登录
5.如图,在直线$l$上求作一点$P$,使$PA=PB$.(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
答案
解：
作线段$AB$的垂直平分线，该垂直平分线与直线$l$的交点即为所求的点$P$，保留以$A$、$B$为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$长为半径画弧的作图痕迹，标注交点$P$。
作线段$AB$的垂直平分线，该垂直平分线与直线$l$的交点即为所求的点$P$，保留以$A$、$B$为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$长为半径画弧的作图痕迹，标注交点$P$。
解析
【分析】
要找到满足$PA=PB$且在直线$l$上的点$P$，可结合线段垂直平分线的判定思考：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此所有满足$PA=PB$的点都在线段$AB$的垂直平分线上。我们只需作出线段$AB$的垂直平分线，它与直线$l$的交点就同时满足“在$l$上”和“$PA=PB$”两个条件，即为所求点$P$。作图时注意作垂直平分线的规范：以$A$、$B$为圆心画弧时，半径要大于$\frac{1}{2}AB$，保证两弧能相交得到两个交点。
【解析】
1. 根据线段垂直平分线的判定，满足$PA=PB$的点的轨迹是线段$AB$的垂直平分线；
2. 用尺规作线段$AB$的垂直平分线：分别以点$A$、$B$为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，两弧在$AB$两侧各交于一点，过这两个交点作直线，即为$AB$的垂直平分线；
3. 该垂直平分线与直线$l$的交点标记为$P$，点$P$即为所求，按要求保留作图痕迹即可。
【答案】
作线段$AB$的垂直平分线，该垂直平分线与直线$l$的交点即为所求的点$P$，保留以$A$、$B$为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$长为半径画弧的作图痕迹，标注交点$P$。
【知识点】
线段垂直平分线的判定；尺规作垂直平分线
【点评】
本题是基础尺规作图题，核心是将“到两点距离相等”的条件转化为点在两点连线的垂直平分线上，再结合点在已知直线上的要求，通过找交点得到所求点，是线段垂直平分线相关知识的典型基础应用。
【难度系数】
0.8
要找到满足$PA=PB$且在直线$l$上的点$P$，可结合线段垂直平分线的判定思考：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此所有满足$PA=PB$的点都在线段$AB$的垂直平分线上。我们只需作出线段$AB$的垂直平分线，它与直线$l$的交点就同时满足“在$l$上”和“$PA=PB$”两个条件，即为所求点$P$。作图时注意作垂直平分线的规范：以$A$、$B$为圆心画弧时，半径要大于$\frac{1}{2}AB$，保证两弧能相交得到两个交点。
【解析】
1. 根据线段垂直平分线的判定，满足$PA=PB$的点的轨迹是线段$AB$的垂直平分线；
2. 用尺规作线段$AB$的垂直平分线：分别以点$A$、$B$为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，两弧在$AB$两侧各交于一点，过这两个交点作直线，即为$AB$的垂直平分线；
3. 该垂直平分线与直线$l$的交点标记为$P$，点$P$即为所求，按要求保留作图痕迹即可。
【答案】
作线段$AB$的垂直平分线，该垂直平分线与直线$l$的交点即为所求的点$P$，保留以$A$、$B$为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$长为半径画弧的作图痕迹，标注交点$P$。
【知识点】
线段垂直平分线的判定；尺规作垂直平分线
【点评】
本题是基础尺规作图题，核心是将“到两点距离相等”的条件转化为点在两点连线的垂直平分线上，再结合点在已知直线上的要求，通过找交点得到所求点，是线段垂直平分线相关知识的典型基础应用。
【难度系数】
0.8
6.如图,在$△ ABC$中,分别以A,B两点为圆心,以大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径作弧,两弧交于点M,N,直线MN交AB于点D,交AC于点E,连接CD.若$△ CDB$的面积比$△ CDE$的面积大6,则$△ ADE$的面积为
6
.答案
6.6
解析
【分析】
首先根据题中的尺规作图方法，可判断出直线MN是线段AB的垂直平分线，由此得出D是AB的中点。根据三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分为两个等底同高、面积相等的小三角形，因此△CDA和△CDB的面积相等。再结合面积的和差关系：△CDA的面积等于△CDE与△ADE的面积之和，对照题目给出的△CDB比△CDE面积大6的条件，通过等量代换即可求出△ADE的面积。
