9.如图3-1-120，点D，E分别在AB，AC上，CD与BE相交于点F，BD = CE，∠B = ∠C.求证:AF平分∠BAC.

提示:先证 $△ BDF ≌ △ CEF$,再由它们的面积相等证 BD 边上的高与 CE 边上的高相等。

10. 如图 3-1-121，$AB // CD$，$DE$ 平分 $∠ ADC$，交 $BC$ 于点 $E$.
(1) 若 $∠ B = 90°$，$E$ 是 $BC$ 的中点，求证：$AE$ 平分 $∠ BAD$.
(2) 若 $∠ B ≠ 90°$，$AE$ 平分 $∠ BAD$，求证：$E$ 是 $BC$ 的中点，$AD = AB + CD$.

11.【问题解决】
(1) 如图 3-1-122，在 $△ ABC$ 中，$AD$ 是 $∠ BAC$ 的平分线，$E,F$ 分别是 $AB,AC$ 边上的点，且 $∠ EDF + ∠ BAC = 180°$.
求证: $DE = DF$.

【变式拓展】
(2) 在 $△ ABC$ 与 $△ DEF$ 中，顶点 $E$ 与 $AC$ 的中点重合，$∠ ABC + ∠ DEF = 180°$，绕点 $E$ 旋转 $△ DEF$，使 $ED,EF$ 分别与 $AB,BC$ 相交于点 $M,N$.
① 如图 3-1-123，如果 $AB = BC$，那么线段 $EM$ 与 $EN$ 有何数量关系？请直接写出结论，并说明理由.

② 如图 3-1-124，如果 $EM = EN$，那么 $AB = BC$ 吗？请说明理由.

10. 提示:(1) 过点 E 作 $EF ⊥ AD$,垂足为点 F,推证 $EF = CE = BE$,可证 AE 平分 $∠ BAD$.
(2) 在 AD 上取点 G,使 $AG = AB$,先证 $△ ABE ≌ △ AGE$,再证 $△ CDE ≌ △ GDE$.
11. (1) 方法一:过点 D 分别作 AB,AC 的垂线,垂足分别为点 M,N,则 $DM = DN$.
由此可证 $∠ MDN = ∠ EDF$,
可得 $∠ EDM = ∠ FDN$.
易证 $△ EDM ≌ △ FDN$, 所以 $DE = DF$.

方法二:在 AB 上取点 G,使 $AG = AF$. 先证 $△ ADG ≌ △ ADF$, 再证 $∠ AED = ∠ DGE$,
从而推出 $DE = DG = DF$.
(2) ① 连结 BE,先证 BE 平分 $∠ ABC$,接下来仿照(1)中的方法一或方法二进行证明. ② 仿照(1)中方法一构造直角三角形证明全等.