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1. 如图，AB = BC，AM = BN，AM ⊥ BN 于点 M，CN ⊥ BN 于点 N，AM = 9，CN = 3，则 MN 的长是
6
。答案
1. 6
解析
【分析】
解题时先从已知的垂直条件入手，可得∠AMB和∠N均为90°，结合给出的AB=BC、AM=BN的边长条件，可判定Rt△ABM和Rt△BCN全等；再利用全等三角形对应边相等的性质，得到BM和BN的长度，最后通过线段的差计算MN的长度即可。
【解析】
∵ AM⊥BN，CN⊥BN，
∴ ∠AMB = ∠N = 90°，即△ABM和△BCN均为直角三角形。
在Rt△ABM和Rt△BCN中：
$\{\begin{array}{l}AB=BC\\ AM=BN\end{array} $
∴ Rt△ABM ≌ Rt△BCN（HL），
∴ BM = CN = 3，BN = AM = 9，
∴ MN = BN - BM = 9 - 3 = 6。
【答案】
6
【知识点】
全等三角形的判定与性质，垂直的性质，线段和差计算
【点评】
本题是全等三角形综合应用的基础题型，解题核心是通过垂直条件找到全等的直角三角形，将已知线段长度转化为待求线段相关的边长，侧重对基础知识点的灵活运用。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的垂直条件入手，可得∠AMB和∠N均为90°，结合给出的AB=BC、AM=BN的边长条件，可判定Rt△ABM和Rt△BCN全等；再利用全等三角形对应边相等的性质，得到BM和BN的长度，最后通过线段的差计算MN的长度即可。
【解析】
∵ AM⊥BN，CN⊥BN，
∴ ∠AMB = ∠N = 90°，即△ABM和△BCN均为直角三角形。
在Rt△ABM和Rt△BCN中：
$\{\begin{array}{l}AB=BC\\ AM=BN\end{array} $
∴ Rt△ABM ≌ Rt△BCN（HL），
∴ BM = CN = 3，BN = AM = 9，
∴ MN = BN - BM = 9 - 3 = 6。
【答案】
6
【知识点】
全等三角形的判定与性质，垂直的性质，线段和差计算
【点评】
本题是全等三角形综合应用的基础题型，解题核心是通过垂直条件找到全等的直角三角形，将已知线段长度转化为待求线段相关的边长，侧重对基础知识点的灵活运用。
【难度系数】
0.7
2.如图，在$△ ABC$中，AD是三角形的中线，点E，F在直线AD上，且$CE // BF$.求证:$CE=BF$.
答案
2.证明:
∵AD 是△ABC 的中线,
∴CD=BD.
∵CE//BF,
∴∠DCE=∠DBF,∠DEC=∠F.
在△DCE 和△DBF 中,
∵$\begin{cases} ∠DCE=∠DBF, \\ ∠DEC=∠F, \\ CD=BD, \end{cases}$
∴△DCE≌△DBF.(AAS)
∴CE=BF.
∵AD 是△ABC 的中线,
∴CD=BD.
∵CE//BF,
∴∠DCE=∠DBF,∠DEC=∠F.
在△DCE 和△DBF 中,
∵$\begin{cases} ∠DCE=∠DBF, \\ ∠DEC=∠F, \\ CD=BD, \end{cases}$
∴△DCE≌△DBF.(AAS)
∴CE=BF.
解析
【分析】
要证明CE=BF，可通过证明两条线段所在的三角形全等来推导。首先从已知条件入手：AD是△ABC的中线，根据中线定义可先得到一组相等的边；再结合CE//BF的条件，利用平行线的性质得到两组相等的内错角，此时两组角加一组对边满足全等三角形的AAS判定条件，证明三角形全等后，利用全等三角形对应边相等即可得到结论。
【解析】
证明:
∵AD 是△ABC 的中线,
∴CD=BD.
∵CE//BF,
∴∠DCE=∠DBF,∠DEC=∠F.
在△DCE 和△DBF 中,
∵$\begin{cases} ∠DCE=∠DBF, \\ ∠DEC=∠F, \\ CD=BD, \end{cases}$
∴△DCE≌△DBF.(AAS)
∴CE=BF.
