\circ}或100^{\circ}$

D

9. 如图,点 E 在正方形 ABCD 的边 AB 上,若$EB = 1,EC = 2$,则正方形 ABCD 的面积为().

A. $\sqrt{3}$
B. 3
C. $\sqrt{5}$
D. 5

$\boldsymbol{B}$

10. 如图,$\triangle ABE和\triangle ACD是\triangle ABC$分别以 AB,AC 为对称轴翻折$180^{\circ}$形成的.若$∠1:∠2:∠3 = 29:4:3$,则$∠α$的度数为.

$80^{\circ}$

11. 如图,$AB⊥CD且AB = CD$. E,F 是 AD 上两点,$CE⊥AD,BF⊥AD$.若$CE = a$,$BF = b,EF = c$,则 AD 的长为.

【解析】：
- 因为$AB⊥CD$，$CE⊥AD$，$BF⊥AD$，所以$\angle AFB=\angle CED = 90^{\circ}$，$\angle A+\angle D = 90^{\circ}$，$\angle C+\angle D = 90^{\circ}$，则$\angle A=\angle C$。
- 在$\triangle ABF$和$\triangle CDE$中，$\begin{cases}\angle AFB=\angle CED\\\angle A=\angle C\\AB = CD\end{cases}$，根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle ABF\cong\triangle CDE$。
- 由全等三角形的性质可知$AF = CE = a$，$DE = BF = b$。
- 因为$AD=AF + FD$，$FD=DE - EF$，所以$AD=AF+(DE - EF)$。
- 把$AF = a$，$DE = b$，$EF = c$代入可得$AD=a+(b - c)=a + b - c$。
【答案】：$a + b - c$

12. 如图,在$\triangle ABC$中,$∠A = 90^{\circ},AB = AC$,CD 平分$∠ACB,DE⊥BC$,垂足为 E,若$BC = 15cm$,则$\triangle DEB$的周长为.

【解析】：
- 因为$CD$平分$\angle ACB$，$\angle A = 90^{\circ}$，$DE\perp BC$，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以$AD = DE$。
- 在$Rt\triangle ADC$和$Rt\triangle EDC$中，$\left\{\begin{array}{l}CD = CD\\AD = DE\end{array}\right.$，根据$HL$（斜边 - 直角边）定理可得$Rt\triangle ADC\cong Rt\triangle EDC$。
- 由全等三角形的性质可知$AC = EC$。
- 因为$AB = AC$，所以$AB = EC$。
- $\triangle DEB$的周长$=BD + DE+BE$，把$DE$换成$AD$，则$\triangle DEB$的周长$=BD + AD + BE$。
- 又因为$BD + AD=AB$，所以$\triangle DEB$的周长$=AB + BE$。
- 由于$AB = EC$，所以$\triangle DEB$的周长$=EC + BE$。
- 而$EC + BE=BC$，已知$BC = 15cm$。
【答案】：$15cm$

13. 一个等腰三角形形状的花圃面积为$30m^{2}$, 其一边长为 10m. 求该等腰三角形花圃的另两边长.

【解析】：本题需要分情况讨论等腰三角形的边长情况，再根据三角形面积公式和勾股定理来求解另两边的长度。
- **情况一：当底边长为$10m$时**
设底边上的高为$h$，根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}\times底\times高$，已知面积$S = 30m^{2}$，底为$10m$，可得$\frac{1}{2}\times10\times h = 30$，解得$h = 6m$。
因为等腰三角形底边上的高将等腰三角形平分为两个全等的直角三角形，此时直角三角形的一条直角边为底边的一半，即$\frac{10}{2}=5m$，另一条直角边为高$6m$。
根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$（其中$a$、$b$为直角边，$c$为斜边），可求得腰长为$\sqrt{5^{2} + 6^{2}}=\sqrt{25 + 36}=\sqrt{61}m$，所以此时另两边长均为$\sqrt{61}m$。
- **情况二：当腰长为$10m$时**
设腰上的高为$h_1$，由面积公式可得$\frac{1}{2}\times10\times h_1 = 30$，解得$h_1 = 6m$。
**当高在三角形内部时**
在由腰、腰上的高和另一段腰组成的直角三角形中，腰为斜边，高为一条直角边，根据勾股定理可求得高与腰的垂足到顶点的距离为$\sqrt{10^{2} - 6^{2}}=\sqrt{100 - 36}=\sqrt{64}=8m$，则高与腰的垂足到另一个端点的距离为$10 - 8 = 2m$。
再根据勾股定理可求得底边为$\sqrt{6^{2} + 2^{2}}=\sqrt{36 + 4}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}m$，所以此时另两边长分别为$10m$和$2\sqrt{10}m$。
**当高在三角形外部时**
同样在由腰、腰上的高和另一段腰组成的直角三角形中，可求得高与腰的垂足到顶点的距离为$\sqrt{10^{2} - 6^{2}} = 8m$，则高与腰的垂足到另一个端点的距离为$10 + 8 = 18m$。
再根据勾股定理可求得底边为$\sqrt{6^{2} + 18^{2}}=\sqrt{36 + 324}=\sqrt{360}=6\sqrt{10}m$，所以此时另两边长分别为$10m$和$6\sqrt{10}m$。
【答案】：该等腰三角形花圃的另两边长分别为$\sqrt{61}m$，$\sqrt{61}m$或$10m$，$2\sqrt{10}m$或$10m$，$6\sqrt{10}m$。