1.如图，$∠ DAB = 140°$，$∠ D = 50°$，$∠ B = 130°$，$∠ EAF = 70°$，$AB = AD$，$BE = 2$，$DF = 3$，求$EF$的长度.

5

【分析】
本题属于半角模型的全等构造问题，已知AB=AD，∠DAB的度数是∠EAF的2倍，且∠D与∠B度数和为180°，可通过旋转构造全等三角形，将分散的线段BE、DF转化到同一条线段上，进而求解EF长度。解题思路为：先将△ADF旋转使AD与AB重合得到新的三角形，再证明旋转后对应点与B、E共线，接着证明△AEF与旋转得到的三角形全等，最后通过等量代换求出EF。
【解析】
解：将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABG。
由旋转的性质可得：△ADF≌△ABG
∴$DF=BG=3$，$∠D=∠ABG=50°$，$∠DAF=∠BAG$，$AF=AG$
∵$∠ABG=50°$，$∠ABE=130°$
∴$∠ABG+∠ABE=50°+130°=180°$，即点G、B、E在同一条直线上
∵$∠DAB=140°$，$∠EAF=70°$
∴$∠DAF+∠BAE=∠DAB-∠EAF=140°-70°=70°$
∴$∠BAG+∠BAE=∠GAE=70°$，即$∠GAE=∠EAF=70°$
在△AEF和△AEG中：
$\{\begin{array}{l}AF=AG \\∠EAF=∠EAG \\AE=AE\end{array} $
∴△AEF≌△AEG（SAS）
∴$EF=EG$
又
∵$EG=BE+BG=2+3=5$
∴$EF=5$
【答案】
5
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的判定与性质，半角模型构造
【点评】
本题解题核心是利用半角特征通过旋转构造全等三角形，将原本分散的两条线段整合到同一直线上，将求EF的问题转化为求两条已知线段的和，有效降低了解题难度。
【难度系数】
0.6

2.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠BCD=90°,∠ADC=60°,AB=BC.若点E,F分别在AD,DC的延长线上,且∠EBF=60°,求证:AE=EF+CF.

证明：
在AE上截取AG=CF，连接BG。
∵ ∠BCD=90°，点F在DC的延长线上，
∴ ∠BCF=180°-∠BCD=90°，
又∵ ∠A=90°，
∴ ∠A=∠BCF。
在△ABG和△CBF中：
$\{\begin{array}{l}AB=BC \\∠A=∠BCF \\AG=CF\end{array} $
∴ △ABG≌△CBF(SAS)，
∴ BG=BF，∠ABG=∠CBF。
∵ 四边形ABCD内角和为360°，∠A=∠BCD=90°，∠ADC=60°，
∴ ∠ABC=360°-90°-90°-60°=120°，
即∠ABG+∠GBC=120°，
代入∠ABG=∠CBF得：∠CBF+∠GBC=∠GBF=120°。
∵ ∠EBF=60°，
∴ ∠GBE=∠GBF - ∠EBF=120°-60°=60°，
∴ ∠GBE=∠EBF。
在△GBE和△FBE中：
$\{\begin{array}{l}BG=BF \\∠GBE=∠FBE \\BE=BE\end{array} $
∴ △GBE≌△FBE(SAS)，
∴ EF=GE。
∵ AE=AG+GE，AG=CF，
∴ AE=CF+EF，即AE=EF+CF。