【答案】
证明过程如上，CE=BF得证。
【知识点】
三角形中线的定义、平行线的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题型，解题的关键是利用已知的中线、平行条件挖掘出三角形全等的判定要素，通过全等性质完成线段相等的证明，能够很好地巩固几何证明的基本逻辑。
【难度系数】
0.8
要证明CE=BF，可通过证明两条线段所在的三角形全等来推导。首先从已知条件入手：AD是△ABC的中线，根据中线定义可先得到一组相等的边；再结合CE//BF的条件，利用平行线的性质得到两组相等的内错角，此时两组角加一组对边满足全等三角形的AAS判定条件，证明三角形全等后，利用全等三角形对应边相等即可得到结论。
【解析】
证明:
∵AD 是△ABC 的中线,
∴CD=BD.
∵CE//BF,
∴∠DCE=∠DBF,∠DEC=∠F.
在△DCE 和△DBF 中,
∵$\begin{cases} ∠DCE=∠DBF, \\ ∠DEC=∠F, \\ CD=BD, \end{cases}$
∴△DCE≌△DBF.(AAS)
∴CE=BF.
【答案】
证明过程如上，CE=BF得证。
【知识点】
三角形中线的定义、平行线的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题型，解题的关键是利用已知的中线、平行条件挖掘出三角形全等的判定要素，通过全等性质完成线段相等的证明，能够很好地巩固几何证明的基本逻辑。
【难度系数】
0.8
3. [2026·池州青阳县期末]求证:全等三角形对应角的平分线相等.(要求:根据图形写出已知、求证和证明过程.)
答案
3.已知:△ABC≌△A'B'C',线段 AD,A'D'分别是△ABC,△A'B'C'的角平分线.
求证:AD=A'D'.
证明:
∵△ABC≌△A'B'C',
∴AB=A'B',∠B=∠B',∠BAC=∠B'A'C'.
∵AD,A'D'分别是△ABC,△A'B'C'的角平分线,
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC,∠B'A'D'=$\frac{1}{2}$∠B'A'C',
∴∠BAD=∠B'A'D'.
在△BAD 和△B'A'D'中,
∵$\begin{cases} ∠B=∠B', \\ AB=A'B', \\ ∠BAD=∠B'A'D', \end{cases}$
∴△BAD≌△B'A'D'.(ASA)
∴AD=A'D'.
求证:AD=A'D'.
证明:
∵△ABC≌△A'B'C',
∴AB=A'B',∠B=∠B',∠BAC=∠B'A'C'.
∵AD,A'D'分别是△ABC,△A'B'C'的角平分线,
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC,∠B'A'D'=$\frac{1}{2}$∠B'A'C',
∴∠BAD=∠B'A'D'.
在△BAD 和△B'A'D'中,
∵$\begin{cases} ∠B=∠B', \\ AB=A'B', \\ ∠BAD=∠B'A'D', \end{cases}$
∴△BAD≌△B'A'D'.(ASA)
∴AD=A'D'.
解析
【分析】
要证明全等三角形对应角的平分线相等，首先需根据题意明确已知条件和待证结论。证明两条线段相等的常用思路是证明两条线段所在的三角形全等，本题中AD在△BAD中，A'D'在△B'A'D'中，我们可先利用全等三角形的性质得到对应边、对应角相等，再结合角平分线的定义得到一组相等的对应角，凑齐三角形全等的判定条件，证明两个小三角形全等后，即可得到对应边AD=A'D'。
【解析】
已知：△ABC≌△A'B'C'，线段AD，A'D'分别是△ABC，△A'B'C'的角平分线。
求证：AD=A'D'。
证明：
∵△ABC≌△A'B'C'，
∴AB=A'B'，∠B=∠B'，∠BAC=∠B'A'C'。
∵AD，A'D'分别是△ABC，△A'B'C'的角平分线，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠B'A'D'=$\frac{1}{2}$∠B'A'C'，
∴∠BAD=∠B'A'D'。
在△BAD 和△B'A'D'中，
∵$\begin{cases} ∠B=∠B', \\ AB=A'B', \\ ∠BAD=∠B'A'D', \end{cases}$
∴△BAD≌△B'A'D'(ASA)。
∴AD=A'D'。
【答案】
已知:△ABC≌△A'B'C',线段 AD,A'D'分别是△ABC,△A'B'C'的角平分线.