【解析】
1. 由尺规作图的特征可知，直线MN是线段AB的垂直平分线，因此D为AB的中点，CD是△ABC中AB边上的中线。
2. △CDA和△CDB的底AD=BD，高均为点C到AB的垂线段长度，因此$S_{△ CDA}=S_{△ CDB}$。
3. 由面积的和差关系可得：$S_{△ CDA}=S_{△ CDE}+S_{△ ADE}$。
4. 已知$S_{△ CDB}-S_{△ CDE}=6$，将$S_{△ CDB}$替换为$S_{△ CDA}$，代入得$S_{△ CDA}-S_{△ CDE}=6$，因此$S_{△ ADE}=6$。
【答案】
6
【知识点】
线段垂直平分线作图；三角形中线面积性质；面积和差计算
【点评】
本题综合考查尺规作图识别和三角形面积计算，解题的关键是准确判断出D为AB中点，再利用中线的面积性质结合和差关系推导结果，属于基础题型，侧重考查基础知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
首先根据题中的尺规作图方法，可判断出直线MN是线段AB的垂直平分线，由此得出D是AB的中点。根据三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分为两个等底同高、面积相等的小三角形，因此△CDA和△CDB的面积相等。再结合面积的和差关系：△CDA的面积等于△CDE与△ADE的面积之和，对照题目给出的△CDB比△CDE面积大6的条件，通过等量代换即可求出△ADE的面积。
【解析】
1. 由尺规作图的特征可知，直线MN是线段AB的垂直平分线，因此D为AB的中点，CD是△ABC中AB边上的中线。
2. △CDA和△CDB的底AD=BD，高均为点C到AB的垂线段长度，因此$S_{△ CDA}=S_{△ CDB}$。
3. 由面积的和差关系可得：$S_{△ CDA}=S_{△ CDE}+S_{△ ADE}$。
4. 已知$S_{△ CDB}-S_{△ CDE}=6$，将$S_{△ CDB}$替换为$S_{△ CDA}$，代入得$S_{△ CDA}-S_{△ CDE}=6$，因此$S_{△ ADE}=6$。
【答案】
6
【知识点】
线段垂直平分线作图；三角形中线面积性质；面积和差计算
【点评】
本题综合考查尺规作图识别和三角形面积计算，解题的关键是准确判断出D为AB中点，再利用中线的面积性质结合和差关系推导结果，属于基础题型，侧重考查基础知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
7.如图，直线OA，OB是两条相交的公路，在$∠ AOB$区域内有两所大学M和N，现计划修建一个供水站P，使供水站到两所大学的距离相等，并且到两条公路的距离也相等，你能确定供水站P应建在何处吗？请在图中画出来.（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
答案
解：
分别作∠AOB的角平分线和线段MN的垂直平分线，两条线在∠AOB内部的交点即为所求的供水站P，保留尺规作图的对应圆弧痕迹，标注点P，该点即为供水站应建的位置。
分别作∠AOB的角平分线和线段MN的垂直平分线，两条线在∠AOB内部的交点即为所求的供水站P，保留尺规作图的对应圆弧痕迹，标注点P，该点即为供水站应建的位置。
解析
【分析】
要确定供水站P的位置，需同时满足两个要求：一是到M、N两点的距离相等，二是到OA、OB两条公路的距离相等。根据学过的性质：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此满足第一个要求的点都在线段MN的垂直平分线上；角内部到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，因此满足第二个要求的点都在∠AOB的角平分线上。同时满足两个要求的点就是两条线的交点，取∠AOB内部的交点即为所求的P点。
【解析】
第一步，使用尺规作∠AOB的角平分线；第二步，使用尺规作线段MN的垂直平分线；两条线在∠AOB内部的交点就是供水站P的位置，作图过程中保留角平分线、垂直平分线对应的尺规作图圆弧痕迹，标注点P即可。
【答案】
分别作∠AOB的角平分线和线段MN的垂直平分线，两条线在∠AOB内部的交点即为所求的供水站P，保留尺规作图的对应圆弧痕迹，标注点P，该点即为供水站应建的位置。
【知识点】
角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，尺规作图
【点评】
本题是几何性质的实际应用类题目，解题关键是将实际需求转化为对应的几何特征，结合两种基本作图找到同时满足所有条件的交点即可，主要考查对基础性质的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
