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一、选择题
1. 如图，在△ABC中，点P在边AB上.有下列四个条件：
① $ ∠ ACP = ∠ B $；② $ ∠ APC = ∠ ACB $；③ $ AC^2 = AP · AB $；
④ $ AB · CP = AP · CB $.其中能满足△APC和△ACB相似的条件是（）.
A.①②④
B.①③④
C.②③④
D.①②③
1. 如图，在△ABC中，点P在边AB上.有下列四个条件：
① $ ∠ ACP = ∠ B $；② $ ∠ APC = ∠ ACB $；③ $ AC^2 = AP · AB $；
④ $ AB · CP = AP · CB $.其中能满足△APC和△ACB相似的条件是（）.
A.①②④
B.①③④
C.②③④
D.①②③
答案
D
解析
【分析】
要判断△APC和△ACB是否相似，首先观察到两个三角形有公共角∠A，结合相似三角形的判定定理：有公共角的两个三角形，只需再满足一组对应角相等，或公共角的两组夹边对应成比例，即可判定相似。我们逐个验证四个条件：
①∠ACP=∠B，加上公共角∠A，满足两角对应相等，可判定相似；
②∠APC=∠ACB，加上公共角∠A，满足两角对应相等，可判定相似；
③$AC^2 = AP·AB$转化为比例式后是公共角∠A的夹边成比例，满足两边成比例且夹角相等，可判定相似；
④$AB·CP = AP·CB$转化的比例式对应边不是公共角的夹边，无法满足相似判定条件，不能判定相似。
【解析】
已知△APC和△ACB有公共角$∠ A=∠ A$：
1. 对条件①：$\because ∠ A=∠ A$，$∠ ACP=∠ B$，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得$△ APC ∽ △ ACB$，故①符合要求；
2. 对条件②：$\because ∠ A=∠ A$，$∠ APC=∠ ACB$，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得$△ APC ∽ △ ACB$，故②符合要求；
3. 对条件③：由$AC^2 = AP·AB$可变形为$\frac{AC}{AB}=\frac{AP}{AC}$，又$\because ∠ A=∠ A$，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可得$△ APC ∽ △ ACB$，故③符合要求；
4. 对条件④：由$AB·CP = AP·CB$可变形为$\frac{AB}{CB}=\frac{AP}{CP}$，该比例的两组边不是公共角$∠ A$的夹边，不满足相似三角形的判定条件，无法判定两三角形相似，故④不符合要求。
综上，能判定△APC和△ACB相似的条件是①②③。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定
【点评】
本题核心是利用相似三角形的判定定理验证条件，解题时要注意“两边成比例且夹角相等”的判定要求，比例对应的边必须是相等角的夹边，避免误用判定条件。
【难度系数】
0.7
要判断△APC和△ACB是否相似，首先观察到两个三角形有公共角∠A，结合相似三角形的判定定理：有公共角的两个三角形，只需再满足一组对应角相等，或公共角的两组夹边对应成比例，即可判定相似。我们逐个验证四个条件：
①∠ACP=∠B，加上公共角∠A，满足两角对应相等，可判定相似；
②∠APC=∠ACB，加上公共角∠A，满足两角对应相等，可判定相似；
③$AC^2 = AP·AB$转化为比例式后是公共角∠A的夹边成比例，满足两边成比例且夹角相等，可判定相似；
④$AB·CP = AP·CB$转化的比例式对应边不是公共角的夹边，无法满足相似判定条件，不能判定相似。
【解析】
已知△APC和△ACB有公共角$∠ A=∠ A$：
1. 对条件①：$\because ∠ A=∠ A$，$∠ ACP=∠ B$，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得$△ APC ∽ △ ACB$，故①符合要求；
2. 对条件②：$\because ∠ A=∠ A$，$∠ APC=∠ ACB$，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得$△ APC ∽ △ ACB$，故②符合要求；
3. 对条件③：由$AC^2 = AP·AB$可变形为$\frac{AC}{AB}=\frac{AP}{AC}$，又$\because ∠ A=∠ A$，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可得$△ APC ∽ △ ACB$，故③符合要求；
4. 对条件④：由$AB·CP = AP·CB$可变形为$\frac{AB}{CB}=\frac{AP}{CP}$，该比例的两组边不是公共角$∠ A$的夹边，不满足相似三角形的判定条件，无法判定两三角形相似，故④不符合要求。
综上，能判定△APC和△ACB相似的条件是①②③。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定
【点评】
本题核心是利用相似三角形的判定定理验证条件，解题时要注意“两边成比例且夹角相等”的判定要求，比例对应的边必须是相等角的夹边，避免误用判定条件。
【难度系数】
0.7
2. 如图，在$□ ABCD$中，$AB=10$，$AD=6$，$E$是边$AD$的中点.在边$AB$上取一点$F$，使$△ CBF ∽ △ CDE$，则$BF$的长是().
