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1. 如图，四边形ABCD的顶点B，C，D都在$\odot A$上，$AD // BC$，$∠ BAD = 140°$，$AC=3$，则$\overset{\frown}{BC}$的长为（
A.$\frac{5π}{3}$
B.$\frac{5π}{2}$
C.$\frac{3π}{2}$
D.$\frac{5π}{6}$
A
）A.$\frac{5π}{3}$
B.$\frac{5π}{2}$
C.$\frac{3π}{2}$
D.$\frac{5π}{6}$
答案
1. A
解析
【分析】
要计算$\overset{\frown}{BC}$的长，需用到弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（n为弧所对圆心角的度数，r为圆的半径）。本题中⊙A的半径$r=AC=3$为已知条件，因此解题核心是求出$\overset{\frown}{BC}$对应的圆心角$∠ BAC$的度数。首先根据平行线的同旁内角互补性质求出$∠ ABC$的度数，再结合圆的半径相等得到$△ ABC$为等腰三角形，推出$∠ ACB=∠ ABC$，然后利用平行线内错角相等求出$∠ DAC$的度数，最后用$∠ BAD$减去$∠ DAC$即可得到圆心角$∠ BAC$的度数，代入弧长公式就能算出结果。
【解析】
1. 求$∠ ABC$的度数：
∵ $AD// BC$，根据两直线平行，同旁内角互补，
∴ $∠ BAD + ∠ ABC = 180°$，
已知$∠ BAD=140°$，代入得$∠ ABC=180°-140°=40°$。
2. 推导$∠ ACB$和$∠ DAC$的度数：
∵ $AB、AC$都是$\odot A$的半径，
∴ $AB=AC$，
∴ $△ ABC$是等腰三角形，$∠ ACB=∠ ABC=40°$。
又
∵ $AD// BC$，根据两直线平行，内错角相等，
∴ $∠ DAC=∠ ACB=40°$。
3. 求圆心角$∠ BAC$的度数：
$∠ BAC=∠ BAD - ∠ DAC=140°-40°=100°$。
4. 代入弧长公式计算：
$l_{\overset{\frown}{BC}}=\frac{nπ r}{180}=\frac{100×π×3}{180}=\frac{5π}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
弧长计算；平行线的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础综合题，将圆的基本性质、平行线性质和弧长计算结合考查，解题的关键是准确求出弧对应的圆心角度数，熟练掌握相关基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
要计算$\overset{\frown}{BC}$的长，需用到弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（n为弧所对圆心角的度数，r为圆的半径）。本题中⊙A的半径$r=AC=3$为已知条件，因此解题核心是求出$\overset{\frown}{BC}$对应的圆心角$∠ BAC$的度数。首先根据平行线的同旁内角互补性质求出$∠ ABC$的度数，再结合圆的半径相等得到$△ ABC$为等腰三角形，推出$∠ ACB=∠ ABC$，然后利用平行线内错角相等求出$∠ DAC$的度数，最后用$∠ BAD$减去$∠ DAC$即可得到圆心角$∠ BAC$的度数，代入弧长公式就能算出结果。
【解析】
1. 求$∠ ABC$的度数：
∵ $AD// BC$，根据两直线平行，同旁内角互补，
∴ $∠ BAD + ∠ ABC = 180°$，
已知$∠ BAD=140°$，代入得$∠ ABC=180°-140°=40°$。
2. 推导$∠ ACB$和$∠ DAC$的度数：
∵ $AB、AC$都是$\odot A$的半径，
∴ $AB=AC$，
∴ $△ ABC$是等腰三角形，$∠ ACB=∠ ABC=40°$。
又
∵ $AD// BC$，根据两直线平行，内错角相等，
∴ $∠ DAC=∠ ACB=40°$。
3. 求圆心角$∠ BAC$的度数：
$∠ BAC=∠ BAD - ∠ DAC=140°-40°=100°$。
4. 代入弧长公式计算：
$l_{\overset{\frown}{BC}}=\frac{nπ r}{180}=\frac{100×π×3}{180}=\frac{5π}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
弧长计算；平行线的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础综合题，将圆的基本性质、平行线性质和弧长计算结合考查，解题的关键是准确求出弧对应的圆心角度数，熟练掌握相关基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
2. 如图，$\odot A$，$\odot B$，$\odot C$ 两两不相交，且半径都是0.5 cm，则图中三个阴影部分的弧长之和为 （
A.$π$ cm
B.$\frac{π}{2}$ cm
C.$\frac{π}{4}$ cm
D.$\frac{π}{8}$ cm
B
）A.$π$ cm
B.$\frac{π}{2}$ cm
C.$\frac{π}{4}$ cm
D.$\frac{π}{8}$ cm
答案
2. B
解析
【分析】
解题时先回忆弧长计算公式，观察三个阴影部分都是半径为0.5cm的扇形，若分别求每个扇形的弧长需要知道各自圆心角，显然无法直接得到。此时考虑整体法：三个扇形的圆心角恰好是三角形的三个内角，根据三角形内角和为180°，可直接得到三个圆心角的总和，再代入弧长公式计算总弧长即可。
