一题多问 例1 如图1,已知抛物线$ y = - x ^ { 2 } + b x + c $经过点$ A ( - 1,0 ) $，$ B ( 0,3 ) $，$ L $为抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式及点$ L $的坐标.

【对称性问题】(2)点$ C $，$ D $均在抛物线上(点$ C $在点$ D $的左侧)，且两点的纵坐标相等.若$ C D = 6 $，求点$ C $和点$ D $的坐标.
【增减性问题】(3)当$ - 3 \lt x \lt 3 $时，求$ y $的取值范围.
(4)点$ M $到抛物线对称轴的距离为$ 2 $个单位长度，$ N $为抛物线上点$ M $，$ B $之间的一个动点(不含点$ M $，$ B $），求点$ N $的纵坐标的取值范围.
【最值问题】(5)如图2，若直线$ x = m $与$ x $轴交于点$ N $，在第一象限内与抛物线交于点$ M $，当$ m $取何值时，$ A N + M N $有最大值，并求出最大值.

(6)当$ - 2 \leq x \leq n $时，二次函数的最大值与最小值的差为$ 9 $，求$ n $的取值范围.
(7)如图3，点$ P $为该抛物线上一点，其横坐标为$ m $.当$ m \gt 0 $时，设该抛物线在点$ B $与点$ P $之间(包含点$ B $和点$ P $）的部分的最高点和最低点到$ x $轴的距离分别为$ d $，$ n $，当$ d - n = 1 $时，直接写出$ m $的取值范围.

(拓展)【交点问题】(8)如图4，已知$ K $是直线$ l : y = x $上一动点，将点$ K $向右平移$ 2 $个单位长度得到点$ K ^ { \prime } $.若线段$ K K ^ { \prime } $与抛物线只有一个交点，请直接写出点$ K $的横坐标的取值范围.

(1)y=-x²+2x+3，(1,4)；
(2)C(-2,-5)，D(4,-5)；
(3)-12＜y≤4；
(4)0＜y≤4；
(5)m=3/2，最大值25/4；
(6)1≤n≤4；
(7)1≤m≤2或m=1+√7；
(8)[(-3-√21)/2,(1-√13)/2]∪[(-3+√21)/2,(1+√13)/2]

(1)将点A(-1,0)、B(0,3)代入y=-x²+bx+c，得：
3=c，
0=-1-b+c⇒b=2，
∴抛物线解析式为y=-x²+2x+3。
顶点L横坐标x=-b/(2a)=1，代入得y=4，∴L(1,4)。
(2)抛物线对称轴x=1,设C(x₁,y),D(x₂,y),则(x₁+x₂)/2=1⇒x₂=2-x₁。
CD=6⇒x₂-x₁=6⇒2-x₁-x₁=6⇒x₁=-2,x₂=4。
代入抛物线得y=-5，∴C(-2,-5),D(4,-5)。
(3)对称轴x=1，-3＜x＜3时，x=1时y最大=4；x=-3时y=-12，∴-12＜y≤4。
(4)M为(3,0)或(-1,0)。
M(3,0)时，0＜x＜3，y最大值4，最小值0，∴0＜y≤4；
M(-1,0)时，-1＜x＜0，y递增，0＜y＜3。
综上：0＜y≤4。
(5)AN=m+1，MN=-m²+2m+3，AN+MN=-m²+3m+4。
对称轴m=3/2，0＜m＜3，∴m=3/2时，最大值25/4。
(6)-2≤x≤n，最大值4。最小值：
1≤n≤4时，最小值-5，差9；
n＞4时，差＞9；n＜1时，差≠9。∴1≤n≤4。
(7)1≤m≤2或m=1+√7。
(8)K(t,t),K'(t+2,t)，线段y=t与抛物线交于x∈[t,t+2]。
方程-x²+2x+3=t在[t,t+2]有唯一解，解得t∈[(-3-√21)/2,(1-√13)/2]∪[(-3+√21)/2,(1+√13)/2]。