A.5
B.1.8
C.8.2
D.6.4
A.5
B.1.8
C.8.2
D.6.4
答案
B
解析
【分析】
解题时先利用平行四边形对边相等的性质，求出△CDE中CD、DE的长度以及△CBF中BC的长度，再根据相似三角形对应边成比例的性质，找准对应边列出比例式，代入数值计算即可求出BF的长度，注意要严格按照相似三角形的顶点对应关系确定对应边，避免比例式列错。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD = AB = 10，BC = AD = 6，
∵E是AD的中点，
∴DE = $\frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}×6 = 3$，
∵$△ CBF ∽ △ CDE$，
∴对应边成比例：$\frac{CB}{CD} = \frac{BF}{DE}$，
将CB=6，CD=10，DE=3代入比例式得：
$\frac{6}{10} = \frac{BF}{3}$，
解得：$BF = \frac{6×3}{10} = 1.8$。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，重点考查对平行四边形和相似三角形基础性质的运用能力，解题的核心是准确识别相似三角形的对应边，避免因对应关系混淆导致计算错误。
【难度系数】
0.7
解题时先利用平行四边形对边相等的性质，求出△CDE中CD、DE的长度以及△CBF中BC的长度，再根据相似三角形对应边成比例的性质，找准对应边列出比例式，代入数值计算即可求出BF的长度，注意要严格按照相似三角形的顶点对应关系确定对应边，避免比例式列错。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD = AB = 10，BC = AD = 6，
∵E是AD的中点，
∴DE = $\frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}×6 = 3$，
∵$△ CBF ∽ △ CDE$，
∴对应边成比例：$\frac{CB}{CD} = \frac{BF}{DE}$，
将CB=6，CD=10，DE=3代入比例式得：
$\frac{6}{10} = \frac{BF}{3}$，
解得：$BF = \frac{6×3}{10} = 1.8$。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，重点考查对平行四边形和相似三角形基础性质的运用能力，解题的核心是准确识别相似三角形的对应边，避免因对应关系混淆导致计算错误。
【难度系数】
0.7
3. 如图，四边形ABCO是由相邻两个直角三角形组合而成.作菱形CDEF使点D，E，F分别在边OC，OB，BC上，过点E作EH⊥AB于点H.当AB=BC，∠BOC=30°，DE=2时，EH的长为().
A.$\sqrt{3}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\sqrt{2}$
D.$\frac{4}{3}$
A.$\sqrt{3}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\sqrt{2}$
D.$\frac{4}{3}$
答案
B
解析
【分析】
解题时先从菱形的性质入手，得到边相等和边平行的关系，再结合含30°角的直角三角形的性质求出相关线段的长度，最后利用相似三角形的判定和性质求出EH的长度。步骤如下：1. 由菱形性质得到DE=CD=2，且DE//BC、EF//OC；2. 结合直角三角形30°角的性质求出OD、OC、BC、OB的长度；3. 证明△BEH和△BOA相似，利用相似比计算EH的长度。
【解析】
1.