【解析】
∵ 三角形的内角和为180°，
∴ 三个阴影扇形的圆心角度数之和为180°，
已知扇形半径$r=0.5\mathrm{cm}$，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数），
可得三个阴影部分的弧长之和为：
$l_{\mathrm{总}}=\frac{(n_1+n_2+n_3)π r}{180}=\frac{180×π×0.5}{180}=\frac{π}{2}\mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
弧长计算，三角形内角和定理
【点评】
本题考查了弧长的计算，解题的核心是利用整体思想，通过三角形内角和得到三个扇形圆心角的总和，无需单独计算每个弧长，是对基础公式和数学思想的常规考查。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆弧长计算公式，观察三个阴影部分都是半径为0.5cm的扇形，若分别求每个扇形的弧长需要知道各自圆心角，显然无法直接得到。此时考虑整体法：三个扇形的圆心角恰好是三角形的三个内角，根据三角形内角和为180°，可直接得到三个圆心角的总和，再代入弧长公式计算总弧长即可。
【解析】
∵ 三角形的内角和为180°，
∴ 三个阴影扇形的圆心角度数之和为180°，
已知扇形半径$r=0.5\mathrm{cm}$，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数），
可得三个阴影部分的弧长之和为：
$l_{\mathrm{总}}=\frac{(n_1+n_2+n_3)π r}{180}=\frac{180×π×0.5}{180}=\frac{π}{2}\mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
弧长计算，三角形内角和定理
【点评】
本题考查了弧长的计算，解题的核心是利用整体思想，通过三角形内角和得到三个扇形圆心角的总和，无需单独计算每个弧长，是对基础公式和数学思想的常规考查。
【难度系数】
0.7
3. 如图，某道路施工部门在铺设管道时，需要先按照其中心线计算长度后再备料. 图中的管道中心线$\overset{\frown}{AB}$的长为 （
A.$\frac{40π}{3}$ m
B.$\frac{80π}{3}$ m
C.$\frac{1600π}{3}$ m
D.$\frac{3200π}{3}$ m
B
）A.$\frac{40π}{3}$ m
B.$\frac{80π}{3}$ m
C.$\frac{1600π}{3}$ m
D.$\frac{3200π}{3}$ m
答案
3. B
解析
【分析】
要计算弧$\overset{\frown}{AB}$的长度，首先回忆弧长计算公式，解题时需要先确定两个关键量：一是弧所在圆的半径，二是弧对应的圆心角。观察图形可知，管道中心线对应的圆半径为40m，圆心角为120°，将两个量代入弧长公式即可求出结果，注意不要将弧长公式和扇形面积公式混淆。
【解析】
弧长计算公式为$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为弧对应的圆心角度数，$r$为弧所在圆的半径）。
由题意得：圆心角$n=120°$，半径$r=40\mathrm{m}$，代入公式得：
$l_{\overset{\frown}{AB}}=\frac{120× π × 40}{180}=\frac{80π}{3}\mathrm{m}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
弧长的计算
【点评】
本题属于基础应用题，重点考查对弧长公式的掌握，解题的核心是准确从图中提取出圆心角、半径这两个计算所需的条件，牢记公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要计算弧$\overset{\frown}{AB}$的长度，首先回忆弧长计算公式，解题时需要先确定两个关键量：一是弧所在圆的半径，二是弧对应的圆心角。观察图形可知，管道中心线对应的圆半径为40m，圆心角为120°，将两个量代入弧长公式即可求出结果，注意不要将弧长公式和扇形面积公式混淆。
【解析】
弧长计算公式为$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为弧对应的圆心角度数，$r$为弧所在圆的半径）。
由题意得：圆心角$n=120°$，半径$r=40\mathrm{m}$，代入公式得：
$l_{\overset{\frown}{AB}}=\frac{120× π × 40}{180}=\frac{80π}{3}\mathrm{m}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
弧长的计算
【点评】
本题属于基础应用题，重点考查对弧长公式的掌握，解题的核心是准确从图中提取出圆心角、半径这两个计算所需的条件，牢记公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4. 如图，将笔记本电脑平放在桌子上，当电脑闭合时，OA与OB重合；当电脑打开时，点A运动的轨迹形成$\overset{\frown}{AB}$。若OA＝264 mm，∠AOB＝120°，则$\overset{\frown}{AB}$的长是
$176π$
mm（结果保留π）。答案
4. 176π
解析
【分析】
本题要求$\overset{\frown}{AB}$的长度，解题核心是运用弧长计算公式。首先明确弧长计算需要两个必备条件：弧所在圆的半径、弧对应的圆心角度数。由题意可知，OA是$\overset{\frown}{AB}$所在圆的半径，长度为264mm，∠AOB是$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角，度数为120°，将两个已知量代入弧长公式即可求出结果。