求证:AD=A'D'.
证明:
∵△ABC≌△A'B'C',
∴AB=A'B',∠B=∠B',∠BAC=∠B'A'C'.
∵AD,A'D'分别是△ABC,△A'B'C'的角平分线,
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC,∠B'A'D'=$\frac{1}{2}$∠B'A'C',
∴∠BAD=∠B'A'D'.
在△BAD 和△B'A'D'中,
∵$\begin{cases} ∠B=∠B', \\ AB=A'B', \\ ∠BAD=∠B'A'D', \end{cases}$
∴△BAD≌△B'A'D'.(ASA)
∴AD=A'D'.
【知识点】
全等三角形的性质；角平分线的定义；全等三角形的判定
【点评】
本题是全等三角形性质与判定的综合应用题，核心解题思路是将待证的线段相等转化为证明其所在的三角形全等，掌握全等三角形的相关定理是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.7
要证明全等三角形对应角的平分线相等，首先需根据题意明确已知条件和待证结论。证明两条线段相等的常用思路是证明两条线段所在的三角形全等，本题中AD在△BAD中，A'D'在△B'A'D'中，我们可先利用全等三角形的性质得到对应边、对应角相等，再结合角平分线的定义得到一组相等的对应角，凑齐三角形全等的判定条件，证明两个小三角形全等后，即可得到对应边AD=A'D'。
【解析】
已知：△ABC≌△A'B'C'，线段AD，A'D'分别是△ABC，△A'B'C'的角平分线。
求证：AD=A'D'。
证明：
∵△ABC≌△A'B'C'，
∴AB=A'B'，∠B=∠B'，∠BAC=∠B'A'C'。
∵AD，A'D'分别是△ABC，△A'B'C'的角平分线，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠B'A'D'=$\frac{1}{2}$∠B'A'C'，
∴∠BAD=∠B'A'D'。
在△BAD 和△B'A'D'中，
∵$\begin{cases} ∠B=∠B', \\ AB=A'B', \\ ∠BAD=∠B'A'D', \end{cases}$
∴△BAD≌△B'A'D'(ASA)。
∴AD=A'D'。
【答案】
已知:△ABC≌△A'B'C',线段 AD,A'D'分别是△ABC,△A'B'C'的角平分线.
求证:AD=A'D'.
证明:
∵△ABC≌△A'B'C',
∴AB=A'B',∠B=∠B',∠BAC=∠B'A'C'.
∵AD,A'D'分别是△ABC,△A'B'C'的角平分线,
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC,∠B'A'D'=$\frac{1}{2}$∠B'A'C',
∴∠BAD=∠B'A'D'.
在△BAD 和△B'A'D'中,
∵$\begin{cases} ∠B=∠B', \\ AB=A'B', \\ ∠BAD=∠B'A'D', \end{cases}$
∴△BAD≌△B'A'D'.(ASA)
∴AD=A'D'.
【知识点】
全等三角形的性质；角平分线的定义；全等三角形的判定
【点评】
本题是全等三角形性质与判定的综合应用题，核心解题思路是将待证的线段相等转化为证明其所在的三角形全等，掌握全等三角形的相关定理是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.7
4.如图,在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中,$AC=A'C'$,$AB=A'B'$,$CD$是$△ ABC$的中线,$C'D'$是$△ A'B'C'$的中线,且$CD=C'D'$.求证:$△ ABC≌△ A'B'C'$.
答案
4.证明:
∵CD 是△ABC 的中线,C'D'是△A'B'C'的中线,
∴AD=$\frac{1}{2}$AB,A'D'=$\frac{1}{2}$A'B'.
