8.如图，已知$AB=AD$，$AC=AE$，要使$△ ABC ≌ △ ADE$，则可以添加的条件是（）

A.$∠ 1=∠ 2$
B.$∠ B=∠ D$
C.$∠ C=∠ E$
D.$∠ BAC=∠ DAC$

8. A

【分析】
要判断添加哪个条件可证△ABC≌△ADE，首先明确已知条件：AB=AD，AC=AE，已经给出两组对应边相等。根据三角形全等的判定定理，两边对应相等时，要么添加第三边对应相等（SSS），要么添加这两组边的夹角对应相等（SAS），据此逐一分析选项即可。
【解析】
已知AB=AD，AC=AE，逐个分析选项：
选项A：若∠1=∠2，根据等式的性质，∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠BAC=∠DAE。此时在△ABC和△ADE中：
$\{\begin{array}{l}AB=AD\\ ∠ BAC=∠ DAE\\ AC=AE\end{array} $
满足SAS判定定理，可证△ABC≌△ADE，符合要求。
选项B：若∠B=∠D，属于两边及其中一边的对角对应相等（SSA），不能判定三角形全等，排除。
选项C：若∠C=∠E，同样属于SSA情形，不能判定三角形全等，排除。
选项D：若∠BAC=∠DAC，无法推出△ABC和△ADE的对应角相等，不能判定全等，排除。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形的SAS判定；角的和差运算
【点评】
本题考查三角形全等的判定，解题关键是熟练掌握全等判定定理的适用条件，明确SSA不能作为三角形全等的判定依据，结合已知边的条件匹配对应的判定规则即可求解。
【难度系数】
0.7

9.在测量一个小口圆形容器的壁厚(厚度均匀)时,小明用“X”型转动钳按如图所示的方法进行测量,其中$OA=OD,OB=OC,CD$与容器内壁垂直,测得$AB=3\ \mathrm{cm},EF=5\ \mathrm{cm}$,则圆形容器的壁厚是$\mathrm{cm}$.

(第9题图)
(第10题图)

9. 1

【分析】
首先观察题中给出的边相等条件：OA=OD，OB=OC，同时∠AOB和∠DOC是对顶角，大小相等，可利用SAS判定定理证明△AOB和△DOC全等，根据全等三角形对应边相等即可得到CD的长度等于AB的长度。再结合EF是容器外壁的总宽度，CD是容器内壁的宽度，二者的差值是两倍的容器壁厚（左右两侧各有一层壁厚），将差值除以2即可得到壁厚。
【解析】
在$△ AOB$和$△ DOC$中：
$\{\begin{array}{l}OA=OD\\ ∠ AOB=∠ DOC(\mathrm{对顶角相等})\\ OB=OC\end{array} $
$\therefore △ AOB≌△ DOC(\mathrm{SAS})$
$\therefore CD=AB=3\ \mathrm{cm}$
已知$EF=5\ \mathrm{cm}$，EF为容器外壁总宽度，CD为内壁宽度，二者的差为2倍壁厚：
$\therefore$ 壁厚$=\dfrac{EF-CD}{2}=\dfrac{5-3}{2}=1\ \mathrm{cm}$
【答案】
1
【知识点】
SAS判定三角形全等；全等三角形对应边相等；对顶角的性质
【点评】
本题结合实际测量场景考查全等三角形的应用，解题核心是通过全等转化线段长度，再结合内外宽度差计算壁厚，能够锻炼学生将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.7

10.如图，AD是$△ ABC$的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且$DE=DF$，连接BF，CE.有下列说法：①$△ ABD$和$△ ACD$的面积相等；②$∠ BAD=∠ CAD$；③$△ BDF≌△ CDE$；④$BF// CE$.其中正确的是.(填序号)

10. ①③④

【分析】
我们需要逐个判断4个说法的正误：①先利用三角形中线的性质，看△ABD和△ACD的底和高的关系判断面积是否相等；②明确中线仅平分对边，没有平分角的作用，除非三角形是等腰三角形，题目未给出该条件，可直接判断正误；③看△BDF和△CDE的边和角的条件，结合全等三角形的SAS判定定理判断是否全等；④根据全等三角形的性质得到对应角相等，再利用内错角相等两直线平行判断BF和CE是否平行。
【解析】
解：
1. 判断①：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
△ABD和△ACD以BD、CD为底时，高均为点A到直线BC的距离，
等底同高的三角形面积相等，故①正确；
2. 判断②：
AD是中线仅能说明D为BC中点，不能说明AD平分∠BAC，只有当AB=AC时才有∠BAD=∠CAD，题目未给出AB=AC的条件，故②错误；
3. 判断③：
在△BDF和△CDE中：
$\{\begin{array}{l}BD=CD(\mathrm{中线的定义})\\∠BDF=∠CDE(\mathrm{对顶角相等})\\DF=DE(\mathrm{已知})\end{array} $
∴△BDF≌△CDE(SAS)，故③正确；
4. 判断④：
∵△BDF≌△CDE，
∴∠F=∠CED，
根据“内错角相等，两直线平行”，可得BF//CE，故④正确。
综上，正确的是①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
三角形中线的性质；全等三角形的判定与性质；平行线的判定
【点评】
本题是基础几何综合题，解题时要注意区分中线和角平分线的功能，不要默认中线平分三角形的内角，熟练运用SAS判定三角形全等、结合全等的性质推导平行关系是解题的关键。
【难度系数】
0.7

