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8(2025·银川西夏区二模)国家规定,若驾驶人员血液中每100毫升的酒精含量大于或等于20毫克且小于80毫克,则被认定为饮酒后驾车,若每100毫升的血液中酒精含量大于或等于80毫克,则被认定为醉酒后驾车,且此时肝部正被严重损伤,一般成人饮用低度白酒0.25 kg后,血液中酒精含量y(单位:毫克/百毫升)与时间x(单位:小时)的关系可近似地用如图所示的图象表示.
(1)求OA所在直线及部分双曲线BC的函数表达式(不用写x的取值范围).
(2)饮用低度白酒0.25 kg后,肝部被严重损伤会持续多少时间?
(3)假设某驾驶员晚上20:00在家喝完0.25 kg低度白酒,第二天早上7:00能否驾车去上班?请判断并说明理由.
(1)求OA所在直线及部分双曲线BC的函数表达式(不用写x的取值范围).
(2)饮用低度白酒0.25 kg后,肝部被严重损伤会持续多少时间?
(3)假设某驾驶员晚上20:00在家喝完0.25 kg低度白酒,第二天早上7:00能否驾车去上班?请判断并说明理由.
答案
(1)设直线 OA 的函数表达式为$y=kx$(k 为常数,$k≠0$),则
$\frac{6}{5}k=120$,
$\therefore k=100$,$\therefore$ 直线 OA 的函数表达式为$y=100x$.
设部分双曲线 BC 的函数表达式为$y=\frac{m}{x}$(m 为常数,$m≠0$),
由图象可知,当$x=2$时,$y=120$,$\therefore m=240$,
$\therefore$ 部分双曲线 BC 的函数表达式为$y=\frac{240}{x}$.
(2)由(1)知,当$y=\frac{240}{x}=80$时,$x=3$;
当$y=100x=80$时,$x=0.8$,
$\therefore$ 饮用低度白酒 0.25 kg 后,肝部被严重损伤会持续 $3-0.8=2.2$(小时).
(3)不能.理由如下：
在$y=\frac{240}{x}$中,令$y＜20$,可得$\frac{240}{x}＜20$,解得$x＞12$.
$\because$ 晚上 20:00 到第二天早上 7:00 的时间间隔为 $7+4=11$(小时),11 小时$＜12$小时,
$\therefore$ 该驾驶员晚上 20:00 喝完 0.25 kg 低度白酒后,第二天早上 7:00 时体内的酒精含量高于 20 毫克/百毫升,
$\therefore$ 第二天早上 7:00 不能驾车去上班.
$\frac{6}{5}k=120$,
$\therefore k=100$,$\therefore$ 直线 OA 的函数表达式为$y=100x$.
设部分双曲线 BC 的函数表达式为$y=\frac{m}{x}$(m 为常数,$m≠0$),
由图象可知,当$x=2$时,$y=120$,$\therefore m=240$,
$\therefore$ 部分双曲线 BC 的函数表达式为$y=\frac{240}{x}$.
(2)由(1)知,当$y=\frac{240}{x}=80$时,$x=3$;
当$y=100x=80$时,$x=0.8$,
$\therefore$ 饮用低度白酒 0.25 kg 后,肝部被严重损伤会持续 $3-0.8=2.2$(小时).
(3)不能.理由如下：
在$y=\frac{240}{x}$中,令$y＜20$,可得$\frac{240}{x}＜20$,解得$x＞12$.
$\because$ 晚上 20:00 到第二天早上 7:00 的时间间隔为 $7+4=11$(小时),11 小时$＜12$小时,
$\therefore$ 该驾驶员晚上 20:00 喝完 0.25 kg 低度白酒后,第二天早上 7:00 时体内的酒精含量高于 20 毫克/百毫升,
$\therefore$ 第二天早上 7:00 不能驾车去上班.
9 新情境 采摘苹果（2026·福建厦门海沧区期末）智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一.某苹果园计划租用某品牌苹果采摘机器人,为实现利益最大化,将人工采摘和机器人采摘两种方式进行对比,相关信息如下:
①人工采摘:一名工人的工资为$ n $元/h($ n ≥ 25 $),每人的采摘效率约为$ a $ kg/h,采摘和转运过程中,约有1%的苹果因磕碰损伤无法售卖;
②机器人采摘:一台采摘机器人的租赁及能耗费用约为$ (2n - 10) $元/h,每台采摘机器人的采摘效率约为$ 4a $ kg/h,采摘和转运过程中,约有3%的苹果因磕碰损伤无法售卖.