【解析】
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为弧对应的圆心角度数，$r$为弧所在圆的半径），
由题意得：$n=120°$，$r=OA=264\mathrm{mm}$，
代入公式计算：
$\overset{\frown}{AB}$的长$=\frac{120×π×264}{180}=176π(\mathrm{mm})$。
【答案】
$176π$
【知识点】
弧长的计算
【点评】
本题属于基础题型，结合生活场景考查弧长公式的应用，解题关键是准确提取题干中的半径和圆心角数值，牢记弧长公式即可快速求解。
【难度系数】
0.85
本题要求$\overset{\frown}{AB}$的长度，解题核心是运用弧长计算公式。首先明确弧长计算需要两个必备条件：弧所在圆的半径、弧对应的圆心角度数。由题意可知，OA是$\overset{\frown}{AB}$所在圆的半径，长度为264mm，∠AOB是$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角，度数为120°，将两个已知量代入弧长公式即可求出结果。
【解析】
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为弧对应的圆心角度数，$r$为弧所在圆的半径），
由题意得：$n=120°$，$r=OA=264\mathrm{mm}$，
代入公式计算：
$\overset{\frown}{AB}$的长$=\frac{120×π×264}{180}=176π(\mathrm{mm})$。
【答案】
$176π$
【知识点】
弧长的计算
【点评】
本题属于基础题型，结合生活场景考查弧长公式的应用，解题关键是准确提取题干中的半径和圆心角数值，牢记弧长公式即可快速求解。
【难度系数】
0.85
5. 如图，小明同学把一直角三角尺的$30°$角的顶点A放在半径为4的圆形铁丝上，三角尺的一条直角边及斜边分别与圆形铁丝交于点B，C，则$\overset{\frown}{BC}$的长为
$\frac{4}{3}π$
（结果保留$π$）。答案
5. $\frac{4}{3}π$
解析
【分析】
要计算弧$\overset{\frown}{BC}$的长，需要知道两个条件：圆形铁丝的半径、弧$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角的度数。题目已经给出半径为4，因此核心是求圆心角的度数。已知∠A=30°是弧$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可求出对应圆心角的度数，再代入弧长公式计算即可。
【解析】
连接OB、OC。
∵ ∠A是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，∠BOC是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角，
∴ 根据圆周角定理可得：$∠ BOC=2∠ A=2×30°=60°$。
已知圆的半径$r=4$，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为圆心角度数），代入$n=60$，$r=4$得：
$\overset{\frown}{BC}$的长$=\frac{60π×4}{180}=\frac{4}{3}π$。
【答案】
$\frac{4}{3}π$
【知识点】
圆周角定理；弧长的计算
【点评】
本题属于基础计算题，解题的关键是利用圆周角定理求出对应圆心角的度数，再结合弧长公式求解，熟练掌握圆的基础定理和公式是解决这类问题的前提。
【难度系数】
0.7
要计算弧$\overset{\frown}{BC}$的长，需要知道两个条件：圆形铁丝的半径、弧$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角的度数。题目已经给出半径为4，因此核心是求圆心角的度数。已知∠A=30°是弧$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可求出对应圆心角的度数，再代入弧长公式计算即可。
【解析】
连接OB、OC。
∵ ∠A是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，∠BOC是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角，
∴ 根据圆周角定理可得：$∠ BOC=2∠ A=2×30°=60°$。
已知圆的半径$r=4$，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为圆心角度数），代入$n=60$，$r=4$得：
$\overset{\frown}{BC}$的长$=\frac{60π×4}{180}=\frac{4}{3}π$。
【答案】
$\frac{4}{3}π$
【知识点】
圆周角定理；弧长的计算
【点评】
本题属于基础计算题，解题的关键是利用圆周角定理求出对应圆心角的度数，再结合弧长公式求解，熟练掌握圆的基础定理和公式是解决这类问题的前提。
【难度系数】
0.7
6. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，以$AB$为直径的$\odot O$分别交$AC$，$BC$于点$D$，$E$.
（1）求证：$BE=CE$；
（2）若$AB=6$，$∠ BAC=54°$，求$\overset{\frown}{AD}$的长（结果保留$π$）.
