10. 【问题初探】
(1)综合与实践数学活动课上，张老师给出了一个问题：已知二次函数$y = x^{2} + 2x - 3$，当$-2 \leq x \leq 2$时，求$y$的取值范围。
①小伟同学经过分析后，将原二次函数配方成$y = a(x - h)^{2} + k$的形式，确定抛物线对称轴为直线$x = h$，通过$-2$，$h$和$2$的大小关系，分别确定了最大值和最小值，进而求出$y$的取值范围；
②小军同学画出如图所示的函数图象，通过观察图象确定了$y$的取值范围。
根据上述两名同学的分析，$y$的取值范围是。
【类比分析】
(2)张老师发现两名同学分别从“数”和“形”的角度分析、解决问题，为了让同学们更好的感悟“数形结合”思想，张老师将前面问题变式为下面问题，请你解答：已知二次函数$y = x^{2} + 2x - 3$，当$a - 1 \leq x \leq a + 1$时，求$y$的最大值，并写出$a$的取值范围。
【学以致用】
(3)已知二次函数$y = -x^{2} + 6x - 5$，当$a \leq x \leq a + 3$时，二次函数的最大值为$y_{1}$，最小值为$y_{2}$，若$y_{1} - y_{2} = 3$，求$a$的值。

1. （1）
首先对$y = x^{2}+2x - 3$进行配方：
根据完全平方公式$(a + b)^2=a^{2}+2ab + b^{2}$，$y=x^{2}+2x - 3=(x + 1)^{2}-4$。
对于二次函数$y=(x + 1)^{2}-4$，其对称轴为$x=-1$，开口向上。
当$x=-1$时，$y$取得最小值$y=-4$；
当$x = 2$时，$y=2^{2}+2×2 - 3=4 + 4-3 = 5$；当$x=-2$时，$y=(-2)^{2}+2×(-2)-3=4 - 4 - 3=-3$。
因为$5\gt - 3$，所以当$-2\leq x\leq2$时，$y$的取值范围是$-4\leq y\leq5$。
2. （2）
二次函数$y=(x + 1)^{2}-4$，对称轴为$x=-1$，开口向上。
①当$a + 1\leq - 1$，即$a\leq - 2$时：
在$a - 1\leq x\leq a + 1$上，$y$随$x$的增大而减小，所以当$x=a - 1$时，$y$有最大值$y=(a - 1)^{2}+2(a - 1)-3=a^{2}-2a + 1+2a-2 - 3=a^{2}-4$。
②当$a-1\lt - 1\lt a + 1$，即$-2\lt a\lt0$时：
点$(a - 1,y)$到对称轴$x=-1$的距离$d_1=\vert a - 1+1\vert=\vert a\vert=-a$，点$(a + 1,y)$到对称轴$x=-1$的距离$d_2=\vert a + 1+1\vert=\vert a + 2\vert=a + 2$。
当$-a\geq a + 2$，即$-2\lt a\leq - 1$时，$x=a - 1$时，$y$有最大值$y=(a - 1)^{2}+2(a - 1)-3=a^{2}-4$；
当$-a\lt a + 2$，即$-1\lt a\lt0$时，$x=a + 1$时，$y$有最大值$y=(a + 1)^{2}+2(a + 1)-3=a^{2}+4a$。
③当$a-1\geq - 1$，即$a\geq0$时：
在$a - 1\leq x\leq a + 1$上，$y$随$x$的增大而增大，所以当$x=a + 1$时，$y$有最大值$y=(a + 1)^{2}+2(a + 1)-3=a^{2}+4a$。
综上，当$a\leq - 1$时，$y$的最大值为$a^{2}-4$；当$a\gt - 1$时，$y$的最大值为$a^{2}+4a$。
3. （3）
对$y=-x^{2}+6x - 5$进行配方：
根据完全平方公式$y=-(x^{2}-6x + 5)=-(x - 3)^{2}+4$，其对称轴为$x = 3$，开口向下。
①当$a + 3\leq3$，即$a\leq0$时：
$y$随$x$的增大而增大，当$x=a$时，$y_2=-a^{2}+6a - 5$；当$x=a + 3$时，$y_1=-(a + 3)^{2}+6(a + 3)-5=-a^{2}+4$。
由$y_1 - y_2 = 3$，得$(-a^{2}+4)-(-a^{2}+6a - 5)=3$，
即$-a^{2}+4 + a^{2}-6a + 5 = 3$，
化简得$-6a=-6$，解得$a = 1$（舍去，因为$a\leq0$）。
②当$a\lt3\lt a + 3$，即$0\lt a\lt3$时：
当$x = 3$时，$y_1 = 4$；
当$x=a$时，$y_2=-a^{2}+6a - 5$，则$4-(-a^{2}+6a - 5)=3$，
即$a^{2}-6a + 6 = 0$，根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$（这里$a = 1$，$b=-6$，$c = 6$），$a=\frac{6\pm\sqrt{36-24}}{2}=\frac{6\pm2\sqrt{3}}{2}=3\pm\sqrt{3}$，因为$0\lt a\lt3$，所以$a = 3-\sqrt{3}$；
当$x=a + 3$时，$y_2=-(a + 3)^{2}+6(a + 3)-5=-a^{2}+4$，则$4-(-a^{2}+4)=3$，无解。
③当$a\geq3$时：
$y$随$x$的增大而减小，当$x=a$时，$y_1=-a^{2}+6a - 5$；当$x=a + 3$时，$y_2=-(a + 3)^{2}+6(a + 3)-5=-a^{2}+4$。
由$y_1 - y_2 = 3$，得$(-a^{2}+6a - 5)-(-a^{2}+4)=3$，
即$6a-9 = 3$，解得$a = 2$（舍去，因为$a\geq3$）。
综上，（1）$-4\leq y\leq5$；（2）当$a\leq - 1$时，$y$的最大值为$a^{2}-4$；当$a\gt - 1$时，$y$的最大值为$a^{2}+4a$；（3）$a = 3-\sqrt{3}$。