又
∵AB=A'B',
∴AD=A'D'.
在△ADC 和△A'D'C'中,
∵$\begin{cases} AC=A'C', \\ CD=C'D', \\ AD=A'D', \end{cases}$
∴△ADC≌△A'D'C'.(SSS)
∴∠A=∠A'.
在△ABC 和△A'B'C'中,
∵$\begin{cases} AC=A'C', \\ ∠A=∠A', \\ AB=A'B', \end{cases}$
∴△ABC≌△A'B'C'.(SAS)
∵CD 是△ABC 的中线,C'D'是△A'B'C'的中线,
∴AD=$\frac{1}{2}$AB,A'D'=$\frac{1}{2}$A'B'.
又
∵AB=A'B',
∴AD=A'D'.
在△ADC 和△A'D'C'中,
∵$\begin{cases} AC=A'C', \\ CD=C'D', \\ AD=A'D', \end{cases}$
∴△ADC≌△A'D'C'.(SSS)
∴∠A=∠A'.
在△ABC 和△A'B'C'中,
∵$\begin{cases} AC=A'C', \\ ∠A=∠A', \\ AB=A'B', \end{cases}$
∴△ABC≌△A'B'C'.(SAS)
解析
【分析】
要证明△ABC≌△A'B'C'，已知AC=A'C'、AB=A'B'，根据全等三角形判定定理，只需再证明两边的夹角∠A=∠A'即可。结合题目给出的中线条件，先利用三角形中线的性质，由AB=A'B'推导出AD=A'D'，通过SSS判定先证△ADC≌△A'D'C'，得到对应角∠A=∠A'，最后用SAS判定即可证明两个大三角形全等。
【解析】
证明：
∵CD 是△ABC 的中线，C'D'是△A'B'C'的中线，
∴$AD=\frac{1}{2}AB$，$A'D'=\frac{1}{2}A'B'$。
又
∵AB=A'B'，
∴AD=A'D'。
在△ADC 和△A'D'C'中，
$\begin{cases} AC=A'C', \\ CD=C'D', \\ AD=A'D', \end{cases}$
∴△ADC≌△A'D'C'（SSS），
∴∠A=∠A'。
在△ABC 和△A'B'C'中，
$\begin{cases} AC=A'C', \\ ∠A=∠A', \\ AB=A'B', \end{cases}$
∴△ABC≌△A'B'C'（SAS）。
【答案】
△ABC≌△A'B'C'
【知识点】
三角形中线的性质；全等三角形SSS判定；全等三角形SAS判定
【点评】
本题是全等三角形判定的综合应用类题目，需要通过两次全等推导得到结论，解题的核心是利用中线性质得到相等的边，先证明小三角形全等，为大三角形全等创造角相等的条件，需熟练掌握全等三角形的判定定理，理清证明的逻辑顺序。
【难度系数】
0.7
要证明△ABC≌△A'B'C'，已知AC=A'C'、AB=A'B'，根据全等三角形判定定理，只需再证明两边的夹角∠A=∠A'即可。结合题目给出的中线条件，先利用三角形中线的性质，由AB=A'B'推导出AD=A'D'，通过SSS判定先证△ADC≌△A'D'C'，得到对应角∠A=∠A'，最后用SAS判定即可证明两个大三角形全等。
【解析】
证明：
∵CD 是△ABC 的中线，C'D'是△A'B'C'的中线，
∴$AD=\frac{1}{2}AB$，$A'D'=\frac{1}{2}A'B'$。
又
∵AB=A'B'，
∴AD=A'D'。
在△ADC 和△A'D'C'中，
$\begin{cases} AC=A'C', \\ CD=C'D', \\ AD=A'D', \end{cases}$
∴△ADC≌△A'D'C'（SSS），
∴∠A=∠A'。
在△ABC 和△A'B'C'中，
$\begin{cases} AC=A'C', \\ ∠A=∠A', \\ AB=A'B', \end{cases}$
∴△ABC≌△A'B'C'（SAS）。
【答案】
△ABC≌△A'B'C'
【知识点】
三角形中线的性质；全等三角形SSS判定；全等三角形SAS判定
【点评】
本题是全等三角形判定的综合应用类题目，需要通过两次全等推导得到结论，解题的核心是利用中线性质得到相等的边，先证明小三角形全等，为大三角形全等创造角相等的条件，需熟练掌握全等三角形的判定定理，理清证明的逻辑顺序。
【难度系数】
0.7
5. 新考向 开放性问题 如图, 在 $△ ABC$ 和 $△ DEB$ 中,点 $D$ 在边 $AB$ 上.
