【例4】 已知$a - b - 1 = 0$，求$\frac{3(a - 2b) + 3b}{a^2 - 2ab + b^2}$的值。
思路分析：分式的化简求值中常用到整体思想，把一个式子看成整体，并把这个整体代入求值。
解：$\because a - b - 1 = 0$，$\therefore a - b = 1$。
原式$=\frac{3a - 6b + 3b}{(a - b)^2} = \frac{3a - 3b}{(a - b)^2} = \frac{3(a - b)}{(a - b)^2} = \frac{3}{a - b} = 3$。

解：
$\because a - b - 1 = 0$，
$\therefore a - b = 1$。
原式$=\frac{3a - 6b + 3b}{a^2 - 2ab + b^2}$
$=\frac{3a - 3b}{(a - b)^2}$
$=\frac{3(a - b)}{(a - b)^2}$
$=\frac{3}{a - b}$
将$a - b = 1$代入，得原式$=\frac{3}{1}=3$。

【例5】 某市调整居民用天然气价格，每立方米天然气价格上涨25%.小颖家调整前平均每月的燃气费是96元.调整后小颖家将天然气热水器换成了太阳能热水器，平均每月的用气量比调整前每月的少10$\mathrm{m}^3$.若现在平均每月的燃气费是90元，求该市现在居民用气的价格.
思路分析:设未知数列方程解应用题，有直接设法和间接设法两种，要根据题意选择适当的设法.同时对求出的未知数的值必须检验.
解:设该市调整前居民用气的价格为 $ x $ 元/$\mathrm{m}^3$，则现在的价格为 $ (1+25\%)x $ 元/$\mathrm{m}^3$.
根据题意，得 $ \frac{96}{x} - \frac{90}{(1+25\%)x} = 10 $. 解得 $ x=2.4 $.
检验:当 $ x=2.4 $ 时，$ x≠0 $，所以 $ x=2.4 $ 是所列方程的解.
$ 2.4×(1+25\%)=3 $(元).
所以该市现在居民用气的价格为3元/$\mathrm{m}^3$.

解：设该市调整前居民用气的价格为$x$元/$\mathrm{m}^3$，则现在的价格为$(1+25\%)x$元/$\mathrm{m}^3$。
根据题意，得
$\frac{96}{x} - \frac{90}{(1+25\%)x} = 10$
方程两边同乘$1.25x$，得
$120 - 90 = 12.5x$
解得$x=2.4$。
检验：当$x=2.4$时，$1.25x≠0$，所以$x=2.4$是原分式方程的解，且符合实际意义。
$2.4×(1+25\%)=3(\mathrm{元}/\mathrm{m}^3)$
答：该市现在居民用气的价格为3元/$\mathrm{m}^3$。

【例6】 阅读下面的解题过程：
已知$\frac{x}{x^2 + 1} = \frac{1}{3}$，求$\frac{x^2}{x^4 + 1}$的值.
解:由$\frac{x}{x^2 + 1} = \frac{1}{3}$，知$x≠0$，所以$\frac{x^2 + 1}{x} = 3$，即$x + \frac{1}{x} = 3$.
所以$\frac{x^4 + 1}{x^2} = x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 = 3^2 - 2 = 7$.所以$\frac{x^2}{x^4 + 1}$的值为$\frac{1}{7}$.
该题的解法叫作“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：
已知$\frac{x}{x^2 - 3x + 1} = \frac{1}{5}$，求$\frac{x^2}{x^4 + x^2 + 1}$的值.
思路分析:此类题型可参照题中讲解的“倒数法”先求出已知项的倒数，然后分子、分母同时除以$x$，可以得到$x + \frac{1}{x}$的值，同样将所求的代数式也先写出其倒数，分子、分母同时除以$x^2$，可以得到含有$x^2 + \frac{1}{x^2}$的代数式，再结合完全平方公式$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2$可以求出代数式$\frac{x^4 + x^2 + 1}{x^2}$的值，再求出倒数即可得到$\frac{x^2}{x^4 + x^2 + 1}$的值.
解:由$\frac{x}{x^2 - 3x + 1} = \frac{1}{5}$，知$x≠0$，所以$\frac{x^2 - 3x + 1}{x} = 5$，
即$x + \frac{1}{x} - 3 = 5$，所以$x + \frac{1}{x} = 8$，
所以$\frac{x^4 + x^2 + 1}{x^2} = x^2 + \frac{1}{x^2} + 1 = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 + 1 = 8^2 - 1 = 63$.
所以$\frac{x^2}{x^4 + x^2 + 1} = \frac{1}{63}$.

解：由$\frac{x}{x^2 - 3x + 1} = \frac{1}{5}$，知$x ≠ 0$，
所以等式两边同时取倒数，得$\frac{x^2 - 3x + 1}{x} = 5$，
整理得$x - 3 + \frac{1}{x} = 5$，即$x + \frac{1}{x} = 8$。
将所求代数式取倒数，得：
$\frac{x^4 + x^2 + 1}{x^2} = x^2 + 1 + \frac{1}{x^2}$
由完全平方公式变形可得$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2$，
代入$x + \frac{1}{x}=8$，得：
$x^2 + 1 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 + 1 = 8^2 - 1 = 63$
即$\frac{x^4 + x^2 + 1}{x^2}=63$，
所以$\frac{x^2}{x^4 + x^2 + 1} = \frac{1}{63}$。