登录
9. 把直角三角形的两直角边同时扩大到原来的2倍，则其斜边扩大到原来的（
A.2倍
B.4倍
C.3倍
D.1倍
A
）A.2倍
B.4倍
C.3倍
D.1倍
答案
9. A
10. 如果一直角三角形的两条直角边的比为5:12，那么斜边和较短的直角边的比为 （
A.13:5
B.12:13
C.169:25
D.13:12
A
）A.13:5
B.12:13
C.169:25
D.13:12
答案
10. A
三、解答题
11. 如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，∠DBC=90°，若AD=3 cm，AB=4 cm，BC=12 cm，求CD的长。
11. 如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，∠DBC=90°，若AD=3 cm，AB=4 cm，BC=12 cm，求CD的长。
答案
11. 13 cm
12. 在$△ ABC$中，$BC=a$，$AC=b$，$AB=c$，若$∠ C=90°$，如图①，根据勾股定理，有$a^2 + b^2 = c^2$.若$△ ABC$不是直角三角形，如图②和图③，请你类比勾股定理，试猜想$a^2 + b^2$与$c^2$的关系，并证明你的结论.
答案
解：猜想：当△ABC是锐角三角形时，$a^2 + b^2 ＞ c^2$；当△ABC是钝角三角形且∠C为钝角时，$a^2 + b^2 ＜ c^2$。
证明：
1. 证明图②中锐角△ABC的情况：
过点A作$AD ⊥ BC$于点D，设$CD = x$，则$BD = a - x$。
在$Rt△ ACD$中，由勾股定理得：$AD^2 = b^2 - x^2$，
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：$AD^2 = c^2 - (a - x)^2$，
因此$b^2 - x^2 = c^2 - (a - x)^2$，
展开整理得：
$b^2 - x^2 = c^2 - a^2 + 2ax - x^2$，
消去两边的$-x^2$，可得$a^2 + b^2 = c^2 + 2ax$。
因为$a＞0$，$x＞0$，所以$2ax＞0$，因此$a^2 + b^2 ＞ c^2$。
2. 证明图③中钝角△ABC（∠ACB为钝角）的情况：
过点A作$AD ⊥ BC$，交BC的延长线于点D，设$CD = x$，则$BD = a + x$。
在$Rt△ ACD$中，由勾股定理得：$AD^2 = b^2 - x^2$，
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：$AD^2 = c^2 - (a + x)^2$，
因此$b^2 - x^2 = c^2 - (a + x)^2$，
展开整理得：
$b^2 - x^2 = c^2 - a^2 - 2ax - x^2$，
消去两边的$-x^2$，可得$a^2 + b^2 = c^2 - 2ax$。
因为$a＞0$，$x＞0$，所以$2ax＞0$，因此$a^2 + b^2 ＜ c^2$。
综上，锐角三角形中$a^2 + b^2 ＞ c^2$，∠C为钝角的钝角三角形中$a^2 + b^2 ＜ c^2$。
证明：
1. 证明图②中锐角△ABC的情况：
过点A作$AD ⊥ BC$于点D，设$CD = x$，则$BD = a - x$。
在$Rt△ ACD$中，由勾股定理得：$AD^2 = b^2 - x^2$，
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：$AD^2 = c^2 - (a - x)^2$，
因此$b^2 - x^2 = c^2 - (a - x)^2$，
展开整理得：
$b^2 - x^2 = c^2 - a^2 + 2ax - x^2$，
消去两边的$-x^2$，可得$a^2 + b^2 = c^2 + 2ax$。
因为$a＞0$，$x＞0$，所以$2ax＞0$，因此$a^2 + b^2 ＞ c^2$。
2. 证明图③中钝角△ABC（∠ACB为钝角）的情况：
过点A作$AD ⊥ BC$，交BC的延长线于点D，设$CD = x$，则$BD = a + x$。
在$Rt△ ACD$中，由勾股定理得：$AD^2 = b^2 - x^2$，
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：$AD^2 = c^2 - (a + x)^2$，
因此$b^2 - x^2 = c^2 - (a + x)^2$，
展开整理得：
$b^2 - x^2 = c^2 - a^2 - 2ax - x^2$，
消去两边的$-x^2$，可得$a^2 + b^2 = c^2 - 2ax$。
因为$a＞0$，$x＞0$，所以$2ax＞0$，因此$a^2 + b^2 ＜ c^2$。
综上，锐角三角形中$a^2 + b^2 ＞ c^2$，∠C为钝角的钝角三角形中$a^2 + b^2 ＜ c^2$。