(1)下面有四个条件:① $AC=BD$;② $AB=DE$;③ $DE // AC$;④ $∠ ABC=∠ E$.请从中选三个作为题设,余下的一个作为结论,组成一个真命题,请填序号:已知: ______,求证: ______.
(2)请对(1)中得到的命题进行证明.
(1)下面有四个条件:① $AC=BD$;② $AB=DE$;③ $DE // AC$;④ $∠ ABC=∠ E$.请从中选三个作为题设,余下的一个作为结论,组成一个真命题,请填序号:已知: ______,求证: ______.
(2)请对(1)中得到的命题进行证明.
答案
5.解:(1)①②③ ④(或①③④ ②或②③④ ①)
(2)①②③→④.
证明:
∵DE//AC,
∴∠CAB=∠BDE.
在△ABC 和△DEB 中,
∵$\begin{cases} CA=BD, \\ ∠CAB=∠BDE, \\ AB=DE, \end{cases}$
∴△ABC≌△DEB.(SAS)
∴∠ABC=∠E.
(或①③④→②.
证明:
∵DE//AC,
∴∠CAB=∠BDE.
在△ABC 和△DEB 中,
∵$\begin{cases} ∠ABC=∠E, \\ ∠CAB=∠BDE, \\ CA=BD, \end{cases}$
∴△ABC≌△DEB.(AAS)
∴AB=DE.
或②③④→①.
证明:
∵DE//AC,
∴∠CAB=∠BDE.
在△ABC 和△DEB 中,
∵$\begin{cases} ∠CAB=∠BDE, \\ AB=DE, \\ ∠ABC=∠E, \end{cases}$
∴△ABC≌△DEB.(ASA)
∴CA=BD.)
(2)①②③→④.
证明:
∵DE//AC,
∴∠CAB=∠BDE.
在△ABC 和△DEB 中,
∵$\begin{cases} CA=BD, \\ ∠CAB=∠BDE, \\ AB=DE, \end{cases}$
∴△ABC≌△DEB.(SAS)
∴∠ABC=∠E.
(或①③④→②.
证明:
∵DE//AC,
∴∠CAB=∠BDE.
在△ABC 和△DEB 中,
∵$\begin{cases} ∠ABC=∠E, \\ ∠CAB=∠BDE, \\ CA=BD, \end{cases}$
∴△ABC≌△DEB.(AAS)
∴AB=DE.
或②③④→①.
证明:
∵DE//AC,
∴∠CAB=∠BDE.
在△ABC 和△DEB 中,
∵$\begin{cases} ∠CAB=∠BDE, \\ AB=DE, \\ ∠ABC=∠E, \end{cases}$
∴△ABC≌△DEB.(ASA)
∴CA=BD.)