【分析】要证明AE=EF+CF，属于线段和差类证明问题，通常采用截长补短的思路求解。结合已知AB=BC、∠A和∠BCF均为直角的条件，选择截长法：在较长线段AE上截取AG=CF，先证△ABG与△CBF全等，得到BG=BF及对应角相等的关系；再结合∠EBF=60°的条件证△GBE与△FBE全等，得到GE=EF，最后通过线段和差关系即可推导得证。
【解析】
证明：
在AE上截取AG=CF，连接BG。
∵ ∠BCD=90°，点F在DC的延长线上，
∴ ∠BCF=180°-∠BCD=90°，
又
∵ ∠A=90°，
∴ ∠A=∠BCF。
在△ABG和△CBF中：
$\{\begin{array}{l}AB=BC \\∠A=∠BCF \\AG=CF\end{array} $
∴ △ABG≌△CBF(SAS)，
∴ BG=BF，∠ABG=∠CBF。
∵ 四边形ABCD内角和为360°，∠A=∠BCD=90°，∠ADC=60°，
∴ ∠ABC=360°-90°-90°-60°=120°，
即∠ABG+∠GBC=120°，
代入∠ABG=∠CBF得：∠CBF+∠GBC=∠GBF=120°。
∵ ∠EBF=60°，
∴ ∠GBE=∠GBF - ∠EBF=120°-60°=60°，
∴ ∠GBE=∠EBF。
在△GBE和△FBE中：
$\{\begin{array}{l}BG=BF \\∠GBE=∠FBE \\BE=BE\end{array} $
∴ △GBE≌△FBE(SAS)，
∴ EF=GE。
∵ AE=AG+GE，AG=CF，
∴ AE=CF+EF，即AE=EF+CF。
【答案】AE=EF+CF，证明成立。
【知识点】1.全等三角形的判定与性质 2.四边形内角和定理 3.截长补短证线段和差
【点评】本题是典型的半角模型全等构造问题，核心是通过截长补短的方法构造全等三角形，将分散的待证线段转化到同一条线段上建立关系，解题的关键是利用已知的等线段、等角条件两次证明三角形全等，需要熟练掌握线段和差类证明题的常规解题思路。
【难度系数】
0.6

3.如图,在四边形ABCD中,BC=CD,∠B=∠D=90°,∠C=126°,在边BC和CD上分别有点E和点F,使△ECF的周长恰好是BC长度的2倍,求此时∠FAE的度数.

$27°$

【分析】
本题是半角模型的全等构造类题目，解题思路如下：①首先连接AC，通过HL证明Rt△ABC和Rt△ADC全等，得到AB=AD，同时结合四边形内角和算出∠BAD的度数；②根据△ECF周长为2BC的条件，化简推导得到EF=BE+DF，这是半角模型的典型线段关系，采用补短法构造全等，延长CD至G使DG=BE，证△ABE≌△ADG；③再证明△AEF≌△AGF，得到角的等量关系，结合∠BAD的度数即可求出∠FAE的大小。
【解析】
1. 连接AC
在Rt△ABC和Rt△ADC中：
$\{\begin{array}{l}AC=AC\quad(\mathrm{公共边})\\BC=DC\quad(\mathrm{已知})\end{array} $
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）
∴AB=AD，∠BAC=∠DAC
∵四边形内角和为$360°$，$∠ B=∠ D=90°$，$∠ BCD=126°$
∴$∠ BAD=360°-90°-90°-126°=54°$
2. 推导线段关系
已知$△ ECF$的周长$=EC+CF+EF=2BC$，且$BC=BE+EC$，$CD=CF+FD$，$BC=CD$
代入得：$EC+CF+EF=(BE+EC)+(CF+FD)$
消去同类项后得：$EF=BE+FD$
3. 构造全等三角形
延长CD到点G，使$DG=BE$，连接AG
在△ABE和△ADG中：
$\{\begin{array}{l}AB=AD\quad(\mathrm{已证})\\∠ B=∠ ADG=90°\\BE=DG\quad(\mathrm{构造})\end{array} $
∴△ABE≌△ADG（SAS）
∴$AE=AG$，$∠ BAE=∠ DAG$
4. 求∠FAE的度数
∵$EF=BE+FD=DG+FD=FG$
在△AEF和△AGF中：
$\{\begin{array}{l}AE=AG\quad(\mathrm{已证})\\AF=AF\quad(\mathrm{公共边})\\EF=GF\quad(\mathrm{已证})\end{array} $
∴△AEF≌△AGF（SSS）
∴$∠ EAF=∠ GAF=∠ DAG+∠ DAF=∠ BAE+∠ DAF$
又
∵$∠ BAE+∠ DAF+∠ EAF=∠ BAD=54°$
∴$2∠ EAF=54°$，即$∠ EAF=27°$
【答案】
$27°$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，半角模型，四边形内角和
【点评】
本题核心是利用“补短法”构造全等三角形，将分散的线段和角进行转化，解题的突破口是根据周长条件推导出$EF=BE+DF$的线段关系，这类题型是全等构造中的典型考法，掌握半角模型的构造技巧能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.6