该果园占地约10亩,每亩苹果产量约3000 kg,采摘后可售卖的苹果以6元/kg的价格批发销售.
(1)若果园安排一名工人负责一亩地的苹果采摘任务,判断该名工人的采摘效率$ a $与所需的采摘时间$ t $(h)是否成反比例关系?并说明理由.
(2)当$ a = 100 $时,果园是否有必要用机器人采摘苹果?并说明理由.
视频学重难
①人工采摘:一名工人的工资为$ n $元/h($ n ≥ 25 $),每人的采摘效率约为$ a $ kg/h,采摘和转运过程中,约有1%的苹果因磕碰损伤无法售卖;
②机器人采摘:一台采摘机器人的租赁及能耗费用约为$ (2n - 10) $元/h,每台采摘机器人的采摘效率约为$ 4a $ kg/h,采摘和转运过程中,约有3%的苹果因磕碰损伤无法售卖.
该果园占地约10亩,每亩苹果产量约3000 kg,采摘后可售卖的苹果以6元/kg的价格批发销售.
(1)若果园安排一名工人负责一亩地的苹果采摘任务,判断该名工人的采摘效率$ a $与所需的采摘时间$ t $(h)是否成反比例关系?并说明理由.
(2)当$ a = 100 $时,果园是否有必要用机器人采摘苹果?并说明理由.
视频学重难
答案
(1)$a$ 与 $t$ 成反比例关系,理由如下：
由题意,得 $at=3\ 000$,$\therefore a=\frac{3\ 000}{t}$.
$\because 3\ 000$ 是常数,且 $3\ 000≠0$,$\therefore a$ 与 $t$ 成反比例关系.
(2)果园有必要用机器人采摘苹果,理由如下：
当 $a=100$ 时,一名工人采摘一亩地所需时间 $t=\frac{3\ 000}{100}=30(\mathrm{h})$,
$\therefore$ 工人工资为 $30n$ 元,可售卖的苹果为 $3\ 000×(1-1\%)=2\ 970(\mathrm{kg})$,
则人工采摘的利润为 $2\ 970×6-30n=(17\ 820-30n)$元；
一台采摘机器人采摘一亩地所需时间为$\frac{3\ 000}{4×100}=7.5(\mathrm{h})$,
机器人费用为 $7.5×(2n-10)=(15n-75)$元,
可售卖的苹果为 $3\ 000×(1-3\%)=3\ 000×0.97=2\ 910(\mathrm{kg})$,
则机器人采摘的利润为 $2\ 910×6-(15n-75)=17\ 460-15n+75=(17\ 535-15n)$元；
利润差为$(17\ 535-15n)-(17\ 820-30n)=15n-285$.
$\because n≥25$,$\therefore 15n-285≥15×25-285=90＞0$,
$\therefore$ 果园有必要用机器人采摘苹果.
由题意,得 $at=3\ 000$,$\therefore a=\frac{3\ 000}{t}$.
$\because 3\ 000$ 是常数,且 $3\ 000≠0$,$\therefore a$ 与 $t$ 成反比例关系.
(2)果园有必要用机器人采摘苹果,理由如下：
当 $a=100$ 时,一名工人采摘一亩地所需时间 $t=\frac{3\ 000}{100}=30(\mathrm{h})$,
$\therefore$ 工人工资为 $30n$ 元,可售卖的苹果为 $3\ 000×(1-1\%)=2\ 970(\mathrm{kg})$,
则人工采摘的利润为 $2\ 970×6-30n=(17\ 820-30n)$元；
一台采摘机器人采摘一亩地所需时间为$\frac{3\ 000}{4×100}=7.5(\mathrm{h})$,
机器人费用为 $7.5×(2n-10)=(15n-75)$元,
可售卖的苹果为 $3\ 000×(1-3\%)=3\ 000×0.97=2\ 910(\mathrm{kg})$,
则机器人采摘的利润为 $2\ 910×6-(15n-75)=17\ 460-15n+75=(17\ 535-15n)$元；
利润差为$(17\ 535-15n)-(17\ 820-30n)=15n-285$.
$\because n≥25$,$\therefore 15n-285≥15×25-285=90＞0$,
$\therefore$ 果园有必要用机器人采摘苹果.