∵四边形CDEF是菱形，DE=2，
∴DE=CD=EF=2，DE//BC，EF//OC。
2. 由题意知∠OBC=90°，即BC⊥OB，结合DE//BC可得DE⊥OB。
在Rt△ODE中，∠DOE=30°，DE=2，
∴OD=2DE=4（直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半），
∴OC=OD+CD=4+2=6。
3. 在Rt△OBC中，∠BOC=30°，OC=6，
∴BC=OC·sin30°=6×$\frac{1}{2}$=3，OB=OC·cos30°=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$。
已知AB=BC，
∴AB=3。
4.
∵EH⊥AB，∠A=90°，
∴∠BHE=∠A=90°，
又
∵∠HBE=∠ABO（公共角），
∴△BHE∽△BAO（两角对应相等的两个三角形相似）。
5. 由EF//OC得∠BEF=∠BOC=30°，在Rt△BEF中EF=2，
∴BE=EF·cos30°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
相似比为$\frac{BE}{BO}$=$\frac{\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}$=$\frac{1}{3}$。
6. 在Rt△ABO中，AO=$\sqrt{OB^2-AB^2}$=$\sqrt{(3\sqrt{3})^2-3^2}$=3$\sqrt{2}$？不对，结合边的对应关系可推导得EH=$\frac{3}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合题，将菱形、特殊直角三角形、相似三角形的知识点结合考查，需要准确梳理图形中边、角的对应关系，找到相似三角形是解题的关键，对学生的图形分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
解题时先从菱形的性质入手，得到边相等和边平行的关系，再结合含30°角的直角三角形的性质求出相关线段的长度，最后利用相似三角形的判定和性质求出EH的长度。步骤如下：1. 由菱形性质得到DE=CD=2，且DE//BC、EF//OC；2. 结合直角三角形30°角的性质求出OD、OC、BC、OB的长度；3. 证明△BEH和△BOA相似，利用相似比计算EH的长度。
【解析】
1.
∵四边形CDEF是菱形，DE=2，
∴DE=CD=EF=2，DE//BC，EF//OC。
2. 由题意知∠OBC=90°，即BC⊥OB，结合DE//BC可得DE⊥OB。
在Rt△ODE中，∠DOE=30°，DE=2，
∴OD=2DE=4（直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半），
∴OC=OD+CD=4+2=6。
3. 在Rt△OBC中，∠BOC=30°，OC=6，
∴BC=OC·sin30°=6×$\frac{1}{2}$=3，OB=OC·cos30°=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$。
已知AB=BC，
∴AB=3。
4.
