4[2025广东潮州期末,中]如图(1),O为直线AB上一点,过点O作射线OC,∠AOC=30°,将一直角三角板MON(∠M=30°)的直角顶点放在点O处,一边ON在射线OA上,另一边OM与OC都在直线AB的上方.(注:本题旋转角度不超过180°)
(1)将图(1)中的三角板绕点O以每秒3°的速度按顺时针方向旋转,经过t秒后,∠AON=°(用含t的式子表示).如图(2),若OM恰好平分∠BOC,则t的值为.
(2)在(1)的基础上,若三角板在转动的同时,射线OC也绕O点以每秒6°的速度按顺时针方向旋转,如图(3),经过t秒后,∠AOC=°(用含t的式子表示),若OC平分∠MON,求t的值.
(3)在(2)的条件下,经过多长时间OC平分∠BOM?

4.【解】(1)由题意知,∠AON=3t°. 因为∠AOC=30°,所以∠BOC=150°.
因为 OM 平分∠BOC,∠MON = 90°, 所以∠COM=75°,所以∠CON=15°,所以∠AON=∠AOC-∠CON=30°-15°=15°,所以 t = 15°÷3°=5(秒). 故答案为 3t,5.
(2)由题意知,∠AOC=(30+6t)°. 因为∠MON=90°,OC 平分∠MON,所以∠CON = ∠COM = 45°,所以∠AOC - ∠AON = ∠CON = 45°,所以30+6t-3t=45,解得 t=5. 故答案为(30+6t).
(3)如图. 由题意得,∠AON+∠BOM = 90°, ∠BOC = ∠COM,∠AON=3t°,∠AOC=(30+6t)°,如,所以∠BOM = 90° - 3t°, 所以∠COM=∠BOC=1/2(90-3t)°. 因为∠BOC+∠AOC=180°,所以 30+6t+1/2(90-3t)=180,解得 t=70/3. 所以经过70/3秒 OC 平分∠BOM.

5 [2025安徽黄山期末,难]如图,已知∠AOB=120°,OC,OD是以O为顶点的两条射线,OM,ON分别平分∠AOC,∠BOD.
(1)①如图(1),当∠COD=50°,∠BOD=40°时,∠MON的度数为;
②如图(2),当0°＜∠BOD＜60°时,请写出∠AOD,∠BOC与∠MON之间的数量关系,并说明理由.
(2)如图(3),当∠COD=50°时,∠AOC以4.5度/秒的速度整体绕点O顺时针旋转,同时,∠BOD以2度/秒的速度整体绕点O顺时针旋转,当∠BOD刚好旋转一周时,两个角都停止旋转,求旋转过程中∠AOC与∠BOD有重叠部分的总时长.

5.【解】(1)①因为∠COD=50°,∠BOD=40°,所以∠BOC=∠COD+∠BOD=90°.
因为∠AOB = 120°, 所以∠AOC = ∠AOB - ∠BOC=120°-90°=30°.
因为 OM,ON 分别平分∠AOC,∠BOD,所以∠COM = 1/2 ∠AOC = 15°, ∠DON = 1/2∠DOB=20°,
所以∠MON = ∠COM + ∠COD + ∠DON = 15°+50°+20°=85°,故答案为 85°.
②2∠MON=∠AOD+∠BOC. 理由:
因为 OM,ON 分别平分∠AOC,∠BOD,所以∠COM=1/2∠AOC,∠BON=1/2∠DOB,
所以∠MON = ∠MOC + ∠BOC + ∠BON = 1/2(∠AOC+∠BOD + ∠BOC) + 1/2 ∠BOC = 1/2∠AOD+1/2∠BOC,
所以2∠MON=∠AOD+∠BOC.
(2)因为∠BOD 以 2 度/秒的速度整体绕点 O 顺时针旋转,所以当∠BOD 刚好旋转一周时,所用时间为 360/2=180(秒),第 180 秒时,两个角都停止旋转.
因为∠AOC 以 4.5 度/秒的速度整体绕点 O 顺时针旋转,所以旋转过程中∠AOC,∠BOD 同向旋转,且∠AOC 的速度大于∠BOD 的速度.
当第一次∠AOC 追上∠BOD,即射线 OC 与射线 OD 重合时,所用时间为 50 ÷ (4.5 - 2)= 20(秒),即第 20 秒时,两角开始有重叠部分,射线 OA 与射线 OB 重合时,所用时间为 120 ÷ (4.5 - 2)= 48(秒),即第 48 秒后,两角没有重叠部分,所以∠AOC 与∠BOD 有重叠部分的时间为 48 - 20 = 28(秒).
当第二次∠AOC 追上∠BOD,即射线 OC 与射线 OD 第二次重合时,从开始起所用时间为(360+50)÷(4.5-2)=164(秒),同理射线 OA 与射线 OB 第二次重合时,∠AOC 与∠BOD 有重叠部分的时间为 28 秒.
因为 164+28=192(秒),总用时为 180 秒,所以第二次重叠时间为 180-164=16(秒),所以旋转过程中∠AOC 与∠BOD 有重叠部分的总时长为 28+16=44(秒).
关键点拨
(1)根据角平分线的定义及角之间的和差关系计算即可.
易错警示
(3)分三种情况讨论:①当 ON 是 OM 与 OB 所成角的平分线时;②当 OM 是 OB 与 ON 所成角的平分线时;③当 OB 是 ON 与 OM 所成角的平分线时,注意不要漏解.