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1 某工程队要铺设一条长为1500米的管道，为了减少施工对交通造成的影响，施工时，实际每天比原计划多铺设30米，结果提前10天完成任务.设原计划每天铺设管道x米，请根据题意列出正确的方程.
答案
$\frac{1500}{x} - \frac{1500}{x + 30} = 10$
解析
【分析】
这是工程类分式方程应用题，解题核心是利用工程问题的基本公式梳理等量关系：首先明确工作时间=工作总量÷工作效率。已知总工作量是1500米，设原计划每天铺设x米，可先分别表示出原计划完成任务的时间和实际完成任务的时间；再抓住“提前10天完成”这一条件，即原计划用时比实际用时多10天，就能列出对应的方程。
【解析】
解：设原计划每天铺设管道x米，则实际每天铺设管道$(x+30)$米。
1. 计算原计划完成任务的时间：总长度÷原计划每天铺设长度，即$\frac{1500}{x}$天；
2. 计算实际完成任务的时间：总长度÷实际每天铺设长度，即$\frac{1500}{x+30}$天；
3. 根据“实际比原计划提前10天完成”，可得等量关系：原计划用时 - 实际用时 = 10天，代入对应式子可得方程：
$\frac{1500}{x} - \frac{1500}{x + 30} = 10$
【答案】
$\frac{1500}{x} - \frac{1500}{x + 30} = 10$
【知识点】
分式方程实际应用、工程问题公式、列方程解应用题
【点评】
本题是工程类应用题的基础题型，解题关键是准确对应工作总量、工作效率、工作时间三个量的关系，抓住时间差这一核心等量关系，列方程时注意不要颠倒原计划和实际时间的前后顺序。
【难度系数】
0.7
这是工程类分式方程应用题，解题核心是利用工程问题的基本公式梳理等量关系：首先明确工作时间=工作总量÷工作效率。已知总工作量是1500米，设原计划每天铺设x米，可先分别表示出原计划完成任务的时间和实际完成任务的时间；再抓住“提前10天完成”这一条件，即原计划用时比实际用时多10天，就能列出对应的方程。
【解析】
解：设原计划每天铺设管道x米，则实际每天铺设管道$(x+30)$米。
1. 计算原计划完成任务的时间：总长度÷原计划每天铺设长度，即$\frac{1500}{x}$天；
2. 计算实际完成任务的时间：总长度÷实际每天铺设长度，即$\frac{1500}{x+30}$天；
3. 根据“实际比原计划提前10天完成”，可得等量关系：原计划用时 - 实际用时 = 10天，代入对应式子可得方程：
$\frac{1500}{x} - \frac{1500}{x + 30} = 10$
【答案】
$\frac{1500}{x} - \frac{1500}{x + 30} = 10$
【知识点】
分式方程实际应用、工程问题公式、列方程解应用题
【点评】
本题是工程类应用题的基础题型，解题关键是准确对应工作总量、工作效率、工作时间三个量的关系，抓住时间差这一核心等量关系，列方程时注意不要颠倒原计划和实际时间的前后顺序。
【难度系数】
0.7
学校计划组织八年级学生去科技馆参观.若租用45座的客车x辆,则有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车,则多出一辆车,且其余客车恰好坐满.
（1）求八年级学生的人数.
（2）已知45座客车的租金为每辆220元,60座客车的租金为每辆300元.怎样租车最省钱？
（1）求八年级学生的人数.
（2）已知45座客车的租金为每辆220元,60座客车的租金为每辆300元.怎样租车最省钱？
答案
(1) 八年级学生人数为$45x + 15$,也可表示为$60(x - 1)$,则$45x + 15 = 60(x - 1)$,$45x + 15 = 60x - 60$,$15 + 60 = 60x - 45x$,解得$x = 5$.
学生人数为$45 × 5 + 15 = 240$人.
(2) 若租用45座客车,需6辆,费用为$6 × 220 = 1320$元;
若租用60座客车,需4辆,费用为$4 × 300 = 1200$元;
若租用4辆45座客车和1辆60座客车,可坐人数为$4 × 45 + 60 = 240$人,费用为$4 × 220 + 300 = 1180$元.
所以,租用4辆45座客车和1辆60座客车最省钱.