（1）求证：$BE=CE$；
（2）若$AB=6$，$∠ BAC=54°$，求$\overset{\frown}{AD}$的长（结果保留$π$）.
答案
（1）证明 如图，连接 AE. 因为 AB 是$\odot O$的直径，所以$∠ AEB=90°$，即 $AE⊥ BC$。又 $AB = AC$，所以 AE 是边 BC 上的中线。所以 $BE=CE$。
（2）解 如图，连接 OD. 因为 $AB=6$，所以$AO=\frac{1}{2}AB=3$。因为 $OA=OD$，$∠ BAC=54°$，所以 $∠ OAD = ∠ ODA = 54°$。所以$∠ AOD=180°-2×54°=72°$。
所以$\overset{\frown}{AD}$的长为$\frac{72π×3}{180}=\frac{6}{5}π$。
解析
【分析】
（1）要证明$BE=CE$，已知$AB=AC$，$△ ABC$为等腰三角形，若能证明$AE$是$BC$边上的高，根据等腰三角形三线合一的性质即可得证。结合$AB$是$\odot O$的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”，连接$AE$即可得到$∠ AEB=90°$，满足三线合一的条件。
（2）求$\overset{\frown}{AD}$的长，需用到弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数，$r$为圆的半径），因此需要先求出$\odot O$的半径，以及$\overset{\frown}{AD}$对应的圆心角$∠ AOD$的度数。连接$OD$，利用$OA=OD$得到等腰$△ OAD$，结合已知的$∠ BAC$的度数即可求出圆心角，代入公式计算即可。
【解析】
（1）证明：连接$AE$，
∵$AB$是$\odot O$的直径，
∴$∠ AEB=90°$，即$AE⊥ BC$，
又
∵$AB=AC$，
∴$AE$是$△ ABC$边$BC$上的中线，
∴$BE=CE$。
（2）解：连接$OD$，
∵$AB=6$，
∴$\odot O$的半径$AO=\frac{1}{2}AB=3$，
∵$OA=OD$，$∠ BAC=54°$，
∴$∠ OAD=∠ ODA=54°$，
∴$∠ AOD=180°-2×54°=72°$，
根据弧长公式，$\overset{\frown}{AD}$的长为$\frac{72π×3}{180}=\frac{6}{5}π$。
【答案】
（1）$BE=CE$得证；
（2）$\overset{\frown}{AD}$的长为$\frac{6}{5}π$
【知识点】
直径所对圆周角的性质；等腰三角形的性质；弧长计算
【点评】
本题属于圆的基础综合题，主要考查圆的基本性质、等腰三角形的性质和弧长公式的应用，解题的关键是合理添加辅助线，熟练运用相关性质推导所需的角度和边长，是考试中常见的基础题型。
【难度系数】
0.7
（1）要证明$BE=CE$，已知$AB=AC$，$△ ABC$为等腰三角形，若能证明$AE$是$BC$边上的高，根据等腰三角形三线合一的性质即可得证。结合$AB$是$\odot O$的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”，连接$AE$即可得到$∠ AEB=90°$，满足三线合一的条件。
（2）求$\overset{\frown}{AD}$的长，需用到弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数，$r$为圆的半径），因此需要先求出$\odot O$的半径，以及$\overset{\frown}{AD}$对应的圆心角$∠ AOD$的度数。连接$OD$，利用$OA=OD$得到等腰$△ OAD$，结合已知的$∠ BAC$的度数即可求出圆心角，代入公式计算即可。
【解析】
（1）证明：连接$AE$，
∵$AB$是$\odot O$的直径，
∴$∠ AEB=90°$，即$AE⊥ BC$，
又
∵$AB=AC$，
∴$AE$是$△ ABC$边$BC$上的中线，
∴$BE=CE$。
（2）解：连接$OD$，
∵$AB=6$，
∴$\odot O$的半径$AO=\frac{1}{2}AB=3$，
∵$OA=OD$，$∠ BAC=54°$，
∴$∠ OAD=∠ ODA=54°$，
∴$∠ AOD=180°-2×54°=72°$，
根据弧长公式，$\overset{\frown}{AD}$的长为$\frac{72π×3}{180}=\frac{6}{5}π$。
【答案】
（1）$BE=CE$得证；
（2）$\overset{\frown}{AD}$的长为$\frac{6}{5}π$
【知识点】
直径所对圆周角的性质；等腰三角形的性质；弧长计算
【点评】
本题属于圆的基础综合题，主要考查圆的基本性质、等腰三角形的性质和弧长公式的应用，解题的关键是合理添加辅助线，熟练运用相关性质推导所需的角度和边长，是考试中常见的基础题型。
【难度系数】
0.7