解析
【分析】
这是一道全等三角形相关的开放性命题题，解题思路如下：1. 先挖掘隐含条件：由$DE// AC$可推出同位角$∠ CAB=∠ BDE$，这是两个三角形的一组对应等角；2. 回忆全等三角形的判定定理（SAS、ASA、AAS等），从四个条件中选三个，结合上述得到的等角，凑齐全等判定的三个条件，剩余的一个条件就可以通过全等三角形对应边/对应角相等的性质推导出来，作为结论。
【解析】
(1) 共有3种可组成真命题的组合，任选其一即可：
组合1：已知①②③，求证④；
组合2：已知①③④，求证②；
组合3：已知②③④，求证①。
(2) 以下给出三种组合的证明过程：
● 选已知①②③，求证④：
$\because DE// AC$，
$\therefore ∠ CAB=∠ BDE$（两直线平行，同位角相等）。
在$△ ABC$和$△ DEB$中，
$\begin{cases} AC=BD, \\ ∠ CAB=∠ BDE, \\ AB=DE, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DEB\ (\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ ABC=∠ E$（全等三角形对应角相等）。
● 选已知①③④，求证②：
$\because DE// AC$，
$\therefore ∠ CAB=∠ BDE$（两直线平行，同位角相等）。
在$△ ABC$和$△ DEB$中，
$\begin{cases} ∠ ABC=∠ E, \\ ∠ CAB=∠ BDE, \\ AC=BD, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DEB\ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore AB=DE$（全等三角形对应边相等）。
● 选已知②③④，求证①：
$\because DE// AC$，
$\therefore ∠ CAB=∠ BDE$（两直线平行，同位角相等）。
在$△ ABC$和$△ DEB$中，
$\begin{cases} ∠ CAB=∠ BDE, \\ AB=DE, \\ ∠ ABC=∠ E, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DEB\ (\mathrm{ASA})$，
$\therefore AC=BD$（全等三角形对应边相等）。
【答案】
(1) 示例：①②③；④（或①③④；②，或②③④；①）
(2) 证明过程见上述解析。
【知识点】
平行线的性质，全等三角形的判定，全等三角形的性质
【点评】
本题为开放性试题，需要灵活结合平行线性质、全等三角形的判定和性质构造命题并证明，能有效考查对全等相关知识的掌握程度和逻辑推理能力，解题时优先挖掘隐含的等角条件，再结合判定定理筛选条件即可。
【难度系数】
0.7
这是一道全等三角形相关的开放性命题题，解题思路如下：1. 先挖掘隐含条件：由$DE// AC$可推出同位角$∠ CAB=∠ BDE$，这是两个三角形的一组对应等角；2. 回忆全等三角形的判定定理（SAS、ASA、AAS等），从四个条件中选三个，结合上述得到的等角，凑齐全等判定的三个条件，剩余的一个条件就可以通过全等三角形对应边/对应角相等的性质推导出来，作为结论。
【解析】
(1) 共有3种可组成真命题的组合，任选其一即可：
组合1：已知①②③，求证④；
组合2：已知①③④，求证②；
组合3：已知②③④，求证①。
(2) 以下给出三种组合的证明过程：
● 选已知①②③，求证④：
$\because DE// AC$，
$\therefore ∠ CAB=∠ BDE$（两直线平行，同位角相等）。
在$△ ABC$和$△ DEB$中，
$\begin{cases} AC=BD, \\ ∠ CAB=∠ BDE, \\ AB=DE, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DEB\ (\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ ABC=∠ E$（全等三角形对应角相等）。
● 选已知①③④，求证②：
$\because DE// AC$，
$\therefore ∠ CAB=∠ BDE$（两直线平行，同位角相等）。
在$△ ABC$和$△ DEB$中，
$\begin{cases} ∠ ABC=∠ E, \\ ∠ CAB=∠ BDE, \\ AC=BD, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DEB\ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore AB=DE$（全等三角形对应边相等）。
● 选已知②③④，求证①：
$\because DE// AC$，
$\therefore ∠ CAB=∠ BDE$（两直线平行，同位角相等）。
在$△ ABC$和$△ DEB$中，
$\begin{cases} ∠ CAB=∠ BDE, \\ AB=DE, \\ ∠ ABC=∠ E, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DEB\ (\mathrm{ASA})$，
$\therefore AC=BD$（全等三角形对应边相等）。
【答案】
(1) 示例：①②③；④（或①③④；②，或②③④；①）
(2) 证明过程见上述解析。
【知识点】
平行线的性质，全等三角形的判定，全等三角形的性质
【点评】
本题为开放性试题，需要灵活结合平行线性质、全等三角形的判定和性质构造命题并证明，能有效考查对全等相关知识的掌握程度和逻辑推理能力，解题时优先挖掘隐含的等角条件，再结合判定定理筛选条件即可。
【难度系数】
0.7
