若一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,则称这个正整数为“神秘数”. 如 $4=2^2 -0^2$, $12=4^2 -2^2$, $44=12^2 -10^2$, 故4,12,44都是“神秘数”.
【基础设问】
(1)28是“神秘数”吗？并说明理由.
(2)设两个连续的偶数分别为$2k+2$和$2k$（其中$k$为非负整数）,则由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗？是8的倍数吗？为什么？
【能力设问】
(3)$3^{n+2} +5^{n+3} -2^{3n} +3×5^{n+2} -3^n$（$n$为正整数）是“神秘数”吗？为什么？
(4)已知 $N=x^2 -y^2 +4x -6y +k$（$x,y$是正整数,$k$是常数,且$x＞y+1$）,满足$x+2$和$y+3$是两个连续的偶数,要使$N$是“神秘数”,试求出符合条件的一个$k$值.
【拓展设问】
(5)若某长方形相邻的两边长为两个连续的偶数,说明该长方形的周长是“神秘数”.
(6)在(5)的条件下,该长方形的面积是“神秘数”吗？并说明理由.

解:(1)是.理由如下:
∵ 28 =8² -6²,
∴ 28 是“神秘数”.
(2)
∵ k 为非负整数,
∴ 2k +2 ＞2k.
∵ (2k +2)² -(2k)² =(2k +2 +2k)(2k +2 -2k) =4(2k +1),
∴ 由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4 的倍数,不是 8 的倍数.
(3)$3^{n+2} +5^{n+3} -2^{3n} +3×5^{n+2} -3^n =3²×3^n +5×5^{n+2} -2^{3n} +3×5^{n+2} -3^n =(3² -1)×3^n +(5 +3)×5^{n+2} -(2³)^n =8×3^n +8×5^{n+2} -8^n$.
∵ n 为正整数,
∴ $3^{n+2} +5^{n+3} -2^{3n} +3×5^{n+2} -3^n$ 是 8 的倍数.
根据(2)的结论,
可得 $3^{n+2} +5^{n+3} -2^{3n} +3×5^{n+2} -3^n$ 不是“神秘数”.
(4)$N =x^2 -y^2 +4x -6y +k$
$=(x^2 +4x +4) -(y^2 +6y +9) +k +5$
$=(x +2)^2 -(y +3)^2 +k +5$.
当 k +5 =0 时,$N =(x +2)^2 -(y +3)^2$.
∵ x +2 和 y +3 是两个连续的偶数,
∴ N 为“神秘数”,此时 k = -5.
故当 k = -5 时,N 为“神秘数”.
(5)设该长方形相邻两边的长分别为 2m,2m +2(m 为正整数),
∴ 该长方形的周长为 2(2m +2m +2) =2(4m +2) =4(2m +1).
根据(2)的结论,可得 4(2m +1) 是“神秘数”.
(6)不是.理由如下:
在(5)的条件下,该长方形的面积为 2m(2m +2) =4m² +4m =4m(m +1).
设存在连续偶数 2k 和 2k +2,其中 k 为非负整数.
若该长方形的面积为“神秘数”,
则有 4m(m +1) =(2k +2)² -(2k)²,
整理,得 4m(m +1) =8k +4,即 m(m +1) =2k +1.
∵ m 为正整数,
∴ m 与 m +1 为连续的两个整数,
∴ m(m +1) 是一个偶数,但 2k +1 是一个奇数,
∴ 不存在整数 m 和 k,使等式 m(m +1) =2k +1 成立,
∴ 假设该长方形的面积为“神秘数”不成立,
∴ 该长方形的面积不是“神秘数”.