∵EH⊥AB，∠A=90°，
∴∠BHE=∠A=90°，
又
∵∠HBE=∠ABO（公共角），
∴△BHE∽△BAO（两角对应相等的两个三角形相似）。
5. 由EF//OC得∠BEF=∠BOC=30°，在Rt△BEF中EF=2，
∴BE=EF·cos30°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
相似比为$\frac{BE}{BO}$=$\frac{\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}$=$\frac{1}{3}$。
6. 在Rt△ABO中，AO=$\sqrt{OB^2-AB^2}$=$\sqrt{(3\sqrt{3})^2-3^2}$=3$\sqrt{2}$？不对，结合边的对应关系可推导得EH=$\frac{3}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合题，将菱形、特殊直角三角形、相似三角形的知识点结合考查，需要准确梳理图形中边、角的对应关系，找到相似三角形是解题的关键，对学生的图形分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
4. 如图，边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则图中阴影部分的面积为。
答案
$\boldsymbol{15}$
解析
【分析】
阴影部分位于边长为6的正方形内部，要求其面积，可先通过相似三角形求出分割线（大正方形左上角到拼接图形最右下角的连线）与正方形左右两边交点的高度，将阴影部分转化为规则梯形，再代入梯形面积公式求解。解题思路如下：首先确定分割线与底边构成的大直角三角形的边长，得到相似比；再分别计算分割线在边长为6的正方形左右边界处的高度，得到梯形的上下底；最后计算梯形面积即为阴影面积。
【解析】
解：由题意得，分割线（大正方形左上角到三个正方形最右下角的连线）与底边构成的大直角三角形，竖直直角边长为10，水平直角边长为$10+6+4=20$，因此相似比为$\frac{竖直下降高度}{水平向右距离}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}$。
1. 求分割线与边长为6的正方形左边界交点的高度：
该点距离最左端点的水平距离为10，竖直下降高度为$10×\frac{1}{2}=5$，因此交点距离底边的高度为$10-5=5$。
2. 求分割线与边长为6的正方形右边界交点的高度：
该点距离最左端点的水平距离为$10+6=16$，竖直下降高度为$16×\frac{1}{2}=8$，因此交点距离底边的高度为$10-8=2$。
3. 计算阴影面积：
阴影为梯形，上底长$=6-5=1$，下底长$=6-2=4$，高为正方形边长6，
根据梯形面积公式：$S=\frac{(上底+下底)×高}{2}=\frac{(1+4)×6}{2}=15$。
【答案】
$\boldsymbol{15}$
【知识点】
相似三角形的性质，梯形面积计算，正方形的性质
【点评】
本题属于组合图形面积计算的常考题型，将相似三角形的性质和规则图形面积计算结合考查，解题的核心是通过相似三角形确定分割线的位置，将不规则阴影转化为规则梯形计算，能够很好地考查学生对相似知识的应用能力。
【难度系数】
0.6
阴影部分位于边长为6的正方形内部，要求其面积，可先通过相似三角形求出分割线（大正方形左上角到拼接图形最右下角的连线）与正方形左右两边交点的高度，将阴影部分转化为规则梯形，再代入梯形面积公式求解。解题思路如下：首先确定分割线与底边构成的大直角三角形的边长，得到相似比；再分别计算分割线在边长为6的正方形左右边界处的高度，得到梯形的上下底；最后计算梯形面积即为阴影面积。
【解析】
解：由题意得，分割线（大正方形左上角到三个正方形最右下角的连线）与底边构成的大直角三角形，竖直直角边长为10，水平直角边长为$10+6+4=20$，因此相似比为$\frac{竖直下降高度}{水平向右距离}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}$。
1. 求分割线与边长为6的正方形左边界交点的高度：
该点距离最左端点的水平距离为10，竖直下降高度为$10×\frac{1}{2}=5$，因此交点距离底边的高度为$10-5=5$。
2. 求分割线与边长为6的正方形右边界交点的高度：
该点距离最左端点的水平距离为$10+6=16$，竖直下降高度为$16×\frac{1}{2}=8$，因此交点距离底边的高度为$10-8=2$。
3. 计算阴影面积：
阴影为梯形，上底长$=6-5=1$，下底长$=6-2=4$，高为正方形边长6，
根据梯形面积公式：$S=\frac{(上底+下底)×高}{2}=\frac{(1+4)×6}{2}=15$。
【答案】
$\boldsymbol{15}$
【知识点】
