登录
12. (教材第132页习题第2题变式)分解因式:
(1) $-x^2 +12x -36$;
(2) $(m+n)^2 -6(m+n)+9$;
(3) $4(a-b)^2 -12a(a-b)+9a^2$.
(1) $-x^2 +12x -36$;
(2) $(m+n)^2 -6(m+n)+9$;
(3) $4(a-b)^2 -12a(a-b)+9a^2$.
答案
12.(1)解:原式$=-(x^2 -12x +36)=-(x-6)^2$.
(2)解:原式$=(m+n)^2 -2(m+n) · 3 + 3^2=(m+n-3)^2$.
(3)解:原式$=[2(a-b)-3a]^2=(2b+a)^2$.
(2)解:原式$=(m+n)^2 -2(m+n) · 3 + 3^2=(m+n-3)^2$.
(3)解:原式$=[2(a-b)-3a]^2=(2b+a)^2$.
13.【原创题】已知 $x+1=\frac{4}{3}$，求多项式$(x+3)^2 -4(x+3)+4$的值。
答案
13. 解:原式$=(x+3-2)^2=(x+1)^2$.
$\because x+1=\frac{4}{3}, \therefore$ 原式$=( \frac{4}{3} )^2 = \frac{16}{9}$.
$\because x+1=\frac{4}{3}, \therefore$ 原式$=( \frac{4}{3} )^2 = \frac{16}{9}$.
14. 已知$a,b,c$为$△ ABC$的三边长，且满足$a^2 + 2b^2 + c^2 - 2b(a + c)=0$，试判断$△ ABC$的形状.
答案
14. 解:$\because a^2 + 2b^2 + c^2 - 2b(a + c)=0$,
$\therefore a^2 - 2ab + b^2 + b^2 - 2bc + c^2 = 0$,
$\therefore (a-b)^2 + (b-c)^2 = 0, \therefore a-b=0,b-c=0, \therefore a=b,b=c, \therefore a=b=c. \therefore △ ABC$是等边三角形.
$\therefore a^2 - 2ab + b^2 + b^2 - 2bc + c^2 = 0$,
$\therefore (a-b)^2 + (b-c)^2 = 0, \therefore a-b=0,b-c=0, \therefore a=b,b=c, \therefore a=b=c. \therefore △ ABC$是等边三角形.
15.【核心素养·应用意识】我们把二次三项式
$ax^2+bx+c$恒等变形为$a· (x+h)^2 +k$
$(h,k$为常数$)$的形式叫作配方.巧妙地运用配方法不仅可以将一个多项式进行因式分解,也能求一个二次三项式的最值,还能结合非负数的意义来解决一些实际问题.
例题:分解因式:$x^2+4x-5$.
解:$x^2+4x-5=x^2+4x+4-4-5=(x+2)^2 -3^2=(x+2+3)(x+2-3)=(x+5)(x-1)$.
请用配方法解答下列问题:
(1)分解因式:
①$x^2+2x-3$.
②$a^2+4ab-5b^2$.
(2)求多项式$2x^2-4x+5$的最小值.
(3)已知$a,b,c$是$△ ABC$的三边长,且满足$a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca$,判断$△ ABC$的形状.
$ax^2+bx+c$恒等变形为$a· (x+h)^2 +k$
$(h,k$为常数$)$的形式叫作配方.巧妙地运用配方法不仅可以将一个多项式进行因式分解,也能求一个二次三项式的最值,还能结合非负数的意义来解决一些实际问题.
例题:分解因式:$x^2+4x-5$.
解:$x^2+4x-5=x^2+4x+4-4-5=(x+2)^2 -3^2=(x+2+3)(x+2-3)=(x+5)(x-1)$.
请用配方法解答下列问题:
(1)分解因式:
①$x^2+2x-3$.
②$a^2+4ab-5b^2$.
(2)求多项式$2x^2-4x+5$的最小值.
(3)已知$a,b,c$是$△ ABC$的三边长,且满足$a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca$,判断$△ ABC$的形状.
答案
15.(1)解:①$x^2+2x-3=x^2+2x+1-1-3=(x+1)^2-4=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)$.
②$a^2+4ab-5b^2=a^2+4ab+4b^2-4b^2-5b^2=(a+2b)^2-9b^2=(a+2b+3b)(a+2b-3b)=(a+5b)(a-b)$.
(2)$2x^2-4x+5=2(x^2-2x+1)-2+5=2(x-1)^2+3$. $\because (x-1)^2 ≥ 0$,故多项式$2x^2-4x+5$的最小值为3.
(3)$\because a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca, \therefore a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0, \therefore 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2bc - 2ab - 2ca = 0, \therefore (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 0, \therefore a-b=0,b-c=0,c-a=0, \therefore a=b=c, \therefore △ ABC$为等边三角形.
②$a^2+4ab-5b^2=a^2+4ab+4b^2-4b^2-5b^2=(a+2b)^2-9b^2=(a+2b+3b)(a+2b-3b)=(a+5b)(a-b)$.
(2)$2x^2-4x+5=2(x^2-2x+1)-2+5=2(x-1)^2+3$. $\because (x-1)^2 ≥ 0$,故多项式$2x^2-4x+5$的最小值为3.
(3)$\because a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca, \therefore a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0, \therefore 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2bc - 2ab - 2ca = 0, \therefore (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 0, \therefore a-b=0,b-c=0,c-a=0, \therefore a=b=c, \therefore △ ABC$为等边三角形.