11.如图,在$△ ABC$中,$∠ B=50°,∠ C=20°$,过点$A$作$AE⊥ BC$,垂足为$E$,延长$EA$至点$D$,使$AD=AC$,在边$AC$上截取$AF=AB$,连接$DF$.求证:$DF=CB$.

11. 证明:$\because ∠ B=50°,∠ C=20°,\therefore ∠ CAB=180°-∠ B-∠ C=110°.\because AE⊥ BC,\therefore ∠ AEC=90°. \therefore ∠ DAF=∠ AEC+∠ C=110°. \therefore ∠ DAF=∠ CAB.$ 在$△ DAF$ 和 $△ CAB$ 中,$\because \begin{cases} AD=AC, \\ ∠ DAF=∠ CAB, \\ AF=AB, \end{cases}$$\therefore △ DAF≌△ CAB(\mathrm{SAS}).$$\therefore DF=CB.$

【分析】
要证明DF=CB，可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。观察图形可知DF、CB分别属于△DAF和△CAB，已知AD=AC、AF=AB，因此只需证明两组边的夹角∠DAF=∠CAB即可。首先利用三角形内角和定理求出∠CAB的度数，再结合AE⊥BC的条件，利用三角形外角的性质求出∠DAF的度数，证明两个角相等后，即可通过SAS判定△DAF和△CAB全等，最后根据全等三角形对应边相等得到结论。
【解析】
证明：$\because ∠ B=50°,∠ C=20°$,
$\therefore ∠ CAB=180°-∠ B-∠ C=110°$.
$\because AE⊥ BC$,
$\therefore ∠ AEC=90°$.
$\therefore ∠ DAF=∠ AEC+∠ C=110°$,
$\therefore ∠ DAF=∠ CAB$.
在$△ DAF$ 和 $△ CAB$ 中,
$\because \begin{cases} AD=AC, \\ ∠ DAF=∠ CAB, \\ AF=AB, \end{cases}$
$\therefore △ DAF≌△ CAB(\mathrm{SAS})$.
$\therefore DF=CB$.
【答案】
$DF=CB$
【知识点】
三角形内角和定理，SAS判定全等，全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题型，解题核心是锁定待证边对应的两个三角形，结合已知条件推导全等所需的夹角相等条件，熟练掌握全等三角形的判定和性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.8

12.如图，在$△ ABC$中，$∠ B=∠ C$，点$D,E,F$分别在$AB,BC,AC$边上，且$BE=CF$，$AD+CE=AB$。
(1)求证:$DE=EF$；
(2)当$∠ A=36°$时，求$∠ DEF$的度数。

12.(1)证明:$\because AB=AD+CE=AD+BD,\therefore BD=CE.$ 在$△ BDE$ 和 $△ CEF$ 中,$\because \begin{cases} BD=CE, \\ ∠ B=∠ C, \\ BE=CF, \end{cases}$$\therefore △ BDE≌△ CEF(\mathrm{SAS}). \therefore DE=EF.$(2)解:$\because ∠ A=36°,$$\therefore ∠ B=∠ C=\frac{1}{2}(180°-∠ A)=72°.$ 由(1)知$△ BDE≌△ CEF,\therefore ∠ BDE=∠ CEF.$$\because ∠ DEC=∠ DEF+∠ CEF=∠ B+∠ BDE,\therefore ∠ DEF=∠ B=72°.$

