1. 已知直角三角形的面积为 $ 6 \mathrm{cm}^{2} $,两直角边的差为 $ 1 \mathrm{cm} $,则它的斜边长为 ______ $ \mathrm{cm} $。

5 解析：设两直角边长分别为 $x$ cm 和 $y$ cm，则 $\frac{1}{2}xy = 6$，$\vert x - y\vert = 1$，$\therefore xy = 12$，$\therefore (x - y)^2 = 1$，$\therefore x^2 + y^2 - 2xy = 1$，$\therefore x^2 + y^2 = 1 + 2xy = 25$，$\therefore$ 斜边长 $^2 = x^2 + y^2 = 25$，$\therefore$ 斜边长 $= 5$ cm。

2. (2025·沈阳校级月考)如图,$ \triangle ABC $ 中,$ AB = AC = 5 $,$ BC = 6 $,$ AD $ 平分 $ \angle BAC $ 交 $ BC $ 于点 $ D $,分别以点 $ A $ 和点 $ C $ 为圆心,大于 $ \frac{1}{2}AC $ 的长为半径作弧,两弧相交于点 $ M $ 和点 $ N $,作直线 $ MN $,交 $ AD $ 于点 $ E $,则 $ DE $ 的长为 ()

A. $ \frac{5}{8} $
B. $ \frac{7}{8} $
C. $ \frac{13}{8} $
D. $ \frac{25}{8} $

B 解析：$\because$ 在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC = 5$，$BC = 6$，$AD$ 平分 $\angle BAC$，$\therefore DC = \frac{1}{2}BC = 3$，$AD \perp BC$。

$\therefore AD = \sqrt{AC^2 - CD^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$。分别以点 $A$ 和点 $C$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2}AC$ 的长为半径作弧，两弧相交于点 $M$ 和点 $N$，作直线 $MN$，可知 $MN$ 垂直平分 $AC$，连接 $CE$，$\therefore AE = CE$，$\therefore DE = AD - AE = 4 - AE$。在 $Rt\triangle EDC$ 中，$CE^2 = DE^2 + CD^2$，$\therefore AE^2 = (4 - AE)^2 + 3^2$，解得 $AE = \frac{25}{8}$，$\therefore DE = AD - AE = \frac{7}{8}$，故选 B。

3. (2024·兰州期末)如图,$ \angle AOB = 90^{\circ} $,$ OA = 25 \mathrm{m} $,$ OB = 5 \mathrm{m} $,一机器人在点 $ B $ 处看见一个小球从点 $ A $ 出发沿着 $ AO $ 方向匀速滚向点 $ O $,机器人立即从点 $ B $ 出发,沿直线匀速前进拦截小球,恰好在点 $ C $ 处截住了小球 ($ O $,$ C $,$ A $ 在一条直线上),如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等,那么机器人行走的路程 $ BC $ 是 ()

A. $ 12 \mathrm{m} $
B. $ 13 \mathrm{m} $
C. $ 14 \mathrm{m} $
D. $ 15 \mathrm{m} $

B 解析：设 $BC = x$ m，依题意知 $BC = AC = x$ m，则 $OC = (25 - x)$ m，在 $Rt\triangle OBC$ 中，$OC^2 + BO^2 = BC^2$，即 $(25 - x)^2 + 5^2 = x^2$，解得 $x = 13$，$\therefore BC = 13$ m。故选 B。

4. 如图是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌,$ CM \perp MB $,经测量得到如下数据：$ AM = 4 \mathrm{m} $,$ AB = 4 \mathrm{m} $,$ \angle MAD = 45^{\circ} $,$ CM : CB = 3 : 5 $,则警示牌的高 $ CD $ 为 ______ $ \mathrm{m} $。

2 解析：设 $CM = 3x$，则 $CB = 5x$，由勾股定理可得 $CM^2 + MB^2 = CB^2$，解得 $MB = 4x$，由题意得 $MB = 8$ m，$\therefore x = 2$ m，$CM = 3x = 6$ m。$\because \angle MAD = 45^{\circ}$，$CM \perp MB$，$\therefore \angle MDA = \angle MAD = 45^{\circ}$，$\therefore MD = MA = 4$ m，$\therefore CD = CM - MD = 2$ m。

5. (2023·随州中考)如图,在 $ \mathrm{Rt} \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ AC = 8 $,$ BC = 6 $,$ D $ 为 $ AC $ 上一点,若 $ BD $ 是 $ \angle ABC $ 的平分线,则 $ AD = $ ______。