11. 在综合实践课上，数学探究小组用两个互相垂直的直尺制作了一个“T”形尺，并用它对二次函数图象的相关性质进行研究。
把“T”形尺按图 1 摆放，水平宽$AB$的中点为$C$，图象的顶点为$D$，测得$AB$为$m$厘米时，$CD$为$n$厘米。


【猜想】(1)探究小组先对$y = x^{2}$的图象进行多次测量，测得$m$与$n$的部分数据如下表：

描点：以表中各组对应值为点的坐标，在图 2 的平面直角坐标系内描出相应的点。
连线：用光滑的曲线顺次连接各点。
猜想：$n$与$m$的关系式是。
【验证】(2)探究小组又对多个二次函数的图象进行了测量研究，发现测得的$n$与$m$也存在类似的关系式，并针对二次函数$y = a(x - h)^{2} + k(a ＞ 0)$的情况进行了推理验证。请从下表中任选一种方法(在“□”内打“√”)并补全其推理过程。(根据需要，选用字母$a$，$m$，$n$，$h$，$k$表示答案)

【应用】(3)已知$AB // x$轴且$AB = 4$，两个二次函数$y = 2(x - h)^{2} + k$和$y = a(x - h)^{2} + d$的图象都经过$A$，$B$两点。当两个函数图象的顶点之间的距离为$10$个单位长度时，求$a$的值。