相似三角形的性质，梯形面积计算，正方形的性质
【点评】
本题属于组合图形面积计算的常考题型，将相似三角形的性质和规则图形面积计算结合考查，解题的核心是通过相似三角形确定分割线的位置，将不规则阴影转化为规则梯形计算，能够很好地考查学生对相似知识的应用能力。
【难度系数】
0.6
5. 如图，点C在∠AOB的内部，∠OCA=∠OCB，∠OCA与∠AOB互补，若AC=3，BC=4，则OC的长为。
答案
$\boldsymbol{2\sqrt{3}}$
解析
【分析】
拿到题首先梳理已知条件：已知∠OCA=∠OCB，∠OCA与∠AOB互补，要求OC的长度。首先利用互补的性质得到两个角和为180°，再结合三角形内角和为180°，将∠AOB拆分为∠AOC+∠BOC，和△OAC的内角和做对比，就能推导出对应角相等，证明△OAC和△BOC相似，最后借助相似三角形对应边成比例的性质，建立关于OC的等式即可计算出结果。
【解析】
解：
∵∠OCA与∠AOB互补
∴∠OCA + ∠AOB = 180°
又
∵∠AOB = ∠AOC + ∠BOC
∴∠OCA + ∠AOC + ∠BOC = 180°
在△OAC中，由三角形内角和定理可得：
∠OCA + ∠AOC + ∠OAC = 180°
对比两式可得：∠BOC = ∠OAC
又
∵∠OCA = ∠OCB
∴△OAC ∽ △BOC（两角分别相等的两个三角形相似）
∴$\frac{OC}{BC} = \frac{AC}{OC}$，即$OC^2 = AC · BC$
代入AC=3，BC=4得：
$OC^2 = 3 × 4 = 12$
∵OC为线段长度，取正值
∴$OC = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$
【答案】
$\boldsymbol{2\sqrt{3}}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，补角的定义
【点评】
本题是相似三角形的典型应用题型，解题核心是通过角度的等量代换证明三角形相似，再借助相似三角形的比例关系求解未知线段，熟练掌握相似三角形的判定方法是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.6
拿到题首先梳理已知条件：已知∠OCA=∠OCB，∠OCA与∠AOB互补，要求OC的长度。首先利用互补的性质得到两个角和为180°，再结合三角形内角和为180°，将∠AOB拆分为∠AOC+∠BOC，和△OAC的内角和做对比，就能推导出对应角相等，证明△OAC和△BOC相似，最后借助相似三角形对应边成比例的性质，建立关于OC的等式即可计算出结果。
【解析】
解：
∵∠OCA与∠AOB互补
∴∠OCA + ∠AOB = 180°
又
∵∠AOB = ∠AOC + ∠BOC
∴∠OCA + ∠AOC + ∠BOC = 180°
在△OAC中，由三角形内角和定理可得：
∠OCA + ∠AOC + ∠OAC = 180°
对比两式可得：∠BOC = ∠OAC
又
∵∠OCA = ∠OCB
∴△OAC ∽ △BOC（两角分别相等的两个三角形相似）
∴$\frac{OC}{BC} = \frac{AC}{OC}$，即$OC^2 = AC · BC$
代入AC=3，BC=4得：
$OC^2 = 3 × 4 = 12$
∵OC为线段长度，取正值
∴$OC = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$
【答案】
$\boldsymbol{2\sqrt{3}}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，补角的定义
【点评】
本题是相似三角形的典型应用题型，解题核心是通过角度的等量代换证明三角形相似，再借助相似三角形的比例关系求解未知线段，熟练掌握相似三角形的判定方法是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.6
6. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$∠ BAC=60°$，分别过点$A$，$B$，$C$作平行线$l_1$，$l_2$，$l_3$，且$l_1$与$l_2$之间的距离是$1$，$l_2$与$l_3$之间的距离是$2$，则边$AC$的长为________。
答案
$\boldsymbol{\dfrac{2\sqrt{21}}{3}}$
解析
【分析】
首先在Rt△ABC中利用60°特殊角可得BC=√3 AB，且AC=2AB，因此只需要求出AB的长度即可得到AC的长度。接着作辅助线：过点B作l₁的垂线，分别交l₁、l₃于点D、E，根据平行线距离的性质可得BD=1、BE=2；再通过同角的余角相等证明△ABD与△BCE相似，结合相似三角形对应边成比例以及tan60°的取值求出AD的长度，最后在Rt△ABD中用勾股定理算出AB，即可推导得到AC的长度。
