1. 已知关于$x$的一元二次方程$(m-2)x^2 + 2x + 1 = 0$有实数根，则$m$的取值范围是 （）

A.$m≤3$
B.$m＜3$
C.$m＜3$，且$m≠2$
D.$m≤3$，且$m≠2$

1. D

2. 已知$a,b,c$为常数，$(a-c)^2 ＞ a^2 + c^2$，则关于$x$的方程$ax^2 + bx + c = 0$根的情况是（）

A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.无实数根
D.有一根为0

2. B

3. 已知命题“关于$x$的一元二次方程$x^2 + bx + 1 = 0$，必有实数解”是假命题，则在下列选项中，$b$的值可以是（）

A.$b=-3$
B.$b=-2$
C.$b=-1$
D.$b=2$

3. C

4. 若关于$x$的一元二次方程$(k-2)x^2 -2kx +k=6$有实数根，则$k$的取值范围为 （）

A.$k≥0$
B.$k≥0$，且$k≠2$
C.$k≥\frac{3}{2}$
D.$k≥\frac{3}{2}$，且$k≠2$

4. D

5. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^2-(2m+1)x+m(m+1)=0 $。
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）已知方程的一个根为 $ x=0 $，求代数式 $ (2m-1)^2+(3+m)(3-m)+7m-5 $ 的值（要求先化简，再求值）。

5. (1) 证明: $\because b^2-4ac=(2m+1)^2-4m(m+1)=1,\therefore b^2-4ac＞0$,即方程总有两个不相等的实数根.
(2) $\because (2m-1)^2+(3+m)(3-m)+7m-5=4m^2-4m+1+9-m^2+7m-5=3m^2+3m+5=3m(m+1)+5$,方程的一个根为 $x=0,\therefore m(m+1)=0,\therefore 原式=3m(m+1)+5=5$.

6. 已知关于$x$的一元二次方程$mx^2 - (m+2)x + 2 = 0$.
（1）求证：不论$m$为何值，方程总有实数根；
（2）$m$为何整数时，方程有两个不相等的正整数根？

6. (1) 证明: $\because \Delta=(m-2)^2≥0,\therefore$ 方程总有实数根.
(2) $\because x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\dfrac{m+2\pm\sqrt{(m-2)^2}}{2m}=\dfrac{m+2\pm(m-2)}{2m},\therefore x_1=\dfrac{m+2+m-2}{2m}=1,x_2=\dfrac{m+2-m+2}{2m}=\dfrac{2}{m}.\because$ 方程有两个不相等的正整数根,$\therefore m=1$或$m=2.\because \Delta=(m-2)^2＞0,\therefore m≠2$,综上所述,$m=1$.