学生人数为$45 × 5 + 15 = 240$人.
(2) 若租用45座客车,需6辆,费用为$6 × 220 = 1320$元;
若租用60座客车,需4辆,费用为$4 × 300 = 1200$元;
若租用4辆45座客车和1辆60座客车,可坐人数为$4 × 45 + 60 = 240$人,费用为$4 × 220 + 300 = 1180$元.
所以,租用4辆45座客车和1辆60座客车最省钱.
解析
【分析】
（1）两种租车方式下八年级学生总人数固定不变，我们可以抓住“总人数相等”这一等量关系，列出关于x的一元一次方程，先求出租用车辆的数量x，再代入总人数表达式就能算出学生总人数。
（2）要找最省钱的租车方案，需要先列举出所有能承载全部240名学生的租车方案，分别计算每种方案的租金，再比较租金大小，选择费用最低的即可，注意租车时要保证所有学生都有座位，不能超员。
【解析】
（1）根据学生总人数相等列方程：
$\begin{aligned}45x + 15 &= 60(x - 1)\\45x + 15 &= 60x - 60\\15 + 60 &= 60x - 45x\\15x &= 75\\x &= 5\end{aligned}$
将$x=5$代入$45x+15$，可得学生总人数：$45× 5 + 15 = 240$（人）
（2）分别计算不同租车方案的费用：
方案1：全部租用45座客车
需要车辆数：$240÷45\approx5.33$，向上取整为6辆
总费用：$6×220=1320$元
方案2：全部租用60座客车
需要车辆数：$240÷60=4$辆
总费用：$4×300=1200$元
方案3：混合租用两种客车
当租用4辆45座客车、1辆60座客车时，可承载人数为$4×45 + 1×60=240$人，刚好坐满无空位
总费用：$4×220 + 1×300=1180$元
对比三种方案费用：$1180＜1200＜1320$，因此租用4辆45座客车和1辆60座客车最省钱。
【答案】
（1）八年级学生人数为240人；
（2）租用4辆45座客车和1辆60座客车最省钱。
【知识点】
一元一次方程的应用，最优方案决策
【点评】
本题以生活中常见的租车问题为背景，既考查了利用方程解决实际问题的能力，也需要学生全面考虑所有可行的租车方案，通过计算对比得出最优解，有助于提升学生解决实际生活问题的逻辑思维能力。
【难度系数】
0.7
（1）两种租车方式下八年级学生总人数固定不变，我们可以抓住“总人数相等”这一等量关系，列出关于x的一元一次方程，先求出租用车辆的数量x，再代入总人数表达式就能算出学生总人数。
（2）要找最省钱的租车方案，需要先列举出所有能承载全部240名学生的租车方案，分别计算每种方案的租金，再比较租金大小，选择费用最低的即可，注意租车时要保证所有学生都有座位，不能超员。
【解析】
（1）根据学生总人数相等列方程：
$\begin{aligned}45x + 15 &= 60(x - 1)\\45x + 15 &= 60x - 60\\15 + 60 &= 60x - 45x\\15x &= 75\\x &= 5\end{aligned}$
将$x=5$代入$45x+15$，可得学生总人数：$45× 5 + 15 = 240$（人）
（2）分别计算不同租车方案的费用：
方案1：全部租用45座客车
需要车辆数：$240÷45\approx5.33$，向上取整为6辆
总费用：$6×220=1320$元
方案2：全部租用60座客车
需要车辆数：$240÷60=4$辆
总费用：$4×300=1200$元
方案3：混合租用两种客车
当租用4辆45座客车、1辆60座客车时，可承载人数为$4×45 + 1×60=240$人，刚好坐满无空位
总费用：$4×220 + 1×300=1180$元
对比三种方案费用：$1180＜1200＜1320$，因此租用4辆45座客车和1辆60座客车最省钱。
【答案】
（1）八年级学生人数为240人；
（2）租用4辆45座客车和1辆60座客车最省钱。
【知识点】
一元一次方程的应用，最优方案决策
【点评】
本题以生活中常见的租车问题为背景，既考查了利用方程解决实际问题的能力，也需要学生全面考虑所有可行的租车方案，通过计算对比得出最优解，有助于提升学生解决实际生活问题的逻辑思维能力。
【难度系数】
0.7