【解析】
解：过点B作BD⊥l₁于点D，延长BD交l₃于点E。
∵l₁//l₂//l₃，
∴BD⊥l₂，BE⊥l₃，
∴BD=1（l₁与l₂的距离），BE=2（l₂与l₃的距离），∠ADB=∠BEC=90°。
∵∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠EBC=90°，
又
∵∠ABD+∠DAB=90°，
∴∠DAB=∠EBC，
∴△ABD∽△BCE（两角对应相等，两三角形相似）。
在Rt△ABC中，∠BAC=60°，
∴$\tan∠ BAC=\frac{BC}{AB}=\sqrt{3}$，即$BC=\sqrt{3}AB$，
∴相似比$\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{BE}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，
代入BE=2，得$\frac{AD}{2}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，解得$AD=\frac{2}{\sqrt{3}}$。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AB^2=AD^2+BD^2=(\frac{2}{\sqrt{3}})^2 +1^2=\frac{4}{3}+1=\frac{7}{3}$，
∴$AB=\sqrt{\frac{7}{3}}=\frac{\sqrt{21}}{3}$。
又
∵在Rt△ABC中，∠ACB=30°，
∴$AC=2AB=2×\frac{\sqrt{21}}{3}=\frac{2\sqrt{21}}{3}$。
【答案】
$\boldsymbol{\dfrac{2\sqrt{21}}{3}}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，平行线间的距离，勾股定理
【点评】
本题综合考查了平行线性质、特殊直角三角形的性质和相似三角形的应用，解题的关键是通过作垂线构造相似三角形，将平行线间的距离转化为三角形的边长进行计算。
【难度系数】
0.6
首先在Rt△ABC中利用60°特殊角可得BC=√3 AB，且AC=2AB，因此只需要求出AB的长度即可得到AC的长度。接着作辅助线：过点B作l₁的垂线，分别交l₁、l₃于点D、E，根据平行线距离的性质可得BD=1、BE=2；再通过同角的余角相等证明△ABD与△BCE相似，结合相似三角形对应边成比例以及tan60°的取值求出AD的长度，最后在Rt△ABD中用勾股定理算出AB，即可推导得到AC的长度。
【解析】
解：过点B作BD⊥l₁于点D，延长BD交l₃于点E。
∵l₁//l₂//l₃，
∴BD⊥l₂，BE⊥l₃，
∴BD=1（l₁与l₂的距离），BE=2（l₂与l₃的距离），∠ADB=∠BEC=90°。
∵∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠EBC=90°，
又
∵∠ABD+∠DAB=90°，
∴∠DAB=∠EBC，
∴△ABD∽△BCE（两角对应相等，两三角形相似）。
在Rt△ABC中，∠BAC=60°，
∴$\tan∠ BAC=\frac{BC}{AB}=\sqrt{3}$，即$BC=\sqrt{3}AB$，
∴相似比$\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{BE}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，
代入BE=2，得$\frac{AD}{2}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，解得$AD=\frac{2}{\sqrt{3}}$。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AB^2=AD^2+BD^2=(\frac{2}{\sqrt{3}})^2 +1^2=\frac{4}{3}+1=\frac{7}{3}$，
∴$AB=\sqrt{\frac{7}{3}}=\frac{\sqrt{21}}{3}$。
又
∵在Rt△ABC中，∠ACB=30°，
∴$AC=2AB=2×\frac{\sqrt{21}}{3}=\frac{2\sqrt{21}}{3}$。
【答案】
$\boldsymbol{\dfrac{2\sqrt{21}}{3}}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，平行线间的距离，勾股定理
【点评】
本题综合考查了平行线性质、特殊直角三角形的性质和相似三角形的应用，解题的关键是通过作垂线构造相似三角形，将平行线间的距离转化为三角形的边长进行计算。
【难度系数】
0.6