1. （1）
设$n = am^{2}+bm + c$，取$(m = 2,n = 1)$，$(m = 4,n = 4)$，$(m = 6,n = 9)$代入：
当$m = 2$，$n = 1$时，$1=a×2^{2}+b×2 + c$，即$4a + 2b + c = 1$；
当$m = 4$，$n = 4$时，$4=a×4^{2}+b×4 + c$，即$16a+4b + c = 4$；
当$m = 6$，$n = 9$时，$9=a×6^{2}+b×6 + c$，即$36a+6b + c = 9$。
用$\begin{cases}16a + 4b + c = 4\\4a+2b + c = 1\end{cases}$，两式相减：$(16a + 4b + c)-(4a + 2b + c)=4 - 1$，得$12a+2b = 3$，即$6a + b=\frac{3}{2}$；
用$\begin{cases}36a+6b + c = 9\\16a + 4b + c = 4\end{cases}$，两式相减：$(36a+6b + c)-(16a + 4b + c)=9 - 4$，得$20a+2b = 5$，即$10a + b=\frac{5}{2}$。
再用$\begin{cases}10a + b=\frac{5}{2}\\6a + b=\frac{3}{2}\end{cases}$，两式相减：$(10a + b)-(6a + b)=\frac{5}{2}-\frac{3}{2}$，得$4a = 1$，$a=\frac{1}{4}$。
把$a=\frac{1}{4}$代入$6a + b=\frac{3}{2}$，$6×\frac{1}{4}+b=\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}+b=\frac{3}{2}$，$b = 0$。
把$a=\frac{1}{4}$，$b = 0$代入$4a + 2b + c = 1$，$4×\frac{1}{4}+0 + c = 1$，$c = 0$。
所以$n=\frac{1}{4}m^{2}$。
2. （2）
选方法一：
设$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，因为$AB=m$，$C$是$AB$中点，$AB// x$轴，$y = a(x - h)^{2}+k$，对称轴为$x = h$。
令$y = a(x - h)^{2}+k=n + k$（$n$是$CD$的长），则$a(x - h)^{2}=n$，$(x - h)^{2}=\frac{n}{a}$，$x=h\pm\sqrt{\frac{n}{a}}$。
所以$x_{1}=h-\sqrt{\frac{n}{a}}$，$x_{2}=h+\sqrt{\frac{n}{a}}$，则$AB=\vert x_{2}-x_{1}\vert=\vert(h + \sqrt{\frac{n}{a}})-(h-\sqrt{\frac{n}{a}})\vert$。
因为$AB = m$，所以$m = 2\sqrt{\frac{n}{a}}$，两边平方得$m^{2}=4\frac{n}{a}$，$n=\frac{1}{4}am^{2}$。
选方法二：
设$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，因为$AB=m$，$C$是$AB$中点，$AB// x$轴，$y = a(x - h)^{2}+k$，对称轴为$x = h$。
由$y = a(x - h)^{2}+k$，当$x=h$时，$y = k$（顶点$D(h,k)$），设$A$点坐标为$(h-\frac{m}{2},y_{A})$，$B$点坐标为$(h+\frac{m}{2},y_{B})$，因为$y_{A}=y_{B}$，$y_{A}=a(h-\frac{m}{2}-h)^{2}+k$，$y_{A}=\frac{1}{4}am^{2}+k$。
又因为$CD=n$，$y_{A}-k=n$（$C$点纵坐标为$y_{A}$，$D$点纵坐标为$k$），所以$n=\frac{1}{4}am^{2}$。
3. （3）
对于$y = 2(x - h)^{2}+k$，因为$AB = 4$，由$n=\frac{1}{4}am^{2}$（这里$a = 2$，$m = 4$），则$n_{1}=\frac{1}{4}×2×4^{2}=8$，其顶点坐标为$(h,k)$。
对于$y = a(x - h)^{2}+d$，$m = 4$，则$n_{2}=\frac{1}{4}a×4^{2}=4a$，其顶点坐标为$(h,d)$。
因为两个函数图象的顶点之间的距离为$10$个单位长度，$\vert(k - d)\vert=10$。
又因为$n_{1}=\frac{1}{4}×2×4^{2}$（$y = 2(x - h)^{2}+k$中$A$、$B$到对称轴距离与$n$的关系），$n_{2}=\frac{1}{4}a×4^{2}$，且$\vert(k - d)\vert=\vert n_{1}-n_{2}\vert$。
所以$\vert8 - 4a\vert=10$。
当$8 - 4a = 10$时：
$ - 4a=10 - 8$，$-4a = 2$，$a=-\frac{1}{2}$。
当$8 - 4a=-10$时：
$-4a=-10 - 8$，$-4a=-18$，$a=\frac{9}{2}$。
综上，（1）$n=\frac{1}{4}m^{2}$；（3）$a$的值为$-\frac{1}{2}$或$\frac{9}{2}$。