【分析】
(1)要证明DE=EF，可通过证明两条边所在的三角形全等来实现。首先根据AB=AD+BD，结合已知条件AD+CE=AB，可推出BD=CE，再结合已知的∠B=∠C、BE=CF，即可利用SAS判定△BDE≌△CEF，从而得到DE=EF。
(2)先根据等腰三角形内角和性质，已知顶角∠A的度数，可算出底角∠B的度数。再利用(1)中全等三角形对应角相等的性质，得到∠BDE=∠CEF，结合三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，可得∠DEC=∠B+∠BDE=∠DEF+∠CEF，通过等量代换即可求出∠DEF的度数。
【解析】
(1)证明：
$\because AB = AD + BD$，又已知$AB = AD + CE$，
$\therefore BD = CE$。
在$△ BDE$和$△ CEF$中：
$\begin{cases} BD=CE \\ ∠ B=∠ C \\ BE=CF \end{cases}$
$\therefore △ BDE ≌ △ CEF(\mathrm{SAS})$
$\therefore DE = EF$。
(2)解：
$\because$在$△ ABC$中，$∠ A=36°$，$∠ B=∠ C$，
$\therefore ∠ B = ∠ C = \frac{1}{2}(180°-∠ A) = \frac{1}{2}×(180°-36°) = 72°$。
由(1)知$△ BDE≌△ CEF$，$\therefore ∠ BDE = ∠ CEF$。
$\because ∠ DEC$是$△ BDE$的外角，$\therefore ∠ DEC = ∠ B + ∠ BDE$，
又$\because ∠ DEC = ∠ DEF + ∠ CEF$，
$\therefore ∠ DEF + ∠ CEF = ∠ B + ∠ BDE$，
将$∠ BDE=∠ CEF$代入，得$∠ DEF = ∠ B = 72°$。
【答案】
(1)DE=EF，证明成立；
(2)$∠ DEF=72°$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题属于三角形全等的基础应用题型，解题关键在于第一问通过线段和差关系推导得到全等所需的对应边相等，第二问利用全等的角相等性质结合外角定理完成角的等量代换，考查了逻辑推理能力和几何转化思想。
【难度系数】
0.7

13.如图,在四边形ABCD中,E为BC边的中点,AE平分∠BAD,∠AED=90°,F为AD上一点,且AF=AB.
(1)求证:△ABE≌△AFE;
(2)求证:AD=AB+CD.

13. 证明:(1) $\because AE$ 平分 $∠ BAD,\therefore ∠ BAE=∠ FAE.$ 在 $△ ABE$ 和 $△ AFE$ 中,$\because \begin{cases} AB=AF, \\ ∠ BAE=∠ FAE, \\ AE=AE, \end{cases}$$\therefore △ ABE≌△ AFE(\mathrm{SAS}).$(2)由(1)知$△ ABE≌△ AFE,\therefore EB=EF,∠ AEB=∠ AEF. \because ∠ AED=90°,\therefore ∠ AEB+∠ DEC=90°,∠ AEF+∠ DEF=90°.\therefore ∠ DEC=∠ DEF. \because E$ 为 $BC$ 的中点, $\therefore EB=EC. \therefore EF=EC.$ 在 $△ ECD$ 和 $△ EFD$ 中,$\because \begin{cases} EC=EF, \\ ∠ DEC=∠ DEF, \\ ED=ED, \end{cases}$$\therefore △ ECD≌△ EFD(\mathrm{SAS}). \therefore DC=DF.\therefore AD=AF+DF=AB+CD.$

【分析】
(1) 要证明△ABE≌△AFE，先梳理已知条件：AE平分∠BAD可得∠BAE=∠FAE，题目直接给出AB=AF，还有公共边AE，三个条件刚好符合全等三角形SAS的判定要求，即可完成证明。
(2) 要证明AD=AB+CD，可将AD拆分为AF+DF，已知AB=AF，因此只需证CD=DF即可。结合第一问的全等结论可得EB=EF、∠AEB=∠AEF，再根据∠AED=90°可推出∠DEC=∠DEF；由E是BC中点得EB=EC，等量代换得EF=EC，结合公共边ED，可通过SAS证明△ECD≌△EFD，得到CD=DF，最终通过等量代换得出结论。
【解析】
(1) 证明：
∵ AE平分∠BAD，
∴ ∠BAE=∠FAE。
在△ABE和△AFE中，
$\begin{cases}AB=AF, \\∠BAE=∠FAE, \\AE=AE,\end{cases}$
∴ △ABE≌△AFE$(\mathrm{SAS})$。
(2) 证明：
由(1)知△ABE≌△AFE，
∴ $EB=EF$，$∠AEB=∠AEF$。
∵ $∠AED=90°$，
∴ $∠AEB+∠DEC=90°$，$∠AEF+∠DEF=90°$，
∴ $∠DEC=∠DEF$。
∵ E为BC的中点，
∴ $EB=EC$，
∴ $EF=EC$。
在△ECD和△EFD中，
$\begin{cases}EC=EF, \\∠DEC=∠DEF, \\ED=ED,\end{cases}$
∴ △ECD≌△EFD$(\mathrm{SAS})$，
∴ $DC=DF$。
∴ $AD=AF+DF=AB+CD$。
【答案】
(1) $△ ABE≌△ AFE(\mathrm{SAS})$，证明成立；
(2) $AD=AB+CD$，证明成立。
【知识点】
1. 全等三角形SAS判定
2. 全等三角形的性质
3. 角平分线的定义
【点评】
本题是几何基础证明题，第一问直接利用已知条件结合SAS判定即可证明全等，第二问属于线段和差的典型考法，通过拆分待证线段、借助两次全等转化对应边即可得证，解题时注意充分利用前一问的结论作为已知条件。
【难度系数】
0.7