4. (1)(2025·天府新区)如图,四边形$ABCD和A'B'C'D'是以点O$为位似中心的位似图形,若四边形$ABCD与四边形A'B'C'D'的面积比为4:9$,则$OC:OC'$的值为____。

(2)(2025·编写)若矩形$ABCD\backsim矩形EFGH$,相似比为$2:3$,已知$AB= 3cm$,$BC= 5cm$,则矩形$EFGH$的周长是____$cm$。

(1)$2 : 3$　(2)24

5. (2025·青羊)如图,若$D是线段AB的黄金分割点(AD＞BD)$,$AB= 6$,则$AD$的长是()

A. $3$
B. $3\sqrt{5}-1$
C. $9-3\sqrt{5}$
D. $3\sqrt{5}-3$

D

6. (2025·编写)在$\triangle ABC$中,点$D$,$E分别在AB$,$AC$上,给出下列条件：①$\frac{AB}{AC}= \frac{AE}{AB}$；②$\angle AED= \angle B$；③$\frac{DE}{BC}= \frac{AE}{AB}$；④$DE// BC$。其中能判断$\triangle ADE\backsim\triangle ABC$的有()
A. $1$个
B. $2$个
C. $3$个
D. $4$个

A

7. (2025·彭州)如图,$Rt\triangle ABC与Rt\triangle EFG是关于y$轴上一点的位似图形,若$B(-4,4)$,$F(2,1)$,则位似中心的坐标为()

A. $(0,1)$
B. $(0,2)$
C. $(0,3)$
D. $(0,\frac{3}{2})$

B

8. (2025·编写)如图,在$\triangle ABC$中,$P为AB$上一点,在下列四个条件中,不能判定$\triangle APC和\triangle ACB$相似的条件是()

A. $\angle ACP= \angle B$
B. $\angle APC= \angle ACB$
C. $AC^{2}= AP\cdot AB$
D. $AB\cdot CP= AP\cdot CB$

D

9. (1)(2023·鞍山)如图,已知$D是\triangle ABC的边BC$上的一点,$E为AD$上的一点。若$\angle DAC= \angle B$,$CD= CE$,求证：$\triangle ACE\backsim\triangle BAD$。

(2)(2022·郫都)如图,已知$D$,$E是\triangle ABC的边AB$,$AC$上的点,$\angle A= 35^{\circ}$,$\angle C= 85^{\circ}$,$\angle AED= 60^{\circ}$。求证：$AD\cdot AB= AE\cdot AC$。

(1)[证明]∵$CE = CD$，∴$\angle CED = \angle CDE$，
　∴$180^{\circ} - \angle CED = 180^{\circ} - \angle CDE$，
　∴$\angle AEC = \angle ADB$。
　∵$\angle DAC = \angle B$，∴$\triangle ACE \sim \triangle BAD$。
　(2)[证明]在$\triangle ABC$中，∵$\angle A = 35^{\circ}$，$\angle C = 85^{\circ}$，∴$\angle B = 60^{\circ}$。∵$\angle AED = 60^{\circ}$，∴$\angle AED = \angle B$。∵$\angle A = \angle A$，∴$\triangle AED \sim \triangle ABC$，∴$\frac{AE}{AB} = \frac{AD}{AC}$，∴$AD \cdot AB = AE \cdot AC$。