要确定供水站P的位置，需同时满足两个要求：一是到M、N两点的距离相等，二是到OA、OB两条公路的距离相等。根据学过的性质：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此满足第一个要求的点都在线段MN的垂直平分线上；角内部到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，因此满足第二个要求的点都在∠AOB的角平分线上。同时满足两个要求的点就是两条线的交点，取∠AOB内部的交点即为所求的P点。
【解析】
第一步，使用尺规作∠AOB的角平分线；第二步，使用尺规作线段MN的垂直平分线；两条线在∠AOB内部的交点就是供水站P的位置，作图过程中保留角平分线、垂直平分线对应的尺规作图圆弧痕迹，标注点P即可。
【答案】
分别作∠AOB的角平分线和线段MN的垂直平分线，两条线在∠AOB内部的交点即为所求的供水站P，保留尺规作图的对应圆弧痕迹，标注点P，该点即为供水站应建的位置。
【知识点】
角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，尺规作图
【点评】
本题是几何性质的实际应用类题目，解题关键是将实际需求转化为对应的几何特征，结合两种基本作图找到同时满足所有条件的交点即可，主要考查对基础性质的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
8.如图，$△ ABC ≌ △ DEF$，且A，B，D，E四点在同一直线上，请仅用无刻度的直尺作图.（不写作法，保留作图痕迹）
(1)在图1中，作出线段BE的垂直平分线m；
(2)在图2中，作出线段AD的垂直平分线n；
(1)在图1中，作出线段BE的垂直平分线m；
(2)在图2中，作出线段AD的垂直平分线n；
答案
8.(1)如图①,直线m为所求
;(2)如图2,直线n为所求
解析
【分析】
本题可结合全等三角形的性质与线段垂直平分线的判定来作图：
1. 首先根据全等三角形的性质：全等三角形对应角相等、对应边相等，可知△ABC和△DEF的对应角、对应边均相等，两个图形关于对应点连线的垂直平分线对称；
2. 依据线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，结合两点确定一条直线的结论，只需找到2个在待作垂直平分线上的点，连接两点即可得到所求直线。
对于(1)作BE的垂直平分线：BC与EF的交点到B、E的距离相等，AC与DF的交点也在BE的垂直平分线上，连接两点即可得到直线m；
对于(2)作AD的垂直平分线：AC与DF的交点到A、D的距离相等，AF与CD的交点也在AD的垂直平分线上，连接两点即可得到直线n。
【解析】
(1) 分别延长BC、EF交于一点，延长AC、DF交于另一点，过这两个交点作直线m，即为线段BE的垂直平分线；
(2) 分别延长AF、CD交于一点，延长AC、DF交于另一点，过这两个交点作直线n，即为线段AD的垂直平分线。
【答案】
(1)如图①,直线m为所求;
(2)如图2,直线n为所求
【知识点】
全等三角形的性质、线段垂直平分线的判定、两点确定一条直线
【点评】
本题属于无刻度直尺作图题，将全等三角形性质与垂直平分线判定相结合，需要结合图形对称性找到符合要求的交点，能够有效锻炼几何观察能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
本题可结合全等三角形的性质与线段垂直平分线的判定来作图：
1. 首先根据全等三角形的性质：全等三角形对应角相等、对应边相等，可知△ABC和△DEF的对应角、对应边均相等，两个图形关于对应点连线的垂直平分线对称；
2. 依据线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，结合两点确定一条直线的结论，只需找到2个在待作垂直平分线上的点，连接两点即可得到所求直线。
对于(1)作BE的垂直平分线：BC与EF的交点到B、E的距离相等，AC与DF的交点也在BE的垂直平分线上，连接两点即可得到直线m；
对于(2)作AD的垂直平分线：AC与DF的交点到A、D的距离相等，AF与CD的交点也在AD的垂直平分线上，连接两点即可得到直线n。
【解析】
(1) 分别延长BC、EF交于一点，延长AC、DF交于另一点，过这两个交点作直线m，即为线段BE的垂直平分线；
(2) 分别延长AF、CD交于一点，延长AC、DF交于另一点，过这两个交点作直线n，即为线段AD的垂直平分线。
【答案】
(1)如图①,直线m为所求
;(2)如图2,直线n为所求
【知识点】
全等三角形的性质、线段垂直平分线的判定、两点确定一条直线
【点评】
本题属于无刻度直尺作图题，将全等三角形性质与垂直平分线判定相结合，需要结合图形对称性找到符合要求的交点，能够有效锻炼几何观察能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