5 解析：如图，过点 $D$ 作 $DE \perp AB$ 于点 $E$，$\because \angle C = 90^{\circ}$，$\therefore CD \perp BC$。$\because BD$ 是 $\angle ABC$ 的平分线，$CD \perp BC$，$DE \perp AB$，$\therefore CD = DE$。在 $Rt\triangle BCD$ 和 $Rt\triangle BED$ 中，$\begin{cases}CD = DE\\BD = BD\end{cases}$，$\therefore Rt\triangle BCD \cong Rt\triangle BED(HL)$，$\therefore BC = BE = 6$。在 $Rt\triangle ABC$ 中，$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 8^2 + 6^2 = 10^2$，$\therefore AB = 10$，$\therefore AE = AB - BE = 10 - 6 = 4$。设 $CD = DE = x$，则 $AD = AC - CD = 8 - x$，在 $Rt\triangle ADE$ 中，$AE^2 + DE^2 = AD^2$，$\therefore 4^2 + x^2 = (8 - x)^2$，解得 $x = 3$，$\therefore AD = 8 - x = 5$。

6. (西宁中考)如图,已知正方形 $ ABCD $ 的边长为 $ 3 $,$ E $,$ F $ 分别是 $ AB $,$ BC $ 边上的点,且 $ \angle EDF = 45^{\circ} $,将 $ \triangle DAE $ 绕点 $ D $ 逆时针旋转 $ 90^{\circ} $,得到 $ \triangle DCM $。若 $ AE = 1 $,则 $ FM $ 的长为 ______。

$\frac{5}{2}$ 解析：$\because \triangle DAE$ 绕点 $D$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$ 得到 $\triangle DCM$，$\therefore \angle FCM = \angle FCD + \angle DCM = 180^{\circ}$，$CM = AE = 1$，$DE = DM$，$\angle EDM = 90^{\circ}$，$\therefore F$，$C$，$M$ 三点共线，$\angle EDF + \angle FDM = 90^{\circ}$。$\because \angle EDF = 45^{\circ}$，$\therefore \angle FDM = \angle EDF = 45^{\circ}$。在 $\triangle DEF$ 和 $\triangle DMF$ 中，$\begin{cases}DE = DM\\\angle EDF = \angle MDF\\DF = DF\end{cases}$，$\therefore \triangle DEF \cong \triangle DMF(SAS)$，$\therefore EF = MF$。设 $EF = MF = x$，$\because AE = CM = 1$，且 $BC = 3$，$\therefore BM = BC + CM = 3 + 1 = 4$，$\therefore BF = BM - MF = BM - EF = 4 - x$。又 $EB = AB - AE = 3 - 1 = 2$，在 $Rt\triangle EBF$ 中，由勾股定理得 $EB^2 + BF^2 = EF^2$，即 $2^2 + (4 - x)^2 = x^2$，解得 $x = \frac{5}{2}$，$\therefore FM = \frac{5}{2}$。

7. 如图,铁路上 $ A $,$ B $ 两点相距 $ 40 \mathrm{km} $,$ C $,$ D $ 为两个村庄,$ DA \perp AB $,$ CB \perp AB $,垂足分别为 $ A $ 和 $ B $,$ DA = 24 \mathrm{km} $,$ CB = 16 \mathrm{km} $。现在要在铁路旁修建一个煤栈 $ E $,使得 $ C $,$ D $ 两村到煤栈的距离相等,那么煤栈 $ E $ 应距 $ A $ 点 ()

A. $ 20 \mathrm{km} $
B. $ 16 \mathrm{km} $
C. $ 12 \mathrm{km} $
D. 无法确定

B 解析：设 $AE = x$ km，则 $BE = (40 - x)$ km，$\because DA \perp AB$，$CB \perp AB$，$C$，$D$ 两村到煤栈的距离相等，$\therefore AD^2 + AE^2 = DE^2$，$BE^2 + BC^2 = CE^2$，$\therefore AD^2 + AE^2 = BE^2 + BC^2$，$\therefore 24^2 + x^2 = (40 - x)^2 + 16^2$，解得 $x = 16$，则煤栈 $E$ 应距 $A$ 点 $16$ km。故选 B。

8. (2024·永州期中)如图,四边形 $ ABCD $ 是边长为 $ 9 $ 的正方形纸片,将其沿 $ MN $ 折叠,使点 $ B $ 落在 $ CD $ 边上的 $ B' $ 处,点 $ A $ 的对应点为 $ A' $,且 $ B'C = 3 $,则 $ AM $ 的长是 ______。

2 解析：设 $AM = x$，连接 $BM$，$MB'$，在 $Rt\triangle ABM$ 中，$AB^2 + AM^2 = BM^2$，在 $Rt\triangle MDB'$ 中，$B'M^2 = MD^2 + DB'^2$。$\because MB = MB'$，$\therefore AB^2 + AM^2 = BM^2 = B'M^2 = MD^2 + DB'^2$，即 $9^2 + x^2 = (9 - x)^2 + (9 - 3)^2$，解得 $x = 2$，即 $AM = 2$。